初一几何平行线的性质及判定.docx
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初一几何平行线的性质及判定
平行的性质及判定
模块一平行的定义、性质及判定
定义
示例剖析
平行线的概念:
在同一平面内,永不相交的
两条直线称为平行线.用“∥”表示.
a∥b,AB∥CD等.
平行线的性质:
两直线平行,同位角相等;
两直线平行,内错角相等;两直线平行,同旁内角互补.
4321ba
若a∥b,则12;
若a∥b,则23;
若a∥b,则34180.
平行线的判定:
1a
同位角相等,两直线平行;
内错角相等,两直线平行;同旁内角互补,两直线平行.
4321ba
若12,则a∥b;
若23,则a∥b;
若34180,则a∥b.
平行公理:
经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行.
简单说成:
过一点有且只有一条直线与已知直线平行.
A
b(c)
a
过直线a外一点A做b∥a,c∥a,
则b与c重合.
平行公理推论:
如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行.
简单说成:
平行于同一条直线的两条直线平行.
c
b
a
若b∥a,c∥a,则b∥c.
A.
例1】⑴两条直线被第三条直线所截,则(同位角相等B.内错角相等
)
C.同旁内角互补
D.以上都不对
A.
1和2是同旁内角,若145
45B.135
,则
C.45或135
2的度数是(D.不能确定
如图,
下面推理中,
正确的是(
A.∵
A
D
180°,∴
AD∥BC
B.∵
C
D
180°,∴
AB∥CD
C.∵
A
D
180°,∴
AB∥CD
D.∵
A
C
180°,∴
AB∥CD
⑶
)
如图,
直线
A.50°
a∥b,若∠
1=50°,则∠2=
B.
40°
C.150°
D.130°
AB∥
如图,直线
GEF20°,则
CD,
1的度数是(
EFCD,
F为垂足,如果
)
A.20°B.60°C.70°
D.30°
如图,直线a
(北京八中期中
∥b,点B在直线b上,且ABBC,1
如图,1和
2互补,那么图中平行的直线有(
A.a∥b
B.c∥d
C.d∥e
D.c∥e
(北京三帆中学期中)
(北京101中期中)
B
D
)
(北京八十中期中)
(北京十三分期中
2的度数是
那么
34
D
A
2
1
C
2
把解答过程补充完整
)
A
1
D
)
北京市海淀区期末)
D
A
)
P
第二级
教师版
C
2
C
如果∠1+∠3
将一张长方形纸片按如图所示折叠,如果
如图,直线
(北京一六一中期中
C.3
B.2
A.1
D.4
l2B
l1
⑴D;⑵D;⑶C
164°,那么
D,请说明12,请你完成下列填空
CD,1
l1∥l2,AB
180°(等量代换)
(同旁内角互补,两直线平行)
12(
(北京一六一中期中
2等于.
243
上)·第1讲·基础-提高-尖子班
B
⑷D;⑸C;⑹35°;⑺D;⑻D;⑼56°;⑽52°
如图,AB∥CD,B
∵AB∥CD,
∴BADD180°
∵BD,
∴BAD
5180°,其中正确的个数(
4
⑼
⑽
解析】
⑵
90°;④4
(北京十三分期中)
2;②34;
例2】⑴解
将一直角三角板与两边平行的纸条如图所示放置,下列结论:
①
③2
1
填空,完成下列说理过程.
如图,DP平分ADC交AB于点P,DPC90=90°,那么∠2和∠4相等吗?
说明理由.解:
∵DP平分ADC,
∴∠3=∠(
∵APB=°,且DPC90,
∴∠1+∠2=90°.
又∵∠1+∠3=90°,
∴∠2=∠3.()∴∠2=∠4.
北京市朝阳区期末)
⑶如图,已知DE∥AC,
DF∥AB,求
BC度数.
A
C
解:
∵DE∥AC(
∴C(3(又∵DF∥AB(∴B(A(
∴A3(
∴ABC1
),
),
)
)
)
)
)
23BDC(
点评】第⑶题即证明了三角形内角和等于
解析】⑴依次填:
两直线平行,同旁内角互补;
⑵4,角平分线定义,180,同角的余角相等⑶已知;1;两直线平行,同位角相等;直线平行,同位角相等;4;两直线平行,
180°.
B;AD∥BC;两直线平行,内错角相等
4;两直线平行,内错角相等;已知;同位角相等;等量代换;
2;两
180°;平角定义.
能力提升
例3】⑴
如图,已知直线AB∥CD,C115°,的度数为度.
A25°,则
E
如图,不添加辅助线,请写出一个能判定条件:
.
EB∥AC的
E在AC的延长线上,给出下列条件:
2;②3DCE;⑤ACD180°;⑦ABCD.
能说明AC∥BD的条件有.
解析】⑴∵AB∥CD,C115°(已知),
∴BFC65°(两直线平行,同旁内角互补)
∴AFEBFC65°(对顶角相等).
∵A25°(已知),
∴E90°(三角形内角和).
⑵EBDACB(EBABAC)等(答案不唯一)⑶②④⑤;⑷A.
例4】⑴
已知:
如图
1,
CD平分
ACB,
DE∥BC
,AED80°,
求EDC.
⑵
已知:
如图
2,
C1
,2和
D互余,
BEFD于G.
求证:
AB∥CD.
(北京八中期中)
图1图2
解析】⑴
∵DE∥BC
∴EDC
DCB
,ACB
AED80
∵CD平分
ACB
∴EDC
DCB
1
ACB
2
40
⑵
证明:
∵
C1
(已知)
∴BE∥CF(同位角相等,两直线平行)又∵BEFD(已知)
∴CFDEGD90(两直线平行,同位角相等)
∴2BFD90(平角定义)
又∵2D90(已知)
∴BFDD(等量代换)
∴AB∥CD(内错角相等,两直线平行)
例5】如图,已知:
AB∥CD,直线EF分别交AB、CD于点M、N,
MG、NH分别平分AME、CNE.求证:
MG∥NH.
从本题我能得到的结论是:
解析】∵AB∥CD,∴AMECNE又∵MG、NH分别平分AME、CNE11
∴GMEAMECNMHNE,∴MG∥NH22
从本题我能得到的结论是:
两直线平行,同位角的角分线平行.引导学生举一反三,可得:
两直线平行,内错角的角分线平行;两直线平行,同旁内角的角分线互相垂直
模型
示例剖析
a
21b
若a∥b,则12
a
1ab
23c
若a∥b∥c,则12,13180
a2
b213
若a∥b,则123
ab132
若a∥b,则123360
例6】已知:
如图AB∥CD,点E为其内部任意一点,求证:
BEDBD.
解析】过点E作EF∥AB,
∵EF∥AB,AB∥CD(已知)
∴EF∥CD(平行于同一条直线的两直线平行)
∵EF∥AB,(已知)
∴BBEF(两直线平行,内错角相等)
∵EF∥CD,(已知)
∴DDEF(两直线平行,内错角相等)
∵BEDBEFDEF
∴BEDBD(等量代换)
能力提升
例7】如图,已知AB∥DE,ABC80,CDE140,求BCD的度数.
解析】过点C作CF∥AB.
∵AB∥DE且CF∥AB(已知)∴CF∥AB∥DE(平行于同一条直线的两直线平行)∵AB∥CF且ABC80(已知)∴BCFABC80(两直线平行,∵DE∥CF且CDE140(已知)∴DCF180CDE180140
∴BCDBCFDCF8040
内错角相等)
40(两直线平行,
40
例8】
探索创新
解析】
如图,已知
CME:
3DCB180o,1GEM4:
5,求CME的度数.
2,
如图延长
∵3
CM交直线AB于点N
DCB180o,(已知)
同旁内角互补)
3ABC(对顶角相等)
∴ABCDCB180o(等量代换)
∴AB∥CD,(同旁内角互补,两直线平行)
∴14(两直线平行,内错角相等)
∵12,(已知)
∴24(等量代换)
∴GE∥CM,(同位角相等,两直线平行)
∴CMEGEM180o(两直线平行,同旁内角互补)
∵CME:
GEM4:
5,
∴CME80o
点评】通过辅助线将相关角联系起来
判断对错:
图中1与2为同位角()
解析】×
1和2不是被同一条直线所截
判断对错:
垂直于同一条直线的两直线互相平行()【解析】×
题号
班次
1
2
3
4
5
6
7
8
基础班
√
√
√
√
√
提高班
√
√
√
√
√
尖子班
√
√
√
√
√
演练1】已知如图,
1C,2B,MN与EF平行吗?
为什么?
知识模块一平行的定义、性质及判定课后演练
解析】
∵1
C(已知),
∴MN∥BC(内错角相等,
两直线平行)
∵2
B(已知),
∴EF∥BC(同位角相等,
两直线平行)
∴MN
∥EF(平行于同一条直线的两直线平行)
演练2】⑴如图1,AB∥CD,ADAC,ADC32°,则CAB的度数是
⑵如图2,直线l与直线a,b相交.若a∥b,170°,则2的度数是
⑶如图3,直线
A.80°
m∥n,
B.90
55°,
245°,则C.100°
3的度数为(D.
110°
解析】⑴122°;⑵110
演练3】⑴根据右图在(
①∵BCEF∴AB∥CD(
②∵BBED∴AB∥CD(
③∵B
)内填注理由:
已知)
已知)
∴AB∥CD
CEB
180°(已知)
如图:
已知证明:
∵∴(∴C又∵∴A∴(
1
1
∥
CBE(
A(
解析】⑴
2,AC,
(
)(
求证:
①AB∥
)
)
)
)
DC
②AD∥
(北京市东城区期末)
BC
)∥
图1
如图,∵E
又∵
∴AB∥CE
3(已知),1
(
(
2(已知)
E
图3
同位角相等,两直线平行;内错角相等,两直线平行;同旁内角互补,两直线平行.
已知,AB,CD;
等量代换;AD,2;3;对顶角相等;演练4】⑴已知:
如图1,
内错角相等,两直线平行;两直线平行,同位角相等,两直线平行.E;
110
BC;
1;
D
等量代换;
,EFD
内错角相等;
已知;
CBE;
内错角相等,两直线平行.
70°,12,求证:
B.
3
(北京三帆中学期中)
证明:
∵D∴D∴AD∥又∵
110°,EFD
EFD180°(
12(已知)∥(∥(
70°
已知)
C
∴3B()
⑵如图2,EF∥AD,1
2,BAC70°.将求AGD的过程填写完整.
(北京四中期中)
解:
∵EF∥AD,
∴2(
又∵12
∴13(
∴AB∥(
∴BAC180°(
又∵BAC70°
∴AGD.
)
)
)
)
解析】⑴EF;同旁内角互补,两直线平行;AD;BC;内错角相等,两直线平行;平行于同一条直线的两直线平行;两直线平行,同位角相等.
⑵3;两直线平行,同位角相等;等量代换;DG;内错角相等,两直线平行;两直线平行,同旁内角互补;110°.
EF;BC;
AGD;
演练5】
如图,已知
DAAB,DE平分ADC,
CE平分
BCD,
1
2
90°,求证:
BCAB.
解析】∵
DE平分
ADC,CE平分BCD,1
290°
ADC
BCD180°,∴AD∥BC,∴
DAB
ABC180
DA
AB
,∴ABC90°,即BCAB
B,试判断AED与
演练6】如图,已知1
2180o,
小关系,并对结论进行证明.
ACB的大
2180o,∴
EF,∴3
B,∴B
BC,∴AED
法二:
延长EF,找2的同位角,证出AB∥
解析】法一:
∵1
∴AB∥∵3
∴DE∥
2
ADE
ADE
ACB
DFE
EF,再找
3的内错角,
知识模块二基本模型中平行线的证明课后演练
演练7】如图,
已知
2
AB∥CD,ABF
ABE,
CDF
2
CDE,
3
3
则F
:
E
解析】分别过点
E,
F做AB和CD的平行线,
易得:
F:
E2:
3.
演练8】已知:
如图,点E为其内部任意一点,
证出DE∥BC即可.
BEDBD.求证:
AB∥CD.
解析】如图过点E做EF∥AB,∵EF∥AB∴BBEF,∵BEDBEFDEF
BEDBD∴DEFD∴EF∥CD又∵EF∥AB∴AB∥CD
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- 初一 几何 平行线 性质 判定