初中几何证明题思路及做辅助线总结.docx

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初中几何证明题思路及做辅助线总结

中考几何题证明思路总结

一、证明两线段相等

1.两全等三角形中对应边相等。

2.同一三角形中等角对等边。

3.等腰三角形顶角的平分线或底边的高平分底边。

4.平行四边形的对边或对角线被交点分成的两段相等。

5.直角三角形斜边的中点到三顶点距离相等。

6.线段垂直平分线上任意一点到线段两段距离相等。

7.角平分线上任一点到角的两边距离相等。

8.过三角形一边的中点且平行于第三边的直线分第二边所成的线段相等。

二、证明两角相等

1.两全等三角形的对应角相等。

2.同一三角形中等边对等角。

3.等腰三角形中，底边上的中线（或高）平分顶角。

4.两条平行线的同位角、内错角或平行四边形的对角相等。

5.同角（或等角）的余角（或补角）相等。

6.同圆（或圆）中，等弦（或弧）所对的圆心角相等，圆周角相等，弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。

三、证明两直线平行

1.垂直于同一直线的各直线平行。

2.同位角相等，内错角相等或同旁内角互补的两直线平行。

3.平行四边形的对边平行。

4.三角形的中位线平行于第三边。

5.梯形的中位线平行于两底。

6.平行于同一直线的两直线平行。

7.一条直线截三角形的两边（或延长线）所得的线段对应成比例，则这条直线平行于第三边。

四、证明两直线互相垂直

1.等腰三角形的顶角平分线或底边的中线垂直于底边。

2.三角形中一边的中线若等于这边一半，则这一边所对的角是直角。

3.在一个三角形中，若有两个角互余，则第三个角是直角。

4.邻补角的平分线互相垂直。

5.一条直线垂直于平行线中的一条，则必垂直于另一条。

6.两条直线相交成直角则两直线垂直。

7.利用到一线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上。

8.利用勾股定理的逆定理。

9.利用菱形的对角线互相垂直。

10.在圆中平分弦（或弧）的直径垂直于弦。

11.利用半圆上的圆周角是直角。

五、证明线段的和、差、倍、分

1.作两条线段的和，证明与第三条线段相等。

2.在第三条线段上截取一段等于第一条线段，证明余下部分等于第二条线

段。

3.利用一些定理（三角形的中位线、含30度的直角三角形、直角三角形斜边上的中线、三角形的重心、相似三角形的性质等）。

六、证明角的和、差、倍、分

1.作两个角的和，证明与第三角相等。

2.作两个角的差，证明余下部分等于第三角。

3.利用角平分线的定义。

4.三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。

第一讲：

如何做几何证明题

【例题精讲】

【专题一】证明线段相等或角相等

两条线段或两个角相等是平面几何证明中最基本也是最重要的一种相等关系。

很多其它

问题最后都可化归为此类问题来证。

证明两条线段或两角相等最常用的方法是利用全等三角

形的性质，其它如线段中垂线的性质、

角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等也经常

用到。

【例】已知：

如图所示，

ABC中，

C90，ACBC，ADDB，AE

CF

。

1

求证：

DE＝DF

A

E

D

CFB

【巩固】如图所示，已知

ABC为等边三角形，延长

BC到D，延长BA到E，并且使AE

＝BD，连结CE、DE。

E

求证：

EC＝ED

A

B

CD

【例2】已知：

如图所示，AB＝CD，AD＝BC，AE＝CF。

E

求证：

∠E＝∠F

AD

BC

F

【专题二】证明直线平行或垂直

在两条直线的位置关系中，

平行与垂直是两种特殊的位置。

证两直线平行，可用同位角、

内错角或同旁内角的关系来证，

也可通过边对应成比例、

三角形中位线定理证明。

证两条直

线垂直，可转化为证一个角等于

90°，或利用两个锐角互余，或等腰三角形“三线合一”

来证。

【例】如图所示，设

BP

、

是ABC的内角平分线，

AH

、

AK

分别为

A

到

、

CQ

的

3

CQ

BP

垂线。

求证：

KH∥BC

A

Q

P

K

H

B

C

【例4】已知：

如图所示，

AB＝AC，∠A90，AE

BF，BD

DC。

求证：

FD⊥ED

A

F

E

B

D

C

【专题三】证明线段和的问题

（一）在较长线段上截取一线段等一较短线段，证明其余部分等于另一较短线段。

（截长法）【例5】如图，四边形ABCD中，AD∥BC，点E是AB上一个动点，若∠B＝60°，AB＝BC，

且∠DEC＝60°；

求证：

BC＝AD＋AE

AD

E

BC

【巩固】已知：

如图，在ABC中，B60，∠BAC、∠BCA的角平分线AD、CE相

交于O。

B

求证：

AC＝AE＋CD

ED

O

A

C

（二）延长一较短线段，使延长部分等于另一较短线段，则两较短线段成为一条线段，证明该线段等于较长线段。

（补短法）

【例6】已知：

如图7所示，正方形ABCD中，F在DC上，E在BC上，EAF45。

求证：

EF＝BE＋DF

AD

F

B

E

C

【专题四】证明几何不等式：

【例7】已知：

如图所示，在

ABC中，AD平分∠BAC，ABAC。

求证：

BDDC

A

BDC

【拓展】

ABC中，BAC

90，AD

BC于D，求证：

AD

1ABACBC

4

A

BC

D

基本图形的辅助线的画法

1.三角形问题添加辅助线方法

方法1：

有关三角形中线的题目，常将中线加倍。

含有中点的题目，常常利

用三角形的中位线，通过这种方法，把要证的结论恰当的转移，很容易地解决了

问题。

方法2：

含有平分线的题目，常以角平分线为对称轴，利用角平分线的性质和题中的条件，构造出全等三角形，从而利用全等三角形的知识解决问题。

方法3：

结论是两线段相等的题目常画辅助线构成全等三角形，或利用关于平分线段的一些定理。

方法4：

结论是一条线段与另一条线段之和等于第三条线段这类题目，常采用截长法或补短法，所谓截长法就是把第三条线段分成两部分，证其中的一部分等于第一条线段，而另一部分等于第二条线段。

2.平行四边形中常用辅助线的添法

平行四边形（包括矩形、正方形、菱形）的两组对边、对角和对角线都具有

某些相同性质，所以在添辅助线方法上也有共同之处，目的都是造就线段的平行、

垂直，构成三角形的全等、相似，把平行四边形问题转化成常见的三角形、正方

形等问题处理，其常用方法有下列几种，举例简解如下：

（1）连对角线或平移对角线：

（2）过顶点作对边的垂线构造直角三角形

（3）连接对角线交点与一边中点，或过对角线交点作一边的平行线，构造线段平行或中位线

（4）连接顶点与对边上一点的线段或延长这条线段，构造三角形相似或等积三角形。

（5）过顶点作对角线的垂线，构成线段平行或三角形全等.

3.梯形中常用辅助线的添法

梯形是一种特殊的四边形。

它是平行四边形、三角形知识的综合，通过添加适当的辅助线将梯形问题化归为平行四边形问题或三角形问题来解决。

辅助线的添加成为问题解决的桥梁，梯形中常用到的辅助线有：

（1）在梯形内部平移一腰。

（2）梯形外平移一腰

（3）梯形内平移两腰

（4）延长两腰

（5）过梯形上底的两端点向下底作高

（6）平移对角线

（7）连接梯形一顶点及一腰的中点。

（8）过一腰的中点作另一腰的平行线。

（9）作中位线

当然在梯形的有关证明和计算中，添加的辅助线并不一定是固定不变的、单一的。

通过辅助线这座桥梁，将梯形问题化归为平行四边形问题或三角形问题来解决，这是解决问题的关键。