排列组合第一讲分类加法与分步乘法计数基本知识.docx
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排列组合第一讲分类加法与分步乘法计数基本知识
两个计数原理
【知识网络】
知识点
内容
分类加法计数原理
完成一件事,可有n类办法,在第一类办法中有m1种方法,在第二类办法中有m2种方法,……,在第n类办法中有mn种方法,则完成这件事情,共有N=①种不同的方法.
分步乘法计数原理
完成一件事情需要经过n个步骤,缺一不可,完成第一步有m1种不同的方法,完成第二步有m2种不同的方法,……,完成第n步有mn种不同的方法,那么完成这件事情共有N=②种不同的方法.
区别与联系
分类加法计数原理与分步乘法计数原理,
联系:
都涉及③的不同方法的种数。
区别:
分类加法计数原理与④有关,各种方法⑤,用其中的任一种方法都可以完成这件事;
分步乘法计数原理与⑥有关,各个步骤⑦,只有各个步骤都完成了,这件事才算完成.
【典型例题】
题型一、分类加法计数原理
例1、从3名女同学和2名男同学中选1人主持本班的某次主题班会,则不同的选法种数为()
A.6B.5C.3D.2
例2、在所有两位数中,个位数字大于十位数字的两位数共有多少个?
【变式练习】
1.若a,b∈N*,且a+b≤5,则在直角坐标平面内的点(a,b)共有________个.
2.在所有的两位数中,个位数字小于十位数字的两位数共有多少个?
例3、有不同的语文书9本,不同的数学书7本,不同的英语书5本,从中选出不属于同一学科的书2本,则不同的选法有()( )
A.21种B.315种C.143种D.153种
例4、某同学有同样的画册2本,同样的集邮册3本,从中取出4本赠送给4位朋友,每位朋友一本,则不同的赠送方法共有( ).
A.4种B.10种C.18种D.20种
方法总结
分类时,首先要确定一个恰当的分类标准,然后进行分类;其次分类时要注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类,并且分别属于不同种类的两种方法是不同的方法,只有满足这些条件,才可以用分类加法计数原理
【变式练习】
1.某校开设10门课程供学生选修,其中A,B,C三门由于上课时间相同,至多选一门学校规定,每位同学选修三门,则每位同学不同的选修方案种数是()
A.120B.98C.63D.56
2.某电脑用户计划使用不超过500元购买单价分别为60元、70元的电脑软件和电脑元件,根据需要,软件至少买3个,元件至少买2个,则不同的选购方法有()
A.5 B.6 C.7 D.8
3.如图所示,在连接正八边形的三个顶点而成的三角形中,与正八边形有公共边的三角形有________个.
4.由0,1,2,3这四个数字组成的四位数中,有重复数字的四位数共有( ).
A.238个B.232个C.174个D.168个
例5、在某种信息传输过程中,用4个数字的一个排列(数字也许重复)表示一个信息,不同排列表示不同信息,若所用数字只有0和1,则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为()
A.10B.11C.12D.15
【变式练习】
1.为了应对欧债危机,沃尔沃汽车公司决定从10名办公室工作人员中裁去4人,要求甲、乙二人不能全部裁去,则不同的裁员方案的种数为________.
2.在一块并排的10垄田地中,选择二垄分别种植A、B两种作物,每种种植一垄,为有利于作物生长,要求A、B两种作物的间隔不少于6垄,不同的选法共有多少种。
3.有4人各写一张贺卡,放在一起,然后每个人取一张不是自己写的贺卡,共有多少种不同取法?
题型二:
分步乘法计数原理
例6、
(1)四名运动员争夺三项冠军,不同的结果最多有多少种?
(2)四名运动员参加三项比赛,每人限报一项,不同的报名方法有多少种?
例7、甲、乙两人从4门课程中各选修2门,则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有( ).
A.6种B.12种C.24种D.30种
例8、用数字2,3组成四位数,且数字2,3至少都出现一次,这样的四位数共有________个(用数字作答).
方法总结
此类问题,首先将完成这件事的过程分步,然后再找出每一步中的方法有多少种,求其积.注意:
各步之间相互联系,依次都完成后,才能做完这件事.简单说使用分步计数原理的原则是步与步之间的方法“相互独立,逐步完成”.
【变式练习】
1.从-1,0,1,2这四个数中选三个不同的数作为函数f(x)=ax2+bx+c的系数,可组成不同的二次函数共有_____________个,其中不同的偶函数共有_____________个.(用数字作答)
2.从集合{1,2,3,…,10}中,选出由5个数组成的子集,使得这5个数中的任何两个数的和不等于11,这样的子集共有多少个?
例9、由数字1,2,3,4,
(1)可组成多少个3位数;
(2)可组成多少个没有重复数字的3位数;
(3)可组成多少个没有重复数字的三位数,且百位数字大于十位数字,十位数字大于个位数字.
例10、
(1)5名学生从3项体育项目中选择参赛,若每名学生只能参加一项,则有多少种不同的参赛方法?
(2)5名学生争夺3项比赛的冠军,获得冠军的可能情况种数有多少?
探究2 解决计数问题时一定要明确研究的对象是什么?
怎样才能完成计数,本题给出解决
此类问题的一种方法:
住店法.
【变式练习】
1.十字路口来往的车辆,如果不允许回头,共有_____________种行车路线.
A.24B.16C.12D.10
2.设集合M={-3,-2,-1,0,1,2},P(a,b)是坐标平面上的点,a,b∈M,P可以表示
①平面上多少个不同的点?
②第二象限内的多少个点?
③不在直线y=x上的多少个点?
3.
(1)三封信投入到4个不同的信箱中,共有________种投法.
(2)动物园的一个大笼子里,有4只老虎,3只羊,同一只羊不能被不同的老虎分食,问老虎将羊吃光的情况有多少种?
4.乘积
展开后共有多少项?
5.8本不同的书,任选3本分给3位同学,每人1本,有多少种不同的分法?
考点三:
分类与分步综合之简单的面的涂色问题
例11、如图,用5种不同的颜色给图中A、B、C、D四个区域涂色,规定每个区域只涂一种颜色,相邻区域颜色不同,求有多少种不同的涂色方法?
方法总结
涂色问题的实质是分类与分步,一般是整体分步,分步过程中若出现某一步需分情况说明时还要进行分类.涂色问题通常没有固定的方法可循,只能按照题目的实际情况,结合两个基本原理和排列组合的知识灵活处理.
例12、图为四棱锥P-ABCD,用四种不同的颜色涂四棱锥的各个面,每个面只用一种颜色涂,要求相邻两面不同色,有多少种涂法?
【变式练习】
1.如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种?
2.如图,一个地区分为5个行政区域,现给地图着色,要求相邻地区不得使用同一颜色,现有4种颜色可供选择,则不同的着色方法共有种.(以数字作答)
排数问题
例13、用0,1,2,3,4这五个数字可以组成多少个无重复数字的:
(1)银行存折的四位密码?
(2)四位数?
(3)四位奇数?
(4)比2000大的四位偶数?
五、课后习题(40分钟,共50分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.如图,A、B、C、D为四个村庄,要修筑三条公路,将这四个村庄连接起来,则不同的修筑方案共有( ).
A.8种B.12种C.16种D.20种
2.
如图,用6种不同的颜色把图中
A、B、C、D四块区域分开,若相邻区域不能涂同一种颜色,则不同的涂法共有( ).
A.4
00种B.460种
C.480种D.496种
3.甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动,要求每人参加一天且每天至多安排一人,并要求甲安排在另外两位前面.不同的安排方法共有( ).
A.20种B.30种C.40种
D.60种
4.高三年级的三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂参加社会实践,但去何工厂可自由选择
,甲工厂必须有班级要去,则不同的分配方案有( ).
A.16种B.18种C.37种D.48种
5.4位同学从甲、乙、丙3门课程中选修1门,则恰有2人选修课程甲的不同选法有( ).
A.12种B.24种C.30种D.36种
二、填空题(每小题5分,共10分)
6.五名学生报名参加四项体育比赛,每人限报一项,则报名方法的种数为________.五名学生争夺四项比赛的冠军(冠军不并列),获得冠军的可能性有________种.
7.如图所示
方格,在每一个方格中填入一个数字,数字可以是
中的任何一个,允许重复,若填人
方格的数字大于
方格的数字,则不同的填法共有
A.
种B.
种C.
种D.
种
三、解答题(共15分)
8.(15分)如图,用四种不同颜色给图中的A,B,C,D,E,F六个点涂色,要求每个点涂一种颜色,且图中每条线段的两个端
点涂不同颜色.则不同的涂色方法共有多少种?
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- 关 键 词:
- 排列组合 第一 分类 加法 分步 乘法 计数 基本知识