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新概念新题型新试题新信息
新概念、新题型、新试题、新信息
2009年高考数学能力备考"新概念、新题型、新试题、新信息"原创试题精编
云南省昭通市鲁甸一中,马兴奎(657100)
新课标的考试大纲中,对能力要求有新的提法,"对新颖的信息、情境和设问,选择有效的方法和手段收集信息,综合与灵活应用所学知识、思想和方法,进行独立的思考、探究和研究,提出解决问题的思路,创造性地解决问题"。
人教大纲版高考数学考试大纲也对试题的命制明确指出:
试题注意"立意鲜明、背景新颖,设问灵活,层次清晰,新题不难,难题不怪",在试卷中创设比较新颖的问题和情境,注重问题的多样化。
综观近几年高考试题在能力立意的基础上大胆地进行了改革创新,出现了一些内容立意新、情境设置新,设问方式新、题型结构新和构思精巧的创新题。
这类题目突出考查学生的探究能力,创新意识,充分体现了高考支持课改并服务于课改的指导思想,所以备受命题专家的青眯,因此,加强对情境创新题的题型研究和学习就显得十分必要,本文参考近几年全国各地高考试题为题源进行创新改编,以期对读者的2009年高考数学能力备考有所帮助。
【例1】给定集合A、B,定义,若,则集合A*B中所有元素之和为
A.6B8C.10D.18
【分析及解】由已知,∴集合A*B中所有元素之和为10,故选C
【点评】本题通过定义新运算"",考生只需依据新的运算方式,结合课内知识集合中元素的互异性即可解决,是考生熟悉的,属于"旧"题穿"新"衣。
【例2】已知集合,,,则能建立多少个定义域为M,值域为N的函数
A.81
B.72
C.36
D.18
【分析及解】M为定义域,N为值域,则N中每个元素必有原象,只需使M中的某2个元素对应N中的一个元素,且另两个元素各对应另外两个不同元素即可,这是从的满射,共有
个这样的函数.故选C
【点评】本题主要以映射、函数的概念为载体,考查利用排列、组合知识来解决问题的能力,题目"新"在命题的背景上,这是近几年高考命制题目一个新亮点,把"旧知识,老方法"放"新问题"中考查考生的数学能力。
属于"旧"题"新"考。
【例3】若且f
(1)=2,则+++...+等于
A.2006B.2007C.2008D.2009
【分析及解】令,,则,
即,所以,原式=,故选C
【例7】已知函数f(x)=x5-5x4+10x3-10x2+5x-1,则f(x)的反函数为A.B.C.D.
【分析及解】由已知,由,得,所以,,故选C
【例8】函数是
A.偶函数B.奇函数C.偶函数且奇函数D.非偶函数非奇函数
【分析及解】由已知定义域为:
,所以,易知
所以函数为奇函数,故选B
【例9】如果等于
A.2B.C.1D.3
【分析及解】因为,,故选A
【例10】2008年9月25日晚21:
10分在酒泉卫星发射中心用长征二号F型运载火箭将"神舟"七号发射成功。
已知火箭的起飞重量是箭体(包括搭载的飞行器)的重量和燃料重量之和,在不考虑空气阻力的条件下,假设火箭的最大速度关于的函数关系为(其中)。
当燃料重量为吨(为自然对数的底数,)时,该火箭的最大速度为
(1)求火箭的最大速度为与燃料重量之间的函数关系式
(2)已知该火箭的起飞重量是544吨,那么,应装载多少吨燃料,才能使该火箭的最大速度达到,以便顺利地把飞船发送到预定的轨道?
【分析及解】
(1)依题意把,代入函数关系式
,解之得
∴所求的函数关系式为,整理得:
(2)设应装载吨燃料方能达到预定速度,则,代入函数关系式
,得,解之得(),故应装载吨燃料方能顺利地把飞船发送到预定的轨道。
三:
数列【例11】图
(1)、
(2)、(3)、(4)分别包含l个、5个、l3个、25个第十九届北京奥运会吉祥物"福娃迎迎",按同样的方式构造图形,设第"个图形包含个"福娃迎迎",则.
【分析及解】由图易知,,,,即,
【例12】"神七"飞天,举国欢庆,据计算,运载飞船的为火箭,在点火1分钟通过的路程为2km,以后每分钟通过的路程增加2km,在到达离地面240km的高度时,火箭与飞船分离,则这一过程大约需要的时间是
A.10分钟B.13分钟C.15分钟D.20分钟
【分析及解】由已知点火后飞船通过的路程构成以2为首项,公差为2的等差数列,将此问题转化为已知,,,求的值问题,即,整理得
解之得或(舍去),故本题选C
【例13】若两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn,已知=()
A.7B.C.D.
解法1:
(赋值法)
∵∴∴①又 即②
又
即③
由①②③解之得:
,,
∴
∴本题选
解法2:
(基本量元素运算法)
等差数列{an},{bn}的公差分别为和,则
则有①
又由于②
观察①,②可在①中取得
即∴本题选
解法3:
(等差中项法)∵∴
∴∴本题选
解法4:
(前和公式特征法)
∵等差数列前项和即
∴根据已知,可设,∴
∴本题选
【例14】由正数组成的等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn,且
A.B.C.D.
解:
可设,∴
∴本题选
【例15】由正数组成的等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn,且=
A.B.C.D.
思路1:
由解法3知:
∴取,则有
思路1:
设则,,∴∴
【例16】若等差数列的前n项和为的值等于A.1B.C.D.解:
∵即∴=
∴本题选B
四:
三角函数
【例17】已知函数上的最小值为-2,则的取值范围是()A.B.C.D.
【分析及解】①当时,∴,由已知结合图像得∴②当时,∴,由已知结合图像得∴综上知:
故选D。
【例18】设上是增函数,那么()
A.B.C.D.
【分析及解】由得(
由已知必然在上述的区间的子区间,即
解之得:
,故选A。
五:
平面向量
【例19】已知O是平面上的一个定点,A,B,C,是平面上不共线三个点,动点P满足
,则动点P的轨迹一定通过△ABC的()
A.重心B.垂心C.外心D.内心
【分析及解】由已知两边同向量取数量积得==0故动点P的轨迹一定通过△ABC的垂心。
∴选B
【例20】已知O是平面上的一个定点,A,B,C,是平面上不共线三个点,动点P满足
,则动点P的轨迹一定通过△ABC的()
A.重心B.垂心C.外心D.内心
【分析及解】设的边上的高为,边上的中点为,则由已知即∴向量与向量共线。
故动点P的轨迹一定通过△ABC的重心。
∴选A
【例21】已知O是平面上的一个定点,A,B,C,是平面上不共线三个点,动点P满足
,则动点P的轨迹一定通过△ABC的()
A.重心B.垂心C.外心D.内心
【分析及解】设的边上中点为,,其中分别是向量和的单位向量。
∴向量与向量共线。
故动点P的轨迹一定通过△ABC的内心,∴选D
【例22】已知O是平面上的一个定点,A,B,C,是平面上不共线三个点,动点P满足
,则动点P的轨迹一定通过△ABC的
A.重心B.垂心C.外心D.内心
【分析及解】设的中点为则由已知得两边同向量取数量积得==0
故动点P的轨迹一定通过△ABC的外心。
∴选C
【例23】如图所示,我国发射的"神舟"七号载人飞船在地球
上空处沿着圆形的轨道飞行,每2小时沿轨道绕
地球飞行一周,假设飞船于中午12点整通过飞船跟踪站
点的正上空,地球的半径约为。
(1)若跟踪站的天线瞄准的方向与水平线的夹角成,
那么什么时候飞船能收到跟踪站天线发出的指令信号?
(2)若要求飞船恰在中午12点整收到跟踪站发出的指令信号,
求跟踪站与点的最远距离,(跟踪站的天线瞄准方向可以自由调节,参考数据:
,,结果精确到)。
【分析及解】
(1)如图,设飞船在点与跟踪站天线所发出的无线电指令信号相遇,在中,
,,设,,,由正弦定理,得,即
∴,求得,
因此飞船绕转过角所用时间为(分钟)。
飞船收到指令信号的时间为。
即飞船在收到指令信号。
(2)设飞船在点正上空的点为,跟踪站与的最远点为,由平面几何知识可知,
应为圆周的切线,即,
在中,,
∴,弧长为()
即跟踪站与点的最大球面距离为。
六:
不等式
【例24】对于使成立的所有常数中,我们把的最小值叫做的上确界,若,则的上确界为
()-3()()-()
【分析及解】由题意知相当于求的最大值,
又,故选()
【例25】对于函数,在使成立的所有常数M中,我们把M的最小值称为函数的"上确界",则函数上的"上确界"为(C)
A.B.C.2D.4
【分析及解】由题意知相当于的最大值,
又,故选C
七:
直线与圆的方程
【例26】已知,,经过原点以为方向向量的直线与经过定点,以为方向向量的直线相交于,其中,当变动时,试问是否存在一个定点,使得为定值?
若存在,求出的坐标,若不存在,说明理由.
【分析及解】由题意知:
,设,则,∵,,∴,,消去得
即,故存在一个定点,,使得为定值,所以存在
【例27】直线和直线的交点为,则过两点,的直线方程为_____________.
【分析及解】∵为两直线的交点,∴,
由此可知,点,都在直线上,又∵与是两条不同的直线,∴与,与不可能全相同,因此,为不同的两点,∴过两点,的直线方程为.
八:
圆锥曲线
【例28】我国2008年9月25日发射的"神七"载人飞船的运行轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆,近地点距地面为千米,远地点距地面为千米,地球半径为千米,则飞船运行轨道的短轴长为
A.B.C.D.
【分析及解】由已知,,解之得,,计算得:
,故长轴长为,∴本题选A
【例29】图中共顶点的椭圆①、②与双曲线③、④的离心率分别为,其大小关系为(C)A.B.C.D.
【分析及解】∵椭圆离心率的变化反映了椭圆的扁平程度,又由椭圆②较椭圆①更"扁平",可知椭圆②的离心率大于椭圆①的离心率,即,又∵双曲线的离心率是描述双曲线"开口"大小的一个重要数据,由可推出越大,双曲线的"开口"就越开阔.
∴,故,∴选C
【例30】设"神舟"七号飞天前,空间科学与科技实验小组在计算机上模拟"神七"变轨返回试验,设计方案如图所示,航天器运行(按顺时针方向)的轨迹为,变轨(即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线)后返回的轨迹是以轴为对称轴,为顶点的抛物线的实线部分,降落点为,观察点、同时跟踪航天器。
(1)求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程
(2)试问:
当航天器在轴上方时,
观测点、测得离航天器的距离分别为多少时,
应向航天器发出变轨指令?
【分析及解】
(1)设曲线方程为,
由在曲线上:
∴,
即,∴所求曲线方程为
(2)设变轨点为,根据题意可知消去得:
,解之得:
或(不合题意,舍去)
将代入得或(不合题意,舍去),
∴点的坐标为,∴,
故当观测点、测得、距离分别为、时,应向航天器发出变轨指令
【例31】已知抛物线,过定点的直线交抛物线于A、B两点.
(Ⅰ)分别过A、B作抛物线的两条切线,A、B为切点,求证:
这两条切线的交点在定直线上.
(Ⅱ)当时,在抛物线上存在不同的两点P、Q关于直线对称,弦长|PQ|中是否存在最大值?
若存在,求其最大值(用表示),若不存在,请说明理由.
【分析及解】(Ⅰ)由,得,设
过点A的切线方程为:
,
即
同理求得过点B的切线方程为:
∵直线PA、PB过,
∴,
∴点在直线上,
∵直线AB过定点,
∴,即
∴两条切线PA、PB的交点在定直线上.
(Ⅱ)设,
设直线的方程为:
,
则直线的方程为:
,
,
,①
设弦PQ的中点,
则
∵弦PQ的中点在直线上,
∴,
即②
②代入①中,得③
由已知,当时,弦长|PQ|中不存在最大值.
当时,这时,
此时,弦长|PQ|中存在最大值,
即当时,弦长|PQ|中的最大值为
【例32】如图,为半圆,为半圆直径,为半圆圆心,且,为线段的中点,已知,曲线过点,动点在曲线上运动且保持的值不变
(Ⅰ)建立适当的平面直角坐标系,求曲线的方程;
(Ⅱ)过点的直线和曲线相交于不同的两点
、,且在、之间,
设,求的取值范围
解法1:
(Ⅰ)以为原点,、所在直线
分别为轴,轴建立平面直角坐标系,∵∴曲线是以、为焦点的椭圆,∴,,
故曲线的方程为:
(Ⅱ)由已知,则,即,当直线与轴重合时,易得,当直线与轴不重合时,设直线的方程为。
由消去并整理得:
。
由判别式可得:
设,则,①
∵在、之间,故或∴
由条件,,代入①(②③
②/③得:
由,得
∴4解之得:
且
又,所以综上所述,
解法2:
(Ⅰ)同解法一
(Ⅱ)由已知得,设M(x1,y1),N(x2,y2),
由,,即
∵M、N在椭圆上
消去得:
利用平方差公式整理得:
.又
综合可得λ的取值范围是[,1)
【例33】设点F(0,),动圆P经过点F且和直线y=-相切.记动圆的圆心P的轨迹为曲线W.
(Ⅰ)求圆心P的轨迹W的方程;
(Ⅱ)过点F作直线l交曲线W于A,B两点,过A,B两点分别作曲线W的切线l1,l2,求证:
直线l1,l2的交点Q永远在一条定直线上.
【分析及解】(Ⅰ)过点作垂直直线于点
依题意得.
所以动点的轨迹为是以为焦点,直线为准线的抛物线.
即曲线的方程是
(Ⅱ)依题意,直线的斜率存在且不为,
设直线的方程为,
将代入化简得.
设则
设Q的坐标为(x,y),对求导得
过A点的切线方程为
(1)
同理,过B点的切线方程为
(2)
(1)-
(2)得
(1)+
(2)得
所以Q的轨迹方程为(k为参数)
即Q的永远在一条定直线上.
九:
立体几何
【例34】正四棱锥的五个顶点在同一个球面上,若其底面边长为4,侧棱长为,则此球的表面积为
(A)(B)(C)(D)
【分析及解】如图,设球的半径为
为正方形中心,在直角三角形中有在直角三角形中有:
两式联立解得,故球的表面积为,故选(B)
【例35】如图1,平面中△ABC的角C的内角平分线CE分△ABC
面积所成的比,把这个结论类比到空间:
在
三棱锥A-BCD(如图2)中,平面DEC平分二面角A-CD-B
且与AB相交于E,则类比的结论是 .
【分析及解】利用类比的思想可得结论:
十:
排列,组合,二项式定理
【例36】体育老师把9个相同的足球放入编号为1,2,3的三个箱中,要求每个箱子放球的个数不少于其编号,则不同的放球方法有()
A.8种B.10种C.12种D.16种
【分析及解】先在2号盒子里放1个小球,在3号盒子里放2个小球,余下的6个小球排成一排为:
,只需在6个小球的5个空位之间插入2块挡板,如:
,每一种插法对应着一种放法,故共有不同的放法为种.故选B
【例37】将13个相同的小球放入编号为1,2,3,4的四个盒中,每个盒中放入的小球数不少于盒子的编号数,则不同的放法共有种.(用数字作答)
【分析及解】先在2号盒子里放1个小球,在3号盒子里放2个小球,在4号盒子里放3个小球,余下的7个小球排成一排为:
,只需在7个小球的6个空位之间插入3块木板,如:
,每一种插法对应着一种放法,故共有不同的放法为种.故应填20
【例38】用数字可以组成没有重复数字,并且不大于4310的四位偶数共有
A.110种B.109种C.108种D.107种
【分析及解】
(1)查首位:
只考虑首位比4小的数,可分3种情况,①型,因为偶
数要求个位可排,有种;②型,此种情况个位只能排且千位上不能
排0,有种;③型,此种情况个位可排,所以有种。
(2)查前2位:
只考虑前"2"位中比3小的数,可分3种情况,①型,此种情况个位只能排,有种;②型,此种情况个位只能排,有种;③型,此种情况个位只能排,有种。
(3)查前3位:
只考虑前"3"位中比1小的数,只有型,此种情况个位只能排,故只有一种,在结合题目条件不大于4310,其自身4310也满足。
故共有:
,故选A
【例39】将5个数分别写在卡片上,然后不放回地抽取出来,依据抽取的顺序,这5张卡片上的数字依次作为减函数的系数,二次函数的首项系数,椭圆的离心率,双曲线的离心率,抛物线的离心率,其中恰好有两个数字对应正确的抽取方法有______种.
【分析及解】5个数中有2个对应正确,可能性有种,另三个对应不正确,有2种对应方法,由分步计数原理知,共有种.
【例40】地面上有四个科研机构在接收嫦娥卫星发回的某类信息,它们两两之间可以互相接发信息,由于功率限制,卫星只能随机地向其中一个科研机构发送信息,每个科研机构都不能同时向两个或两个以上的科研机构发送信息,某日四个机构之间发送了三次信息后,都获得了卫星发回的同一条信息,那么是接收到该信息后互相联系的方式共有
(A)16种(B)17种(C)34种(D)48种
【分析及解】本题分类求解.
第一类:
直接发送给三处,有种.
第二类:
直接发送给中的两处,再由其中一处通知第四处,有种.
第三类:
直接发送给中的一处,再由该处通知另两处,有种.
∴共有种不同的方式.故选(A)
【例41】的各项系数之和大于,小于,则展开式中系数最大的项是
(A)(B)(C)(D)或
【分析及解】在展开式中的项的系数即是该项的二项式系数,即
故,系数最大的项为,故选(A)
十一:
概率
【例42】抛一枚均匀硬币,正,反面出现的概率都是,反复投掷,数列定义如下:
若,则事件的概率为
(A)(B)(C)(D)
【分析及解】,则4次投掷中至少有3次出现正面,
故所求概率,故选(C)
【例43】抛掷一枚骰子,当它每次落地时,向上的点数称为该次抛掷的点数,可随机出现1到6点中的任一个结果,连续抛掷三次,将第一次,第二次,第三次抛掷的点数分别记为,求长度为的三条线段能构成等腰三角形的概率.
【分析及解】连续抛掷三次,点数分别为的基本事件总数为
长度为的三条线段能构成等腰三角形有下列两种情形
①当时,能构成等边三角形,有共6种可能.
②当恰有两个相等时,设三边长为,其中,且;
若,则只能是或,共有2种可能;若,则只以是,共有4种可能;
若,则只以是集合中除外的任一个数,共有种可能;
∴当恰有两个相等时,符合要求的共有
故所求概率为
【例44】一只蚂蚁在边长分别为的三角形的边上爬行,某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均不小于1的概率是__________
【分析及解】如图,当某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离
均不小于1时,蚂蚁只能在线段,,上,所以所求概率为
十二:
概率与统计
【例45】一台仪器每启动一次都随机地出现一个5位的二进制数,其中的各位数字中,,出现的概率为,出现的概率为,例如:
其中,,记,当启动一次仪器时,
(1)求的概率
(2)求的概率分布列
【分析及解】
(1)由题意得:
(2)的取值为,,,故的概率分布列为1
2345【例46】已知从"神七"飞船带回的某种植物种子每粒成功发芽的概率都为,某植物研究所进行该种子的发芽实验,每次实验种一料种子,每次实验结果相互独立。
假定某次实验种子发芽则称该次实验是成功的,如果种子没有发芽,则称该次实验是失败的。
若该研究所共进行四次实验,设表示四次实验结束时实验成功的次数与失败的次数之差的绝对值
(1)求随机变量的数学期望E;
(2)记"关于x的不等式的解集是实数集R"为事件A,求事件A发生的概率P(A)。
【分析及解】
(1)由题意知L的可能取值为0,2,4
指的是实验成功2次,失败2次.
指的是实验成功3次,失败1次或实验成功1次,失败3次.
指的是实验成功4次,失败0次或实验成功0次,失败4次.
故随机变量的数学期望为.
(2)由题意知:
"不等式的解集是实数R"为事件A.
当时,不等式化为10,其解集是R,说明事件A发生;
当时,不等式化为
,所以解集是R,说明事件A发生;
当时,不等式化为其解集,
说明事件A不发生.
∴【例47】已知集合,建立从A到B的映射f,记
(1)求的分布列(不要求计算过程);
(2)求的数学期望和方差.
【分析及解】
(1),,01P
.
(2).
十三:
极限
【例48】已知,,,数列满足,,.证明:
.
【分析及证明】∵,∴
∴,∴,下面用数学归纳法证明:
①时,,∴故结论成立
②假设时结论成立,即,∴.
∴,即,也就是说时,结论成立.
由①②可知,对一切均有
【例49】已知函数在上连续,则的值为_______
【分析及解】∵=∴,又∵在上连续,∴,∴,,∴
十四:
导数
【例50】若函数y=在R上可导且满足不等式x-恒成立,且常数a,b满足ab,则下列不等式一定成立的是()
A.abB.abC.abD.ab
【分析及解】由已知x+0∴构造函数则x+0从而在R上为增函数。
∴即ab∴选B
【例51】若对可导函数,当时恒有,若已知是一锐角三角形的两个内角,且,记则下列不等式正确的是()A.B.C.D.
【分析及解】由已知则
从而在R上为减函数。
是一锐角三角形的两个内角,∴即
∴则,又有则∴选C【例52】抛物线的准线与轴交于点,若绕点以每秒弧度的角速度按逆时针方向旋转秒钟后,恰与抛物线第一次相切,则等于
(A)1(B)2(C)3(D)4
【分析及解】由已知,,设绕点旋转的直线与抛物线第一次相切的切点为,则,切线方程为,
即,由题意,解得,∴
∴切线倾斜角为,∴,故本题选(C)
【例53】已知函数在区间上是减函数,求的最大值.
【分析及解】由题意在区间上满足恒成立,
则,即,此问题相当于在约束条件下求目标函数的最大值.作出可行域(图略),由图可知,当直线:
过点时,最大,
由得,∴.
【例54】已知
(1)若存在单调递减区间,求的取值范围;
(2)若时,求证成立;
(3)利用
(2)的结论证明:
若
【分析及解】
(1)
,有单调减区间有解,有解,①时合题意
②时,,即
的范围是
(2)设0+0-最大值
有最大值0恒成立即成立(3)由
(2)
,求证成立
十五:
复数
【例55】若对应的点在实轴上,则的最小值为
A.2B.3C.4D.8
【分析及解】∵∴,故的最小值为2,∴选A
【例56】已知关于的方程有实根,则实数满足
A.B.C.D.
【分析及解】设实根为,则
即,∴解之得:
故选D【例57】若复数对应的点在第一象限,求实数的取值范围
【分析及解】∵
∴解之得
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