集合的表示附答案.docx
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集合的表示附答案
盛年不重来,一日难再晨。
及时宜自勉,岁月不待人。
集合的表示
[学习目标]1•掌握集合的两种表示方法(列举法、描述法)2能够运用集合的两种表示方法
表示一些简单集合•
戸知识梳理自主学习
知识点集合的表示方法
1•列举法:
把集合的元素一一列举出来,并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列
举法•
2•描述法:
(1)定义:
用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法
(2)写法:
在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围,再画一条竖
线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征
思考
(1)由方程(x—1)(x+2)=0的实数根组成的集合,怎样表示较好?
⑵集合{x|4 (3)列举法可以表示无限集吗? 答 (1)列举法表示为{—2,1},描述法表示为 {x|(x—1)(x+2)=0},列举法较好. (2)不能,因为这个集合中的元素不能够一一列举出来 (3)列举法可以表示有限集,也可以表示无限集•若集合中元素个数较多或无限多,但呈现出 一定的规律性,在不致发生误解的情况下,也可列出几个元素作为代表,其他的元素用省略 号表示.例如正偶数集合可以表示为{2,4,6,8,…}. 题型探究重点突破 题型一用列举法表示集合 例1用列举法表示下列集合: (1)小于10的所有自然数组成的集合; (2)方程x2=x的所有实数根组成的集合; (3)由1〜20以内的所有质数组成的集合. 解 (1)设小于10的所有自然数组成的集合为A,那么A={0,123,4,5,6,7,8,9}. ⑵设方程x2=x的所有实数根组成的集合为B,那么B={0,1}. ⑶设由1〜20以内的所有质数组成的集合为C,那么C={2,3,5,7,11,13,17,19}. 跟踪训练1用列举法表示下列集合: (1)绝对值小于5的偶数; (2)24与36的公约数; x+y=2 (3)方程组'的解集. 2x—y=1 解 (1)绝对值小于5的偶数集为{—2,—4,0,2,4},是有限集 (2){1,2,3,4,6,12},是有限集. x=1,得 y=1. x+y=2, ⑶由 2x—y=1, •••方程组x+y=2, 2x—y=1 x+y=2,x=1, 的解集为{(x,y)|}={(x,y)|}={(1,1)},是有 2x—y=1y=1 限集. 题型二用描述法表示集合 例2用描述法表示下列集合: (1)正偶数集; ⑵被3除余2的正整数的集合; (3)平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合 解 (1)偶数可用式子x=2n,n€Z表示,但此题要求为正偶数,故限定n€N*,所以正偶 数集可表示为{x|x=2n,n€N*}. ⑵设被3除余2的数为x,则x=3n+2,n€Z,但元素为正整数,故x=3n+2,n€N,所 以被3除余2的正整数集合可表示为{x|x=3n+2,n€N}. ⑶坐标轴上的点(x,y)的特点是横、纵坐标中至少有一个为0,即xy=0,故坐标轴上的点 的集合可表示为{(x,y)|xy=0}. 跟踪训练2用描述法表示如图所示阴影部分(含边界)点的坐标的集合 解本题是用图形语言给出的问题,要求把图形语言转换为符号 .用描述法表示(即用符 31 号语言表示)为{(X,y)|—1 题型三列举法与描述法的综合运用 例3集合A={x|kx2—8x+16=0},若集合A只有一个元素,表示集合A. 试求实数k的值,并用列举法 解⑴当k=0时,原方程为16—8x=0. •••x=2,此时A={2}. (2)当kM0时,由集合A中只有一个元素, •方程kx2—8x+16=0有两个相等实根. 则△=64—64k=0,即卩k=1. 从而X1=x2=4,•集合A={4}. 综上所述,实数k的值为0或1.当k=0时,A={2}; 当k=1时,A={4}. 跟踪训练3把例3中条件“有一个元素”改为“有两个元素”,解由题意可知方程kx2—8x+16=0有两个不等实根. kM0, •解得kv1,且kM0. △=64—64k>0, •k取值范围的集合为{k|kv1,且kM0}. 求实数k取值范围的集合 易错点 弄错数集与点集致误 x+y=3, 例4方程组的解的集合是 x—y=—1 X=, 错解方程组的解是 y=2, 所以方程组的解可用列举法表示为{1,2}. x=1, 正解方程组的解是它是一组数对(1,2),所以方程组的解可用列举法表示为 y=2, x=1,{(1,2)},也可用描述法表示为{(x,y)|}. y=2 易错警示 错误原因 纠错心得 集合{1,2}中是两个兀素,表示的是两个数,而方程组的解应为数对(1,2),表示的是直角坐标平面上的点. 表示集合时,要弄清兀素具有的形式(即代表兀素是什么)是数、还是有序头数对(点)、还是集合或其他形式. 跟踪训练4用列举法表示下列集合• (1)A={y|y=—x2+6,x€N,y€N}; (2)B={(x,y)|y=—x2+6,x€N,y€N}. 解 (1)因为y=—x2+6w6,且x€N,y€N, 所以x=0,1,2时,y=6,5,2,符合题意, 所以A={2,5,6}. (2)(x,y)满足条件y=—x2+6,x€N,y€N, x=0,x=1,x=2, 则应有 y=6,y=5,y=2, 所以B={(0,6),(1,5),(2,2)}. 自査自纠 F当堂检测 1•用列举法表示集合{xlx2—2x+1=0}为() A.{1,1}B.{1} C.{x=1}D.{x1—2x+1=0} 2•下面对集合{1,5,9,13,17}用描述法表示,其中正确的是() A.{xX是小于18的正奇数} B.{x|x=4k+1,k€Z,且k<5} C.{x|x=4t—3,t€N,且t<5} D.{xx=4s—3,s€N*,且s<6} 3.给出下列说法: 1任意一个集合的正确表示方法是唯一的; 2集合P={x|OWx<1}是无限集; 3集合{x|x€N*,x<5}={0,1,2,3,4}; 4集合{(1,2)}与集合{(2,1)}表示同一集合. 其中正确说法的序号是() A.①②B.②③C.②D.①③④ x+y=2,、一 4.方程的解集用歹y举法表示为; x—y=5 用描述法表示为. 5.若集合A={—1,2},集合B={x|x2+ax+b=0},且A=B,则a+b的值为 B.{0,1,2} D.{0,1} F课时辅练全解駐纠虬检测 C.{x|x=2n+1,n€N*}D.{x|x=2n+1,n€N} 5•设集合A={1,2,3},B={4,5},M={x|x=a+b,a€A,b€B},则M中的元素的个数为() A.3B.4C.5D.6 6•给出下列说法: 1实数集可以表示为{R}; 11 2方程叮2x—1+|2y+1|=0的解集是{—2,2); x+y=3,x=1, 3方程组的解集是{(x,y)|}; x—y=—1y=2 4集合M={y|y=x2+1,x€R}与集合N={(x,y)|y=x2+1,x€R}表示同一个集合. 其中说法正确的个数为() A.0B.1C.2D.3 二、填空题 8 7•用列举法表示集合A={x|x€Z,6—€N}=. 8•将集合{(x,y)|2x+3y=16,x,y€N}用列举法表示为. 9.集合{1,x,x2—x}中兀素x应满足的条件为• 10•若集合A={—2,2,3,4},集合B={x|x=t2,t€A},用列举法表示集合B= 三、解答题 11・用适当的方法表示下列集合• (1)16与24的公约数; ⑵不等式3x—5>0的解构成的集合• 12・若集合A={0,1,—1,2,—2,3},集合B={y|y=x2—1,x€A},求集合B・ 13.已知集合A={x|ax2—3x+2=0}. (1)若集合A中只有一个元素,求实数a的值; (2)若集合A中至少有一个元素,求实数a的取值范围; (3)若集合A中至多有一个元素,求实数a的取值范围 当堂检测答案 1•答案B 解析集合{x|x2—2x+1=0}实质是方程x2—2x+1=0的解,此方程有两相等实根,为1, 故可表示为{1}.故选B. 2•答案D 解析分析1,5,9,13,17的特征. 3.答案C 解析对于某些集合(如小于10的自然数组成的集合)可以用列举法表示,也可以用描述法 表示,表示方法不唯一,故说法①不正确;集合P={x|OWx<1}的元素有无限个,是无限集,故说法②正确;由于{x|x€N*,x<5}={1,2,3,4},故说法③不正确;集合{(1,2)}与集合{(2,1)}的元素不同,故两集合不是同一集合,故说法④不正确.综上可知,正确的说法是②. 7 x=亍, 732 4•答案{(2,-2)}{(x,y)l3} y=-3 5•答案—3 解析由题意知一1,2是方程x2+ax+b=0的两根. a=—1,解得 b=—2. 1—a+b=0,则 4+2a+b=0, 所以a+b=—3. 课时精练答案 一、选择题 1.答案D 解析A是列举法,C是描述法,对于B要注意集合的代表元素是y,故与A,C相同,而 D表示该集合含有一个元素,即方程“x=0”.故选D. 2.答案 C 解析 方程组的解集中兀素应是有序数对形式,排除 A,B,而D不是集合的形式,排除 D. 3.答案 B 解析 {x|—3<2x—K3,x€Z}={x|—2<2x<4, x€Z}={x|—1 选B. 4.答案 D 5.答案 B 解析 当a=1,b=4时,x=5;当a=1,b=5 时,x=6;当a=2,b=4时,x=6;当a =2,b=5时,x=7;当a=3,b=4时,x=7;当a=3,b=5时,x=8. 由集合元素的互异性知M中共有4个元素. 6.答案B 解析实数集就是R,所以①错误;方程p2x—1+|2y+1|=0的解为x=2y=—;,用集 合表示为{(x,y)| 1 x=2, 1 x+y=3, },所以②错误;方程组的解为 x—y=—1 x=1, 用集合 y=2, 1的实数集合, ④错误.故选B. x=1, 表示为{(x,y)|},所以③正确;y=x2+1>1,集合M表示大于等于 y=2 N中的元素(x,y)表示抛物线y=x2+1上的点,它们不是同一个集合,所以 二、填空题 7•答案{5,4,2,—2} 8 解析因为x€Z,—匚€N, 6—x 所以6—x=1,2,4,8. 此时x=5,4,2,—2,即A={5,4,2,—2}. 8•答案{(2,4),(5,2),(8,0)} 9.答案XM0且XM1且XM2且XM12"5且XM1'5 解析集合中元素要互异, 因此XM1,x2—XM1,x2—XMX, 1—^51+^"5 解得XM0且XM1且XM2且XM2~且XM2~. 10.答案{4,9,16} 解析当t=—2,2,3,4时,x=4,4,9,16,故集合B={4,9,16}. 三、解答题 11.解 (1)16与24的公约数组成的集合为{1,2,4,8}. ⑵不等式3x—5>0的解集为{x|3x—5>0}或{x|x>|}. 12.解当x=0时,y=—1;当x=±1时,y=0; 当x=±2时,y=3; 当x=3时,y=8. 所以集合B={—1,0,3,8}. 13•解 (1)当a=0时,原方程可化为—3x+2=0, 2 △=9—8a 得x=3,符合题意•当az0时,方程ax2—3x+2=0为一元二次方程,由题意得,=0,得a=8. 9 所以当a=0或a=§时,集合A中只有一个元素• a工0, ⑵由题意得,当 △=9—8a>0, 9 即a<且a丰0时方程有两个实根, 8 又由⑴知,当a=0或a=詈时方程有一个实根• 9 所以a的取值范围是aw 9 ⑶由⑴知,当a=0或a=§时,集合A中只有一个元素• 当集合A中没有元素,即A=? 时, a丰0,9 由题意得解得a>§. △=9—8a<0,8
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