导数的综合应用练习题及答案.docx
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导数的综合应用练习题及答案
导数应用练习题答案
1.下列函数在给定区间上是否满足罗尔定理的所有条件?
如满足,请求出定理中的数值
1
(2)f(x)2
1x
(1)f(x)2x2x3
[1,1.5];
[2,2];
⑶f(x)X',厂x
[0,3];
x2
⑷f(x)ex1
[1,1]
解:
(1)f(x)2x2x
[1,1.5]
该函数在给定闭区间上连续,其导数为满足罗尔定理,至少有一点
使f()410,解出
f(x)(1,1.5),
。
4
4x1,在开区间上可导,而且f
(1)0,f(1.5)
解:
(2)f(x)宀
1x
2,2]
该函数在给定闭区间上连续,
其导数为f(x)
2x
FT2
(1x)
,在开区间上可导,而且f
(2)
1
-,f
(2)
5
满足罗尔定理,至少有一点
(2,2),
2
使f()□0,解出
解:
(3)f(x)x.3x
[0,3]
该函数在给定闭区间上连续,其导数为
f(x)
一=x,在开区间上可导,而且
2、x3
f(0)
f(3)0,满足罗尔定理,至少有一点
(0,3),
使f()2:
-0,解出
3
解:
(4)f(x)
2
ex1
[1,1]
该函数在给定闭区间上连续,
其导数为f
(x)2xex,在开区间上可导,而且f
(1)e1
,f
(1)e1,
满足罗尔定理,至少有一点
,使f()
2
2e0,解出
2.下列函数在给定区域上是否满足拉格朗日定理的所有条件?
如满足,请求出定理中的数值
(1)f(x)x3
[0,a](a
0);
⑵f(x)Inx
[1,2];
⑶f(x)x3
5x2x2
[1,0]
解:
(1)f(x)
[0,a]
(a0)
-一占
八、、
(0,a),使f(a)f(0)
f()(a0),即a3032(a0),解出
a
"3
解:
(2)f(x)Inx[1,2]
该函数在给定闭区间上连续,其导数为
f(x)-,即在开区间上可导,满足拉格朗日定理条件,至少有
x
-一占
八、、
1
(1,2),使f
(2)f
(1)f()(21),即In2ln1-(21),解出
1
In2
解:
(3)f(x)x35x2x2
[1,0]
该函数在给定闭区间上连续,其导数为
f(x)3x210x1,即在开区间上可导,满足拉格朗日定理条
件,至少有一点
(1,0),使f(0)
f
(1)f()(01),
5.43
3
即2(9)(32101)(01),解出
3.不求导数,判断函数f(x)(x1)(x2)(x
答案:
有三个根,分别在(1,2),(2,3),(3,4)
3)(x4)的导数有几个实根及根所在的范围。
4证明:
当x1时,恒等式2arctanxarcsin-
1
2x
2
x
成立
2x
证:
设F(x)2arctanxarcsin2
1x
当x1时,F(x)连续,当x1时,F(x)可导
且F(x)1
(1X2)2x2x
(1
2\2
x)
即当x1时,
F(x)C,即F(x)
x
2arctanxarcsin
1x2
5设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)0,证明在
使cf(c)2f(c)f(c).
故当x1时,
(0,1)内存在一点c,
证明:
令F(x)(x1)2f(x),则F(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且因f(0)0,则F(0)0
F
(1)
即F(x)在[0,1]上满足罗尔定理的条件,则至少存在c(0,1)使F(c)0
又F(x)2(x1)f(x)(x1)2f(x),即2(c1)f(c)(c1)2f(c)0
而c(0,1),得cf(c)2f(c)f(c)
证明:
令F(x)xf(x),则F(x)在[0,1]上连续,在
即F(x)在[0,1]上满足罗尔定理的条件,则至少存在
又F(x)f(x)xf(x),即f()f()0,
7.证明不等式:
sinx2sinx
X2X1
6.已知函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)1,f
(1)0,证明在(0,1)内至少存在一点,
使得f()4.
(0,1)内可导,且F(0)0F
(1)
(0,1)使F()0
故f().
证明:
设函数f(x)sinx,,X1,X2R,不妨设%X2,
该函数在区间[“X?
]上连续,在(X「X2)上可导,由拉格朗日中值定理有
f(X2)f(Xi)f()(X2Xj,(捲
x2)即sinx2sin论cos(x2xj,
故sinx2sinx
cos
(X2Xi),由于
cos
1,所以有sinx2sinxi
8.证明不等式:
nbn1(a
nn
b)ab
n1na
(ab)(n1,ab0)
证明:
设函数f(x)
,在[b,a]上连续,在
(b,a)内可导,满足拉格朗日定理条件,故
nnn1/
abn(a
b),
其中Ob
因此bn1
有nbn1(ab)n
n1n1
(ab)na(ab)
所以nbn1(ab)
n1#1\
na(ab)
9.利用洛必达法则求下列极限:
XX
ee
(1)lim0;
Xe+elim
x01
XX
解:
lime—e—
x0x
局Inx
解:
lim
x1x1
3八2
X3x2
⑶lim严2
x1XXX1
解:
lim车右
x1xxx
lim2
x13x2
3x26x
2x1
(4)lim
x—
2
ln(x-);
tanx
解:
lim
x_
2
m(x2)
tanx
lim
x_
2
x—
2
1
2~cosx
lim
x_
(5)
n
x
xim-^x
xe
(a
0,n为正整数)
解:
lim
x
n
x
ax
e
lim
x
n1
nx
axe
lim
x
n!
n
a
axe
2
cosx
lim
x_
2
2cosx(sinx)
⑹limx
x0
mln
(m
0);
解:
limx
x0
Inx
lim
0
Inx
lim
x0
x
m
mx
lim
x0
1);
1
解:
叭
lim
x0e
xe
xm0
x
xe
lim1
x0
1
(8)lim(1sinx)x;
1
解:
lim(1sinx)x
10。
(1
1
sinx)乔
sinx
(9)limxsinx
x0
解:
limxsinx
x0
e'
lim
:
0
sinxlnx
lnxlim
.1
0sinx
lim
ex0
1
X
sin2xcosx
.2
sinx
lim
x0xcosx
ex
lim匹匹
0xcosx
ln(1
10.设函数f(x)
kx)
x
1
,若f(x)在点x0处可导,求k与f(0)的值。
x0
解:
由于函数在
..ln(1kx)lim
x0x
0处可导,
kx
lim
x0x
因此函数在该点连续,由连续的概念有
kf(0)1,即k1
按导数定义有
f(0)limf(x)f(0)
x0
ln(1x)1
x
x
limln(1x)x
x0
2x
lim
x
02(1
11.设函数f(x)
解:
函数连续定义,
lim
x0
f(x)
lim
x0
f(x)
lim
x0
1
cosx
2
x
k
1
1
x
x
e1
limf(x)
x
0
(-
1
x
x
e1
1
cos
x
x
x
)
lim
x0
lim
x0
lim
x0
2x
x0
,而
即当
k1时,函数f(x)在x
2
12.求下列函数的单调增减区间:
2
(1)y3x6x
0,当k为何值时,
f(x)在点x
0处连续。
f(x)f(0),
x(ex1)
f(0)k
0点连续。
lim
x0
x
e1
xx
e1xe
limf(x)
x0
lim
x0
xxx
eexe
lim
x0
解:
y6x
由于当x
由于当x
0,有驻点x
0,此时函数单调减少;
0,此时函数单调增加;
⑶yx4
2x2
解:
y
(3)y1
解:
y
1时,y
1时,y
4x34x4x(x2
1),令y0,有x
0,x
1,x1
1时,y
x1时,
2
X
;
x
2x(1x)
(1x)2
0,此时函数单调较少;当
0,此时函数单调较少;当
c2
2xx
2,令y0,有
(1x)
x0时,
1时,
0,此时函数单调增加;
0,此时函数单调增加
x0,x
此外有原函数知x1,
2时,y
x0时,
0,此时函数单调增加;当
y0,此时函数单调减少;当x
1时,y0,此时函数单调减少;
0时,y0,此时函数单调增加;
13.证明函数yxln(1x2)单调增加。
j帀明:
y1
2x
(1x)20
1x2
yi
1
2x
等号仅在
x1成立,所以函数
yx
ln(1
14.证明函数y
sinx
x单调减少。
解:
ycosx
10,
等号仅在孤立点
x2n
(n0,1,2LL)成立,
15.证明不等式:
2、x
31(x
x
0,x
1)
证明:
设f(x)
2上
3—,在x
1时,
f
(1)
所以函数ysinx
0,且f(x)
x
2
x)在定义区间上为单调增加。
x在定义域内为单调减少。
1时,f(x)0,
x1时,f(x)
函数单调增加,因此
0,函数单调减少,因此f(x)
所以对一切x0,且
1,都有f(x)0,即2、二
f(x)f
(1)0f
(1)
3-
x
(x
0,x
1)
解:
设
f(x)
xe
1x
f(x)
ex1
,当
x0,f(x)0
f(x),所以x
所以x
0,ex
1
x
当x
0,f(x)
0
f(x),所以x
0,f(x)f(0)
所以x
0,ex
1
x
x
0,ex1
x.
17.证明:
当x
0时,ln(1x)
1
x
x
解:
设
f(x)
ln(1
\x
X)
1x
f(x)
1
1x当
当x0,f(x)0
1x
(1
22,当
x)(1x)
16.证明:
当x0时,
0,f(x)
0
f(x)
所以x
0,f(x)
f(0)
0,即x0,ln(1x)
1x
xe
f(0)
18.证明方程x3
3x1
0在(0,1)内只有一个实根。
证明:
令f(x)
x33x
由零点定理存在
1,f(x)在[0,1]上连续,且f(0)1,f
(1)
1,
(0,1),使f()0,所以是方程x33x10在(0,1)内的一个根。
又因为f(x)3x233(x21),当x(0,1)时f(x)0,函数单调递减,
当x时,f(x)f()0,当x时,f(x)f()0,所以在(0,1)内只有一个实根
或用罗尔定理证明只有一个实根。
19.求下列函数的极值:
(1)yx33x27;
解:
y3x26x3x(x2),令y
3x26x3x(x2)0,解出驻点为x0;x2,函数在定义
x
域内的单调性与极值见图表所示:
x
(,0)
0
(0,2)
2
(2,)
f(x)
0
0
f(x)
单调增加
极大7
单调减小
极小3
单调增加
x
(,1)
1
(1,1)
1
(1,)
f(x)
极小
极大
f(x)
单调减小
1
单调增加
1
单调减少
解:
y2(1x)(!
2X),驻点为x1,x1,函数的单调性与极值见表
(1x)
2
X
⑷y33(x2)2;
2
解:
y—2一1,函数在X2处不可导,以此点为界划分区间并给出函数单调性与极值。
3(x2)3
x
(,2)
2
(2,)
f(x)
不存在
f(x)
单调增加
极大3
单调减少
⑸y(x1)37;
解:
函数导数为y
5x2”「、一
y,解出驻点为x
3x3
-,不可导点为x0,函数在各个区间的单调性见表格所
5
x
(,0)
0
(0,|)
5
2
5
—
f(x)
不存在
0
f(x)
单调增加
极大0
单调减少
极小
25
单调增加
示。
⑹y
x3
(x1)2
解:
y
X2(x3)
(x1)3
x
(,0)
0
(0,1)
(1,3)
3
(3,)
f(x)
0
0
,驻点为x
0,x3,不可导点为x1,划分区间并判断增减性与极值
20.设
ln(1
解:
y
2x
1x2
x2),求函数的极值,曲线的拐点。
解出x0,x0,y0,y
f(x)
单调增加
无极值
单调增加
单调减少
极小
27
单调增加
4
拐点
x0,y0,y,极小值f(0)0
1,
需0,解出x
x
(
1)
1
(1,1)
1
(1,)
y
0
+
0
y
凸
In2
凹
In2
凸
(1,ln2),(1,ln2)
21.利用二阶导数,判断下列函数的极值:
2
(1)y(x3)(x2);
解:
y
(3x7)(x3),y
20,因此在
2(3x8),驻点:
x-,x3,
3
4;
;
27
xI点函数取极大值
0,因此在x
3点函数取极小值
x
2e
解:
y
2e2x
xe
-,y2ex
ex,驻点为x
In2
2
由于y
1|n22'、20,因此在x
2
处函数取得极小值2、2。
2
22.曲线yax3bx2
cxd过
:
原点,在点
(1,1)处有水平切线,且点
解:
因为曲线yax3
bx2cx
d过原点,
有d
0,
在点(1,1)处有水平切线,
f
(1)
3a2b
c0,
点(1,1)是该曲线的拐点,
f(x)
6ax2b
,f
(1)
6a2b0,
又因为点(1,1)在曲线上,
ab
cd1
联立方程组解出a1,b
3,c
3,d0
23.求下列函数在给定区间上的最大值与最小值:
(1,1)是该曲线的拐点,求a,b,c,d
42
(1)yx2x5[2,2];
0,x1,x1,
3
解:
y4x4x4x(x1)(x1),令y
计算出驻点处和区间端点处所有的函数值为比较上述函数值,知最大值为
y
(2)y
(2)
y
(2)
13;
⑵yln(x21)
[1,2];
y
(1)
2x
x21
ln2,y(0)
o,y
(2)
,得驻点为
ln5,比较上述函数值,
4,y(0)5,y
(1)4,y
(2)13,
13,y(
最小值为y
(1)y
(1)4。
1)
计算出驻点处和区间端点处所有的函数值为
知最大值为y
(2)In5;最小值为y(0)0
(3)y
解:
y
(x
2)x
(x1)2
,令y0,得驻点为x0,x
2,计算出驻点处和区间端点处所有的函数值为
y
(2)
4,y(0)
知最大值为y(
1
2)
0,y
(2)
2
1y
(1)-
2
丄」
(1)丄,比较上述函数值,
22
;最小值为y(0)0。
解:
y
[0,4]
0,函数单调增加,计算端点处函数值为y(0)0,y(4)6,
知最大值为y(4)6;最小值为y(0)0
24.已知函数f(x)ax36ax2b(a0),在区间[1,2]上的最大值为3,最小值为29,求a,b的
值。
解:
f(x)3ax212ax,令f(x)3ax212ax3ax(x4)0,解出驻点为x0,x4(舍),且f
(1)b7a,f(0)b,f
(2)b16a
因为a0,所以f(0)f
(1)f
(2)
故f(0)b3为最大值,f
(2)b16a为最小值,即f
(2)b16a29,解出a2。
25.欲做一个底为正方形,容积为
108m3的长方体开口容器,怎样做所用材料最省?
又体积为V
x2h,有h
V
x
4V
2432
dS
c432c”、
得Sx
x
2x20,解出x6,h3
x
x
dx
x
即取底面边长为6,
高为3时,做成的容器表面积最大。
解:
设底面正方形的边长为x,高为h,则表面积为Sx24xh,
26.欲用围墙围成面积为选取多大的尺寸,才能使所用建筑材料最省?
216m2的一块矩形土地,并在正中间一堵墙将其隔成两块,问这块土地的长和宽
解:
所用的建筑材料为L3x2y,其中面积xy216,因此有L
-JIAQQ
一30,解出x12,即当取宽为x12米,长为y
dxx
18米时所用建筑材料最省。
27.某厂生产某种商品,其年销量为100万件,每批生产需增加准备费
如果年销售率是均匀的,且上批销售完成后,立即再生产下一批(此时商品库存数为批量的一半)分几批生产,能使生产准备费及库存费之和最小?
解:
1000元,而每件的库存费为0.05元,
,问应
设100万件分x批生产,生产准备费及库存费之和为y,则
100000025000
0.051000x
2xx
25000
20,解出x5,
x
能使生产准备费及库存费之和最小。
1000x
1000
问5批生产,
28.确定下列曲线的凹向与拐点:
23
(1)yxx;
21解:
y2x3x,y26x,令y0,x
3
⑵yln(1x2);
x
1
(,3)
1
3
1
(3,)
f(x)
0
2
f(x)
凹
27
凸
小
x
(,1)
1
(1,1)
1
(1,)
f(x)
0
0
f(x)
凸
In2拐点
凹
In2拐点
凸
令y0,x1
解:
y耳y令耳,
1x(1x)
1
⑶yx3;
解:
y
y
解:
yex(1+x),y
ex(2+x),令y0,x=2
x
(,0)
0
(0,)
f(x)
不存在
f(x)
凹
Q一
凸
2
1x5,
令y不存在点,x0
2x
1x2
22
解:
y
22x4x(x3)
2、2,y2、3
(1x)(1x)
令y0,x0,x.3
X
o
/Vf
o
o
o
/Vf
凸
-32亠
凹
o辭
凸
遏2亠
凹
(5)yxe;
x
(,2)
2
(2,)
f(x)
0
f(x)
凸
22e
拐
凹
解:
yex,yex0,
所以yex在(,)内是凹的,无拐点。
吨)的函数:
29.某化工厂日产能力最高为1000吨,每天的生产总成本C(单位:
元)是日产量x(单位:
CC(x)10007x50浪
x[0,1000]
(1)求当日产量为100吨时的边际成本;
(2)求当日产量为100吨时的平均单位成本。
25
259.5
解:
(1)边际成本C(x)7,C(100)
(2)平均单位成本AC(x)1000
xx
50,AC(100)沁㈣
x100100
50
22
10
12
C(x)1100x2,求
(1)生产900单位时的总
1200
(2)生产900单位到1000单位时的总成本的平均变化率;
30.生产x单位某产品的总成本C为x的函数:
成本和平均单位成本;
单位时的边际成本。
(3)生产900单位和1000
解:
(1)
C(900)
1100
-^90021775,
1200
(2)
C(900)
900
C(1000)
1775
900
C(900)
1.97
1000900
1.58
(3)
边际成本为C(x)
x
600,
C(900)900
600
1.5,C(1000)10001.67
600
31.设生产x单位某产品,
2
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