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数学选修23docx
数学选修2-3排列组合
2016年12月31日烟火狸的高中数学组卷
一.选择题(共21小题)
1.某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单,开演前又增加了两个新节
目.如果将这两个新节目插入原节目单中,那么不同插法的种数为()
A.42B.96C.48D.124
2.某学校组织演讲比赛,准备从甲、乙等8名学生中选派4名学生参加,要求
甲、乙两名同学至少有一人参加,且若甲、乙同时参加时,他们的演讲顺序不
能相邻,那么不同的演讲顺序的种数为()
A.1860B.1320C.1140D.1020
3.某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言,要求甲、乙两名同
学至少有一人参加,且若甲乙同时参加,则他们发言时不能相邻.那么不同的
发言顺序种数为()
A.360B.520C.600D.720
4.一个五位自然,ai∈{0,1,2,3,4,5},i=1,2,3,4,5,
当且仅当a1>a2>a3,a3<a4<a5时称为“凹数”(如32014,53134等),则满足
条件的五位自然数中“凹数”的个数为()
A.110B.137C.145D.146
5.七名同学站成一排照毕业纪念照,其中甲必须站在正中间,并且乙,丙两位
同学要站在一起,则不同的排法有()
A.240种B.192种C.120种D.96种
6.由数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的六位数,其中个位数字小于
十位数字的个数有()
A.600B.464C.300D.210
7.当行驶的6辆军车行驶至A处时,接上级紧急通知,这6辆军车需立即沿B、
C两路分开纵队行驶,要求B、C每路至少2辆但不多于4辆.则这6辆军车不
同的分开行驶方案总数是()
A.50B.1440C.720D.2160
第2页(共18页)
8.为贯彻落实中央1号文件精神和新形势下国家粮食安全战略部署,农业部把
马铃薯作为主粮产品进行产业化开发,记者获悉,我国推进马铃薯产业开发的
目标是力争到2020年马铃薯种植面积扩大到1亿亩以上.山东省某种植基地对编号分别为1,2,3,4,5,6的六种不同品种在同一块田地上进行对比试验,其中编号为1,3,5的三个品种中有且只有两个相邻,且2号品种不能种植在
两端,则不同的种植方法的种数为()
A.432B.456C.534D.720
9.某年数学竞赛请来一位来自X星球的选手参加填空题比赛,共10道题目,
这位选手做题有一个古怪的习惯:
先从最后一题(第10题)开始往前看,凡是遇到会的题就作答,遇到不会的题目先跳过(允许跳过所有的题目),一直看到
第1题;然后从第1题开始往后看,凡是遇到先前未答的题目就随便写个答案,
遇到先前已答的题目则跳过(例如,他可以按照9,8,7,4,3,2,1,5,6,
10的次序答题),这样所有的题目均有作答,设这位选手可能的答题次序有n种,
则n的值为()
A.512B.511C.1024D.1023
10.某学校开设“蓝天工程博览课程”,组织6个年级的学生外出参观包括甲
博物馆在内的6个博物馆,每个年级任选一个博物馆参观,则有且只有两个年
级选择甲博物馆的方案有()
A.
种
B.
种
C.
种
D.
种
11.如图所示2×2方格,在每一个方格中填人一个数字,数字可以是
l、2、3、
4中的任何一个,允许重复.若填入
A方格的数字大于B方格的数字,则不同的
填法共有(
)
AB
CD
A.192种
B.128种
C.96种
D.12种
12.4个不同的小球全部随意放入3个不同的盒子里,使每个盒子都不空的放法
种数为()
A.B.
第3页(共18页)
C.D.
13.对于任意正整数n,定义“n!
!
”如下:
当n是偶数时,n!
!
=n?
(n﹣2)?
(n﹣4)?
6?
4?
2,当n是奇数时,n!
!
=n?
(n﹣2)?
(n﹣4)?
5?
3?
1
现在有如下四个命题:
①(2003!
!
)?
(2002!
!
)=2003×2002××3×2×1;
②2002!
!
=21001×1001×1000××3×2×;
③2002!
!
的个位数是0;
④2003!
!
的个位数是5.
其中正确的命题有()
A.1个B.2个C.3个D.4个
14.数学活动小组由12名同学组成,现将这12名同学平均分成四组分别研究
四个不同课题,且每组只研究一个课题,并要求每组选出一名组长,则不同的
分配方案有()种.
A.AB.CCC34
C.43D.CCC43
15.高三某班上午有4节课,现从6名教师中安排4人各上一节课,如果甲乙
两名教师不上第一节课,丙必须上最后一节课,则不同的安排方案种数为()
A.36B.24C.18D.12
16.用红、黄、蓝三种颜色去涂图中标号为1,29的9个小正方形,使得任
意相邻(有公共边)的小正方形所涂颜色都不相同,且标号为“3,5,7”的小
正方形涂相同的颜色,则符合条件的所有涂法共有()种
123
456
789
A.18B.36C.72D.108
17.某单位安排7位员工在10月1日至7日值班,每天1人,每人值班1天,
第4页(共18页)
若7位员工中的甲、乙排在相邻两天,丙不排在10月1日,丁不排在10月7
日,则不同的安排方案共有()
A.504种B.960种C.1008种D.1108种
18.将数字1,2,3,4,5,6拼成一列,记第i个数为ai(i=1,2,,6),
若a1≠1,a3≠3,a5≠5,a1<a3<a5,则不同的排列方法种数为()
A.18B.30C.36D.48
19.高三
(一)班学要安排毕业晚会的4个音乐节目,2个舞蹈节目和1个曲艺
节目的演出顺序,要求两个舞蹈节目不连排,则不同排法的种数是()
A.1800
B.3600C.4320D.5040
20.由数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中小于
50000的偶
数共有(
)
A.60个
B.48个C.36个D.24个
r
)
21.组合数Cn(n>r≥1,n、r∈Z)恒等于(
A.
B.(n+1)(r+1)
C.nr
D.
二.解答题(共1小题)
22.规定,其中x∈R,m是正整数,且CX0=1.这是组合
数Cnm(n,m是正整数,且m≤n)的一种推广.
3
(1)求C﹣15的值;
mn﹣mmm﹣1mm
(2)组合数的两个性质:
①Cn=Cn;②Cn+Cn=Cn+1是否都能推广到Cx(x∈R,
m∈N*)的情形?
若能推广,请写出推广的形式并给予证明;若不能请说明理由.
(3)已知组合数
m
是正整数,证明:
当
m
C
x∈Z,m是正整数时,C
∈Z.
n
x
第5页(共18页)
2016年12月31日烟火狸的高中数学组卷
参考答案与试题解析
一.选择题(共21小题)
1.(2003?
北京)某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单,开演前又增加
了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中,那么不同插法的种数为
()
A.42B.96C.48D.124
【分析】方法一:
分2种情况:
(1)增加的两个新节目相连,
(2)增加的两个新节目不相连;
方法二:
7个节目的全排列为A77,两个新节目插入原节目单中后,原节目的顺
序不变,故不同插法:
.
【解答】解:
方法一:
分2种情况:
(1)增加的两个新节目相连,
(2)增加的两个新节目不相连;
122
故不同插法的种数为A6A2+A6=42.
方法二:
7个节目的全排列为A77,两个新节目插入原节目单中,那么不同插法
的种数为,
故选A.
【点评】本题考查排列及排列数公式的应用.
2.(2016?
绵阳校级模拟)某学校组织演讲比赛,准备从甲、乙等8名学生中选
派4名学生参加,要求甲、乙两名同学至少有一人参加,且若甲、乙同时参加
时,他们的演讲顺序不能相邻,那么不同的演讲顺序的种数为()
A.1860B.1320C.1140D.1020
【分析】分2种情况讨论,①只有甲乙其中一人参加,②甲乙两人都参加,由
第6页(共18页)
排列、组合计算可得其符合条件的情况数目,由加法原理计算可得答案.
【解答】解:
根据题意,分2种情况讨论,
若只有甲乙其中一人参加,有C21?
C63?
A44=960种情况;
若甲乙两人都参加,有
C2
2?
C6
2?
A4
4=360种情况,
2
2
3
2
=180种情况;
其中甲乙相邻的有C2?
C6
?
A3?
A2
则不同的发言顺序种数
960+360﹣180=1140种.
故选C.
【点评】本题考查排列、组合知识,考查计数原理,利用加法原理,正确分类是关键.
3.(2016?
衡水模拟)某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言,
要求甲、乙两名同学至少有一人参加,且若甲乙同时参加,则他们发言时不能
相邻.那么不同的发言顺序种数为()
A.360B.520C.600D.720
【分析】根据题意,分2种情况讨论,①只有甲乙其中一人参加,②甲乙两人
都参加,由排列、组合计算可得其符合条件的情况数目,由加法原理计算可得
答案.
【解答】解:
根据题意,分2种情况讨论,
若只有甲乙其中一人参加,有C21?
C53?
A44=480种情况;
若甲乙两人都参加,有
C2
2?
C5
2?
A4
4=240种情况,
2
2
3
2
=120种情况;
其中甲乙相邻的有C2?
C5
?
A3?
A2
则不同的发言顺序种数
480+240﹣120=600种,
故选C.
【点评】本题考查组合的应用,要灵活运用各种特殊方法,如捆绑法、插空法.
4.(2016?
吉林校级二模)一个五位自然,ai∈{0,1,2,3,4,
5},i=1,2,3,4,5,当且仅当a1>a2>a3,a3<a4<a5时称为“凹数”(如32014,
53134等),则满足条件的五位自然数中“凹数”的个数为()
第7页(共18页)
A.110B.137C.145D.146
【分析】本题是一个分类计数问题,数字中a3的值最小是0,最大是3,因此需要把a3的值进行讨论,两边选出数字就可以,没有排列,写出所有的结果相加.【解答】解:
由题意知本题是一个分类计数问题,
数字中a3的值最小是0,最大是3,因此需要把a3的值进行讨论,
当a3=0时,前面两位数字可以从其余5个数中选,有=10种结果,后面两位
需要从其余5个数中选,有C52=10种结果,共有10×10=100种结果,
当a3=1时,前面两位数字可以从其余4个数中选,有6种结果,后面两位需要从其余4个数中选,有6种结果,共有36种结果,
当a3=2时,前面两位数字可以从其余3个数中选,有3种结果,后面两位需要从其余4个数中选,有3种结果,共有9种结果,
当a3=3时,前面两位数字可以从其余2个数中选,有1种结果,后面两位需要从其余2个数中选,有1种结果,共有1种结果,
根据分类计数原理知共有100+36+9+1=146.
故选D.
【点评】本题考查分类计数问题,考查利用列举得到所有的满足条件的结果数,
本题要注意在确定中间一个数字后,两边的数字只要选出数字,顺序就自然形成,不用排列.
5.(2016?
丰城市校级二模)七名同学站成一排照毕业纪念照,其中甲必须站在
正中间,并且乙,丙两位同学要站在一起,则不同的排法有()
A.240种B.192种C.120种D.96种
【分析】利用甲必须站正中间,先安排甲,甲的两边,每边三人,不妨令乙丙
在甲左边,求出此种情况下的站法,再乘以2即可得到所有的站法总数.
【解答】解:
不妨令乙丙在甲左侧,先排乙丙两人,有
2
种站法,再取一人站
A2
1
2
种站法,余下三人站右侧,有
3
种站法,
左侧有C×A
A
4
2
3
考虑到乙丙在右侧的站法,故总的站法总数是
2
×C4
1
2
3
=192,
2×A2
×A2×A3
故选:
B.
【点评】本题考查排列、组合的实际应用,解题的关键是理解题中所研究的事
第8页(共18页)
件,并正确确定安排的先后顺序,此类排列问题一般是谁最特殊先安排谁,俗
称特殊元素特殊位置优先的原则.
6.(2016?
南充三模)由数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的六位数,
其中个位数字小于十位数字的个数有()
A.600B.464C.300D.210
【分析】根据题意,按照个位数字的可能情况,分个位数字分别为
0,1,2,3,
4时进行讨论,分别求出每种情况下六位数的个数,
由分类计数原理计算可得答
案.
【解答】解:
根据题意,分5种情况讨论:
①个位数为0,十位数必然比个位数字大,将剩下的
5个数字全排列即可,则有
5
A5个符合条件的六位数;
②个位数为1,十位数可为2、3、4、5,有A4
1种情况,
首位数字不能为0,在剩余的3个数字中选1个,有A3
1种情况,
将剩下的3个数字全排列,安排在其他3个数位上,有
3
A3种情况,
故有A4
1?
A31?
A33个符合条件的六位数;
1
③个位数为2,十位数为3、4、5,有A3种情况,
首位数字不能为0,在剩余的3个数字中选1个,有A31种情况,
将剩下的3个数字全排列,安排在其他3个数位上,有
3
种情况,
A
3
故有A3
1
1
3
个符合条件的六位数;
?
A3
?
A3
④个位数为3,十位数为4、5,有A2
1种情况,
首位数字不能为
0,在剩余的3个数字中选1个,有A3
1种情况,
将剩下的3个数字全排列,安排在其他3个数位上,有
3
种情况,
A3
故有A
1
1
3
个符合条件的六位数;
?
A
?
A
2
3
3
⑤个位数为4,十位数为5,有1种情况,
首位数字不能为
0,在剩余的3个数字中选1个,有A3
1种情况,
将剩下的3个数字全排列,安排在其他3个数位上,有
3
种情况,
A3
故有A
1
3
个符合条件的六位数.
?
A
3
3
5
1
3
1
1
1
所以共有A5
+A3
?
A3(A4
+A3
+A2+1)=300个符合条件的六位数;
第9页(共18页)
故选:
C.
【点评】本题考查排列、组合的运用,涉及分类讨论的运用,注意分类讨论时按照一定的顺序,做到不重不漏.
7.(2016?
达州模拟)当行驶的
6辆军车行驶至
A处时,接上级紧急通知,这6
辆军车需立即沿B、C两路分开纵队行驶,要求
B、C每路至少2辆但不多于4
辆.则这6辆军车不同的分开行驶方案总数是(
)
A.50B.1440C.720D.2160
【分析】确定B、C两路军车的量数类型,然后求解这
6辆军车不同的分开行驶
方案总数.
【解答】解:
由题意可知B、C两路军车的量数类型有
2、4;3、3;4、2;三种
类型.由于军车互不相同,排列是有顺序的,
2、4;4、2;类型的结果都是:
2
4
.3、3类型的结果为:
A6
3
A3
3
.
A6
A4
则这6辆军车不同的分开行驶方案总数是:
2A6
2A4
4+A6
3A3
3=2160.
故选:
D.
【点评】本题考查排列组合的实际应用,考查分析问题解决问题的能力.
8.(2016?
山东二模)为贯彻落实中央1号文件精神和新形势下国家粮食安全战
略部署,农业部把马铃薯作为主粮产品进行产业化开发,记者获悉,我国推进
马铃薯产业开发的目标是力争到2020年马铃薯种植面积扩大到1亿亩以上.山东省某种植基地对编号分别为1,2,3,4,5,6的六种不同品种在同一块田地上进行对比试验,其中编号为1,3,5的三个品种中有且只有两个相邻,且2
号品种不能种植在两端,则不同的种植方法的种数为()
A.432B.456C.534D.720
【分析】先分别求出2,4,6插入到1,3,5的所形成的空中,再排除2,4,6
都在1,3,5的所形成的空中,问题得以解决.
【解答】解:
第一类,从1,3,5品种选2个并捆绑在一起,和另外1个全排,
形成了3个空,先把2号品种,插入到中间空中,再把
4号插入到1,2,3,5,
2
2
1
1
=240
种,
所形成的4个空的中的一个,然后把6号再插入到其中,故有A3
A2A4
A5
第10页(共18页)
第二类,从
1,3,5品种选2个并捆绑在一起,和另外1个全排,形成了3个
空,先把
4或6号,插入到中间空中,再把剩下的一个插入到所形成的
4个空
的中的一个,然后把2号插入前面所成的3个空(不包含两端)的
1个,故有
2
2
1
1
A3
1
A3
A2
A2A4
=288种,
从1,3,5品种选2个并捆绑在一起,和另外1个排列,把2,4,6号捆绑在
一起并插入到其中,有
A
2
2
3
=72种,
AA
3
2
3
故编号为1,3,5的三个品种中有且只有两个相邻,且
2号品种不能种植在两
端,则不同的种植方法的种数为
240+288﹣72=456种,
故选:
B.
【点评】本题考查了排列中的相邻问题和不相邻问题,关键是优先安排特殊元素,属于中档题.
9.(2016?
上海模拟)某年数学竞赛请来一位来自X星球的选手参加填空题比赛,
共10道题目,这位选手做题有一个古怪的习惯:
先从最后一题(第
10题)开
始往前看,凡是遇到会的题就作答,遇到不会的题目先跳过(允许跳过所有的
题目),一直看到第1题;然后从第1题开始往后看,凡是遇到先前未答的题目
就随便写个答案,遇到先前已答的题目则跳过(例如,他可以按照9,8,7,4,
3,2,1,5,6,10的次序答题),这样所有的题目均有作答,设这位选手可能
的答题次序有n种,则n的值为()
A.512B.511C.1024D.1023
【分析】由于每道题的都有两种情况,答或者不答,故根据分步计数原理可得.
【解答】解:
每道题的都有两种情况,答或者不答,从10﹣9,有两种选择,从
9﹣8也有两种选择,以此类推8﹣7,7﹣6,6﹣5,5﹣4,4﹣3,3﹣2,2﹣1,而从1题到第10道题只有一种选择,故有1×29=512种,
故选:
A.
【点评】本题考查了分步计数原理,关键是理解题意,属于中档题.
10.(2016?
威海一模)某学校开设“蓝天工程博览课程”,组织6个年级的学
生外出参观包括甲博物馆在内的6个博物馆,每个年级任选一个博物馆参观,
第11页(共18页)
则有且只有两个年级选择甲博物馆的方案有(
)
A.
种
B.
种
C.
种
D.
种
【分析】确定参观甲博物馆的年级有
种情况,其余年级均有
5种选择,所以
共有54种情况,根据乘法原理可得结论.
【解答】解:
因为有且只有两个年级选择甲博物馆,
所以参观甲博物馆的年级有种情况,
4
其余年级均有5种选择,所以共有5种情况,
4
根据乘法原理可得×5种情况,
故选:
D.
【点评】本题考查排列组合知识的运用,考查乘法原理,比较基础.
11.(2016?
洛阳二模)如图所示2×2方格,在每一个方格中填人一个数字,数字可以是l
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