小波变换.docx
- 文档编号:29751909
- 上传时间:2023-07-26
- 格式:DOCX
- 页数:30
- 大小:2.09MB
小波变换.docx
《小波变换.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《小波变换.docx(30页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
小波变换
小波变换
小波,一个神奇的波,可长可短可胖可瘦(伸缩平移),当去学习小波的时候,第一个首先要做的就是回顾傅立叶变换(又回来了,唉),因为他们都是频率变换的方法,而傅立叶变换是最入门的,也是最先了解的,通过傅立叶变换,了解缺点,改进,慢慢的就成了小波变换。
主要的关键的方向是傅立叶变换、短时傅立叶变换,小波变换等,第二代小波的什么的就不说了,太多了没太多意义。
当然,其中会看到很多的名词,例如,内积,基,归一化正交,投影,Hilbert空间,多分辨率,父小波,母小波,这些不同的名词也是学习小波路上的标志牌,所以在刚学习小波变换的时候,看着三个方向和标志牌,可以顺利的走下去,当然路上的美景要自己去欣赏(这里的美景就是定义和推导了)。
因为内容太多,不是很重要的地方我都注释为(查定义)一堆文字的就是理论(可以大体一看不用立刻就懂),同时最下面也给了几个网址辅助学习。
一、基
傅立叶变换和小波变换,都会听到分解和重构,其中这个就是根本,因为他们的变化都是将信号看成由若干个东西组成的,而且这些东西能够处理还原成比原来更好的信号。
那怎么分解呢?
那就需要一个分解的量,也就是常说的基,基的了解可以类比向量,向量空间的一个向量可以分解在x,y方向,同时在各个方向定义单位向量e1、e2,这样任意一个向量都可以表示为a=xe1+ye2,这个是二维空间的基,
而对于傅立叶变换的基是不同频率的正弦曲线,所以傅立叶变换是把信号波分解成不同频率的正弦波的叠加和,而对于小波变换就是把一个信号分解成一系列的小波,这里时候,也许就会问,小波变换的小波是什么啊,定义中就是告诉我们小波,因为这个小波实在是太多,一个是种类多,还有就是同一种小波还可以尺度变换,但是小波在整个时间范围的幅度平均值是0,具有有限的持续时间和突变的频率和振幅,可以是不规则,也可以是不对称,很明显正弦波就不是小波,什么的是呢,看下面几个图就是
当有了基,以后有什么用呢?
下面看一个傅立叶变换的实例:
对于一个信号的表达式为x=sin(2*pi*t)+0.5*sin(2*pi*5*t);
这里可以看到是他的基就是sin函数,频率是1和5,下面看看图形的表示,是不是感受了到了频域变换给人的一目了然。
基具有非冗余性,即使基不是正交的,有相关性,但若去掉其中任何一个,则不成为基,这一点也叫完备性;基的表示有唯一性,即给定一族基对一个函数的表达是唯一的;一般情况下基非正交,也称为为exactframe(Resizebasis),这个时候要表示信号可以将基正交化成唯一的正交基(对偶为其自身);也可以求其对偶框架(dualframe),其对应了小波变换中的双正交情形!
信号可以依框架分解,然后用对偶框架重构。
若在基集里添加一些新的向量,并随意调整空间位置,则有可能成为框架。
把函数与基或框架作内积,也可以说成是一种函数空间到系数空间的变换。
若某种变换后的能量(内积的平方和度量)仍然有一个大于0的上下界,才可以成为框架,由于框架的冗余性,所以系数的表达也不具有唯一性。
若上下界相等,则为紧框架,且界表示冗余度。
若上下界相等为且为1,称为pasvalidentityframe,此时不一定为正交基(想象把一组正交基中某一个拆成两个同方向的基之和,则pasvalidentity仍然成立),此时若加上基的长度均为一的条件,则框架退化为正交基。
可能你会问我们用基来表示信号就行了啊,为什么还要框架呢?
其实很多信号表示方法不能构成基,却能构成框架,如短时傅立叶变换中如要求窗函数满足基条件,则可推出该函数有很差的时频局部化性质(事实上退化为了傅立叶变换。
二、内积
在Hilbert空间(查定义)里看到这个东西,用来刻画两个向量的夹角,当内积为0时,两个向量正交,若g为Hilbert空间里的正交基的时候,内积为f向基上的正交投影;(Hilbert空间是一个很直观的空间,我一直都理解为欧氏空间去理解定义在其上的东西,L^2(平方可积,查定义)和l^2同样为Hilbert空间。
下面这个公式是基本,经过变形后会用在推导中:
如果两个向量的内积为0,就说他们是正交的。
如果一个向量序列相互对偶正交,并且长度都为1,那么就说他们是正交归一化的。
对于
存在L2(R)上一组标准正交基gi(t),i=1,2,3….,使得
L2(R)上任意一个函数f(t)都可以由L2(R)上的一个规范正交基gi(t)进行线性组合表示出来
三、傅立叶的缺点
先列举出来缺点,然后再说明:
(1) Fourier分析不能刻画时间域上信号的局部特性
(2) Fourier分析对突变和非平稳信号的效果不好,没有时频分析
傅立叶变换傅立叶变换将函数投影到三角波上,将函数分解成了不同频率的三角波,这不能不说是一个伟大的发现,但是在大量的应用中,傅立叶变换的局限性却日趋明显,事实上在光滑平稳信号的表示中,傅立叶基已经达到了近似最优表示,但是日常生活中的信号却并不是一直光滑的,而且奇异是平凡的,傅立叶在奇异点的表现就着实让人不爽,从对方波的傅立叶逼近就可以看出来,用了大量不同频率的三角波去逼近其系数衰减程度相当缓慢,而且会产生Gibbs效应。
其内在的原因是其基为全局性基,没有局部化能力,以至局部一个小小的摆动也会影响全局的系数。
实际应用中很需要时频局部化,傅立叶显然缺乏此能力了。
即使如此,由于其鲜明的物理意义和快速计算,在很多场合仍然应用广泛。
傅立叶变换在从连续到离散的情形是值得借鉴与学习的,大家都知道,时间周期对应频域离散,时间离散对应频域周期,时间离散周期对应频域离散周期,DFT其实是将离散信号做周期延拓然后做傅立叶变换再截取一个周期,反变换同样如此,所以DFT用的是块基的概念,这样如果信号两端的信号连接后不再光滑(即使两边都光滑),同样会在边界上产生大幅值系数(边界效应),延伸到图像中就是块效应。
当对信号做对称周期延拓后再做傅立叶变换得到的正弦系数全部为0,也就是任何对称函数可以写成余弦的线性组合,同样按照离散的思路构造得到的是离散块余弦基,即DCT变换,虽然DCT可以通过对称后周期延拓再变换减少了边界效应(两边信号接上了,但不一定平滑),但任不能消除块效应,尤其是图像变换中人为将图像分成8*8处理后块效应更加明显。
但是DCT很好的能量聚集效应让人惊奇,加之快速计算方法使它替代DFT成为图像的压缩的标准了很长时间(JPEG)。
上面一堆文字也许看的有点蒙,还是用图来说明
第一个就是傅立叶变换是整个时域,所以没有局部特征,这个也是他的基函数决定的看图,同时如果在时域张有了突变,那么在频域就需要大量的三角波去拟合,这也是傅立叶变换性质决定的。
第二个就是面对非平稳信号,傅立叶变换可以看到由哪些频域组成,但是不知道各成分对应的时刻是什么,也就是没有时频分析,看不出来信号频域随着时间变换的情况,反过来说就是,一个的频图对应好几个时域图,不知道是哪个,这个在实际应用中就不好了,看图
做FFT后,我们发现这三个时域上有巨大差异的信号,频谱(幅值谱)却非常一致。
尤其是下边两个非平稳信号,我们从频谱上无法区分它们,因为它们包含的四个频率的信号的成分确实是一样的,只是出现的先后顺序不同。
可见,傅里叶变换处理非平稳信号有天生缺陷。
它只能获取一段信号总体上包含哪些频率的成分,但是对各成分出现的时刻并无所知。
因此时域相差很大的两个信号,可能频谱图一样。
然而平稳信号大多是人为制造出来的,自然界的大量信号几乎都是非平稳的,所以在比如生物医学信号分析等领域的论文中,基本看不到单纯傅里叶变换这样naive的方法。
上图所示的是一个正常人的事件相关电位。
对于这样的非平稳信号,只知道包含哪些频率成分是不够的,我们还想知道各个成分出现的时间。
知道信号频率随时间变化的情况,各个时刻的瞬时频率及其幅值——这也就是时频分析。
三、短时傅立叶变换(Short-timeFourierTransform,STFT)
有了缺点就要改进了,这里就出来了短时傅立叶变换,也叫加窗傅立叶变换,顾名思义,就是因为傅立叶变换的时域太长了,所以要弄短一点,这样就有了局部性。
定义:
把整个时域过程分解成无数个等长的小过程,每个小过程近似平稳,再傅里叶变换,就知道在哪个时间点上出现了什么频率了。
”这就是短时傅里叶变换。
下面就是示意图
时域上分成一段一段做FFT,不就知道频率成分随着时间的变化情况了吗!
可能理解这一点最好的方式是举例子。
首先,因为我们的变换是对时间和频率的函数(不像傅立叶变换,仅仅是对频率的函数),它是二维的(如果加上幅度则是三维)。
以下图所示的非平稳信号为例:
在这个信号中,在不同时刻有四个频率分量。
0-250ms内信号的频率为300Hz,其余每个250ms的间隔的信号频率分别为200Hz,100Hz和50Hz。
很明显,这是一个非平稳信号,让我们看一看它的短时傅立叶变换:
用这样的方法,可以得到一个信号的时频图了:
图上既能看到10Hz,25Hz,50Hz,100Hz四个频域成分,还能看到出现的时间。
两排峰是对称的,所以大家只用看一排就行了。
看着貌似解决了问题,好像有了局部性,但是这个名字叫做加窗傅立叶变换,那么这个窗要多大了呢?
窗太窄,窗内的信号太短,会导致频率分析不够精准,频率分辨率差。
窗太宽,时域上又不够精细,时间分辨率低。
e
(这里插一句,这个道理可以用海森堡不确定性原理来解释。
类似于我们不能同时获取一个粒子的动量和位置,我们也不能同时获取信号绝对精准的时刻和频率。
这也是一对不可兼得的矛盾体。
我们不知道在某个瞬间哪个频率分量存在,我们知道的只能是在一个时间段内某个频带的分量存在。
所以绝对意义的瞬时频率是不存在的。
)
上图对同一个信号(4个频率成分)采用不同宽度的窗做STFT,结果如右图。
用窄窗,时频图在时间轴上分辨率很高,几个峰基本成矩形,而用宽窗则变成了绵延的矮山。
但是频率轴上,窄窗明显不如下边两个宽窗精确。
所以窄窗口时间分辨率高、频率分辨率低,宽窗口时间分辨率低、频率分辨率高。
对于时变的非稳态信号,高频适合小窗口,低频适合大窗口。
然而STFT的窗口是固定的,在一次STFT中宽度不会变化,所以STFT还是无法满足非稳态信号变化的频率的需求。
四、小波变换
真是千呼万唤才出来了,终于看见小波了啊。
这里先引入小波,回顾一下基,然后再看看小波的优点,其实就是上面傅立叶缺点的解决。
对于加窗傅立叶变换让人头疼的就是窗口的大小问题,如果我们让窗口的大小可以改变,不就完美了吗?
答案是肯定的,小波就是基于这个思路,但是不同的是。
STFT是给信号加窗,分段做FFT;而小波变换并没有采用窗的思想,更没有做傅里叶变换。
小波直接把傅里叶变换的基给换了——将无限长的三角函数基换成了有限长的会衰减的小波基。
这样不仅能够获取频率,还可以定位到时间了~
这里就又回到了最开始的基了。
这个基函数会伸缩、会平移(其实是两个正交基的分解)。
缩得窄,对应高频;伸得宽,对应低频。
然后这个基函数不断和信号做相乘。
某一个尺度(宽窄)下乘出来的结果,就可以理解成信号所包含的当前尺度对应频率成分有多少。
于是,基函数会在某些尺度下,与信号相乘得到一个很大的值,因为此时二者有一种重合关系。
那么我们就知道信号包含该频率的成分的多少。
如前边所说,小波做的改变就在于,将无限长的三角函数基换成了有限长的会衰减的小波基。
效果如下图
现在来看一下小波公式
从公式可以看出,不同于傅里叶变换,变量只有频率ω,小波变换有两个变量:
尺度a(scale)和平移量τ(translation)。
尺度a控制小波函数的伸缩,平移量τ控制小波函数的平移。
尺度就对应于频率(反比),平移量τ就对应于时间。
如下图
当伸缩、平移到这么一种重合情况时,也会相乘得到一个大的值。
这时候和傅里叶变换不同的是,这不仅可以知道信号有这样频率的成分,而且知道它在时域上存在的具体位置。
而当我们在每个尺度下都平移着和信号乘过一遍后,我们就知道信号在每个位置都包含哪些频率成分。
看到了吗?
有了小波,我们从此再也不害怕非稳定信号啦!
从此可以做时频分析啦!
(1)解决了局部性
(2)解决时频分析
做傅里叶变换只能得到一个频谱,做小波变换却可以得到一个时频谱!
时域信号 傅立叶变换结果 小波变换结果
五、小波的深入
上面那么多,也就是走进小波的大门,具体的我们还要学习子空间、多分辨率,母小波的变换,如何去构造想要的小波函数,然后还有离散小波变换,正交小波变换,二维小波变换,小波包的应用(这里没有介绍可以自己看资料)。
好像还有很多要学习的。
这里先深入一下,父小波和母小波,多分辨率分析,了解一下伸缩和平移。
任何小波变换的基函数,其实就是对母小波和父小波缩放和平移的集合。
首先要看的就是多分辨率分析。
每个小波变换都会有一个motherwavelet,我们称之为母小波,同时还有一个fatherwavelet,就是scalingfunction。
而该小波的basis函数其实就是对这个母小波和父小波缩放和平移形成的。
缩放倍数都是2的级数,平移的大小和当前其缩放的程度有关。
还讲到,小波系统有很多种,不同的母小波,衍生的小波基就完全不同。
小波展开的近似形式是这样:
其中的就是小波级数,这些级数的组合就形成了小波变换中的基basis。
和傅立叶级数有一点不同的是,小波级数通常是orthonormalbasis,也就是说,它们不仅两两正交,还归一化了。
我们还讲了一般小波变换的三个特点,就是小波级数是二维的,能定位时域和频域,计算很快。
但我们并没有深入讲解,比如,如何理解这个二维?
它是如何同时定位频域和时域的?
在这一篇文章里,我们就来讨论一下这些特性背后的原理。
首先,我们一直都在讲小波展开的近似形式。
那什么是完整形式呢?
之前讲到,小波basis的形成,是基于基本的小波函数,也就是母小波来做缩放和平移的。
但是,母小波并非唯一的原始基。
在构建小波基函数集合的时候,通常还要用到一个函数叫尺度函数,scalingfunction,人们通常都称其为父小波。
它和母小波一样,也是归一化了,而且它还需要满足一个性质,就是它和对自己本身周期平移的函数两两正交:
另外,为了方便处理,父小波和母小波也需要是正交的。
可以说,完整的小波展开就是由母小波和父小波共同定义的。
其中ψ(t)是母小波,
是父小波。
需要提醒一点的是,这个正交纯粹是为了小波分析的方便而引入的特性,并不是说小波变换的基就一定必须是正交的。
但大部分小波变换的基确实是正交的,所以本文就直接默认正交为小波变换的主要性质之一了。
引入这个父小波呢,主要是为了方便做多解析度分析(multiresolutionanalysis,MRA)。
说到这里,你的问题可能会井喷了:
好好的为什么出来一个父小波呢?
这个scalingfunction是拿来干嘛的?
它背后的物理意义是什么?
waveletfunction背后的物理意义又是什么?
这个多解析度分析又是什么呢?
不急,下面,我们围绕一个例子来巩固一下前面的知识,同时再引出新的特性。
假设我们有这样一个信号:
该信号长度为8,是离散的一维信号。
我们要考虑的,就是如何用小波将其展开。
为了方便讲解,我们考虑最简单的一种小波,哈尔小波。
下面是它的一种母小波:
那如何构建基于这个母小波的基呢?
刚才提到了,要缩放,要平移。
我们先试试缩放,那就是ψ(2n):
但这样的话,它与自己的内积就不是1了,不符合小波基orthonormal的要求,所以我们要在前面加一个系数根号二,这样我们就得到了另一个哈尔小波的basisfunction:
同理,我们可以一直这样推广下去做scale,得到4n,8n,…….下的basisfunction。
当然在这个例子里,我们信号长度就是8,所以做到4n就够了。
但推广来说,就是这种scaling对母小波的作用为
,这是归一化后的表示形式。
平移的话也很简单,我们可以对母小波进行平移,也可以对scale之后的basisfunction进行平移。
比如对上一幅图中的basisfunction进行平移,就成了
看得出来,平移后的basisfunction和母小波以及仅仅scale过的小波,都是正交的,附合小波basis的特点。
如果我们用ψ(n)来表示这个motherwavelet,那么这些orthonormalbasis函数可以写成:
这里的k是可以看成时域的参数,因为它控制着小波基时域的转移,而j是频域的参数,因为它决定了小波基的频率特性。
看到这里,你应该会感觉很熟悉,因为这里的平移和变换本质和刚才对scalingfunction的平移变换是一模一样的。
这样,我们就有了针对此信号space的哈尔小波basis组合:
可以看出,我们用到了三层频率尺度的小波函数,每往下一层,小波的数量都是上面一层的两倍。
在图中,每一个小波基函数的表达形式都写在了波形的下面。
等等,你可能已经发现了,有问题。
这里为什么多了个没有函数表达式的波形呢?
这货明显不是waveletfunction阿。
没错,它是之前提到的scalingfunction,也就是父小波。
然后你可能就会问,为啥这个凭空插了一个scalingfunction出来呢?
明明目标信号已经可以用纯的小波基组合表示了。
是,确实是,就算不包括scalingfunction,这些小波函数本身也组成了正交归一基,但如果仅限于此的话,小波变换也就没那么神奇的功效了。
引入这个scalingfunction,才能引入我们提到的多解析度分析的理论,而小波变换的强大,就体现在这个多解析度上。
那在这里,我们怎么用这个多解析度呢?
这个哈尔小波basis组合是怎么通过多解析度推导出来的呢?
话说在数学定义中,有一种空间叫Lebesgue空间,对于信号处理非常重要,可以用L^p(R)表示,指的是由p次可积函数所组成的函数空间。
我们在小波变换中要研究的信号都是属于L^2(R)空间的,这个空间是R上的所有处处平方可积的可测函数的集合,这样就等于对信号提出了一个限制,就是信号能量必须是有限的,否则它就不可积了。
小波变换的定义都是基于但不限于L^2(R)中的信号的。
这玩意的特性要具体解释起来太数学了,牵涉到太多泛函知识,我就不在这里详述了。
而且老实说我也没能力完全讲清楚,毕竟不是学这个的,有兴趣可以参考wiki。
总之你记住,小波变换研究中所使用的信号基本都是平方可积的信号,但其应用不限于这种信号,就行了。
对L^2(R)空间做MRA是在干嘛呢?
就是说,在L^2(R)空间中,我们可以找出一个嵌套的空间序列,并有下列性质:
我来简单解释一下这些性质。
这个V_j都是L^2(R)空间中的子空间,然后他们是由小到大的,交集是{0},因为这是最小的子空间,并集就是L空间。
是不是有点难以理解?
没关系,看看下面这个图就清楚了:
这个图是圈圈套圈圈,最里面的圈是V0,之后分别是V1,V2,V3,V4。
那他们有趣的性质就是,假如有一个函数f(t)他属于一个某空间,那你将其在时域上平移,它还是属于这个空间。
但如果你对它频域的放大或缩小,它就会相应移到下一个或者上一个空间了。
同时我们还知道,你要形容每一个空间的话,都需要有对应的orthonormalbasis,这是必然的,那对于V0来讲,它的orthonormalbasis就是
这一系列函数是什么呢?
是的时域变换,而且我们刚才也说了,时域上平移,是不会跳出这个空间的。
这样,我们就可以说,由这一系列basis所定义的L^2(R)子空间V0被这些basis所span,表示成:
k从负无穷到正无穷。
上面的bar表示这是一个闭包空间,也就是说
这样,我们就定义了基本的V0这个子空间。
刚才说了,这个子空间的基都是对的整数时域变换,这里我们称为scalingfunction,所以换个说法,就是说这里整个子空间V0,由scalingfunction和其时域变换的兄弟们span。
当然,如果这个scalingfunction只是用来代表一个子空间的,那它的地位也就不会这么重要了。
刚才我们提到,这个嵌套空间序列有一个性质,
。
这就是这个函数,如果你对它频域的放大或缩小,它就会相应移到下一个或者上一个空间了。
这个性质就有意思了,它代表什么呢?
对于任何一个包含V0的更上一层的空间来讲,他们的基都可以通过对scalingfunction做频域的scale后再做时域上的整数变换得到!
推广开来就是说,当
我们有
这也就意味着,对于任何属于V_j空间的函数f(t),都可以表示为:
到这里,我们就明白这些个子空间和那个凭空冒出来的scalingfunction的作用了。
scaling的构建这些不同的子空间的基础,当j越大的时候,每一次你对频率变换后的scalingfunction所做的时域上的整数平移幅度会越小,这样在这个j子空间里面得到的f(t)表示粒度会很细,细节展现很多。
反之亦然。
通俗点说,就是对scalingfunction的变换平移给你不同的子空间,而不同的子空间给你不同的分辨率,这样你就可以用
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 变换
![提示](https://static.bdocx.com/images/bang_tan.gif)