北师大版九年级数学下册第二章 二次函数单元测试题.docx
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北师大版九年级数学下册第二章二次函数单元测试题
第二章 二次函数
一、选择题(本大题共8小题,每小题4分,共32分;在每小n加油题列出的四个选项中,只有一项符合题意)
1.下列函数中,yn加油是关于x的二次函数的是( )
A.y=ax2+bx+cn加油B.y=x(x-1)
C.y=
D.y=n加油(x-1)2-x2
2.对于二次函数y=(x-1)2n加油+2的图象,下列说法正确的是( )
A.开口向下n加油B.对称轴是直线x=-1
C.顶点坐标是(1,2)D.与x轴有两个交点
3n加油.已知二次函数y=x2-6x+m的最小值是-n加油3,那么m的值等于( )
A.10B.4Cn加油.5D.6
4.如图2-Z-1,二次函数y=ax2+bx+n加油c的图象与x轴相交于(-2,0)和(4,0)两点,当函数值y>0时,自变量n加油x的取值范围是( )
图2-Z-1
A.x<-2 B.-2<x<4n加油
C.x>0 D.x>4
5.已知二次n加油函数y=ax2+bx+c中,y与x的部分对应值如下:
x
1.1
n加油1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
y
-1.59
n加油-1.16
-0.71
-0.24
0.25
0.7n加油6
则一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根x满足条件( )n加油
A.1.2<x<1.3B.1.3<x<1.4
Cn加油.1.4<x<1.5D.1.5<x<1.6
6.二n加油次函数y=ax2+bx+c的图象如图2-Z-2所示,则一次函数n加油y=bx+a的图象不经过( )
A.第一象限B.第二n加油象限
C.第三象限D.第四象限
图2-Z-2n加油
7.如图2-Z-3是二次函数y=ax2+bn加油x+c的图象的一部分,图象过点A(-3,0),n加油对称轴为直线x=-1,给出四个结论:
①b2>4ac;②2an加油+b=0;③a+b+c>0;④若点B
,C
为函数图象上的两点,则y1<y2.其中正确的是( )
n加油图2-Z-3
A.②④B.①④C.①③n加油D.②③
8.如图2-Z-4,正三角形ABC的边n加油长为4,P为BC边上的任意一点(不与点B,C重合),且n加油∠APD=60°,PD交AB于点D.设BP=x,BD=y,则y关于n加油x的函数图象大致是( )
图2-Z-4
图2-Z-5
二、填n加油空题(本大题共5小题,每小题4分,共20分)
9.将n加油抛物线y=-2x2先向下平移3个单位长度,再向左平移1个单位长度,得到的抛物线n加油的函数表达式是______________.
10.已知抛物线y=x2-2x-n加油3,若点P(3,0)与点Q关于该抛物线的对称轴对称,则点Q的坐n加油标是________.
11.已知A(4,y1),B(-4,y2n加油)是抛物线y=(x+3)2-2上的两点,则y1___n加油_____y2.(填“>”“<”或“=”)
12.如图2-Z-n加油6是某地一座抛物线形拱桥,桥拱在竖直平面内n加油,与水平桥面相交于A,B两点,桥拱最高点C到n加油AB的距离为4m,AB=12m,D,E为拱桥底部的两点,且DE∥An加油B,点E到直线AB的距离为5m,则DE的长为________m.n加油
图2-Z-6
13.二次函数y=x2-2x-3的图象如图2n加油-Z-7所示,若线段AB在x轴上,且AB为2
n加油个单位长度,以AB为边作等边三角形ABC,使点C落在该函数在y轴右侧的图象上n加油,则点C的坐标为________.
图2-Z-7
三、n加油解答题(本大题共4小题,共48分)
14.(10分)n加油如图2-Z-8,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx+n加油2过B(-2,6),C(2,2)两点.
(1)试求抛物线的n加油表达式;
(2)记抛物线与y轴的交点为D,求△BCD的面积.
图2-Zn加油-8
15.(12分)“扬州漆器”名扬天下,某网店专门销售某种品牌n加油的漆器笔筒,成本为30元/件,每天的销售量y(件)与销售单价x(元/n加油件)之间存在一次函数关系,如图2-Z-9所示.
(1)n加油求y与x之间的函数关系式(不用写自变量x的取值n加油范围);
(2)如果规定每天漆器笔筒的销售量不低于240件,当销售n加油单价为多少元/件时,每天获取的利润最大,最大利润是多n加油少?
(3)该网店店主热心公益事业,决定从每天的销售利润中捐出15n加油0元给希望工程,为了保证捐款后每天剩余利润不低于36n加油00元,试确定该漆器笔筒销售单价的范围.
图n加油2-Z-9
16.(12分)如图2-Z-10,在直角坐标系中n加油,已知点A(8,0),B(0,6),点P由点B出发沿BA方向向点n加油A做匀速直线运动,速度为每秒3个单位长度,点Q由点A出发沿AO(n加油O为坐标原点)方向向点O做匀速直线运动,速度为每秒2个n加油单位长度,连接PQ.若设运动时间为t(0<t<n加油
)秒,解答下列问题:
(1)当t为何值时,△n加油APQ与△ABO相似?
(2)设△AQP的面积n加油为S,求S与t之间的函数关系式,并求出S的最大值.
图2-Z-10
17.(n加油14分)如图2-Z-11,已知抛物线y=x2+bx+c与n加油x轴交于点A,B,与y轴交于点C,对称轴为直线x=2,AB=2n加油.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)设P为对称轴上一动点,求△APCn加油的周长的最小值;
(3)设D为抛物线上一点,E为对称轴上n加油一点,若以点A,B,D,E为顶点的四边形是菱形,则点D的坐标为____n加油____.
图2-Z-11
详解详析
1.[解析]B A.当a=0时,y=n加油bx+c不是二次函数;B.y=x(x-1)=x2-x是二次函数;Cn加油.y=
不是二次函数;D.y=(x-1)2-x2=-n加油2x+1为一次函数.故选B.
2.[答案]C
3.[解析]D n加油原二次函数可化为y=(x-3)2-9+m,∵n加油函数的最小值是-3,∴-9+m=-3,∴m=6.故选D.
4.[解析]B ∵n加油二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于(-2n加油,0)和(4,0)两点,函数图象开口向下,∴函数值y>0时,自变量x的取值n加油范围是-2<x<4,故选B.
5.[解析]C 由表可以看出,当x取1.4n加油与1.5之间的某个数时,y=0,即这个数是关于x的一元一次方程ax2+bxn加油+c=0的一个根.
则一元二次方程ax2+bx+cn加油=0的一个根x的取值范围为1.4<x<1.5.
n加油故选C.
6.[答案]D
7.[解析]B ①由抛物线与x轴有两个交n加油点,知b2-4ac>0,所以①正确.②因为对称轴为直线x=-1,所以-
=-1,即2a-b=0,所n加油以②错误.因为抛物线经过点A(-3,0),对n加油称轴为直线x=-1,所以抛物线与x轴的另一个交n加油点坐标为(1,0),于是有a+b+c=0,所以n加油③错误.④点B
在对称n加油轴左侧1.5个单位长度处,点C
在对称轴右侧0n加油.5个单位长度处,找出相应的点,显然y1<y2,所以④正确.故选B.
8.[n加油解析]C ∵△ABC是正三角形,∴∠Bn加油=∠C=60°,∵∠BPD+∠APD=∠C+∠CAP,∠APD=60°n加油,∴∠BPD=∠CAP,∴△BPD∽△CAP,∴BP∶n加油AC=BD∶PC.∵正三角形ABC的边长为4,BP=x,BD=y,∴x∶4=yn加油∶(4-x),∴y=-
x2+x.故选C.
9.[答案]y=-2(x+1)2-3
10.[答n加油案](-1,0)
11.[答案]>
[解析]由y=(n加油x+3)2-2可知抛物线的对称轴为直线x=-3.
∵抛物线开口向上,而点A(n加油4,y1)到对称轴的距离比点B(-4,y2)到对称轴的距离远,
∴n加油y1>y2.
12.[答案]18
[解析]如图所示,建n加油立平面直角坐标系,x轴在直线DE上,y轴经过最高点C.
设n加油AB与y轴交于点H,
∵AB=12,∴AH=BH=6,
由题可知:
n加油OH=5,CH=4,
∴OC=5+4=9,
∴B(6,n加油5),C(0,9).
设该抛物线的表达式为y=ax2+n加油k,
∵顶点为C(0,9),
∴y=ax2n加油+9.
把B(6,5)代入,得5=36a+9,解n加油得a=-
,
∴抛物线的表达式为y=-
x2+9.
当y=0时,0=-
x2+9,解得x=±9,
∴E(9,0),D(-9,0),
∴OE=On加油D=9,
∴DE=OD+OE=9+9=18(m).
故答案为18.
1n加油3.[答案](1+
,3)或(2,-3)
[解析n加油]∵△ABC是等边三角形,且AB=2
,∴AB边上的高为3.又∵点C在二次函数的图象上,∴点C的纵坐标n加油为±3.将y=±3代入y=x2-2x-3,得x=1±
或0或2.∵点C落在该函数在y轴右侧的图象上,∴x>0,n加油∴x=1+
或2,∴点C的坐标为(1+
,3)或(2,-3).
1n加油4.解:
(1)由题意得
解得
∴抛物线的表达式为y=
xn加油2-x+2.
(2)当x=0时,y=2,故点D的坐标为(0,2).连接n加油BD,CD,BC.
∵C,D两点的纵坐标相同n加油,
∴CD∥x轴,
∴点B到CD的距离为6-2=4.
∵CDn加油=2-0=2,
∴S△BCD=
×2×4=n加油4.
15.[解析]
(1)可用待定系数法来确定yn加油与x之间的函数关系式;
(2)根据利润=销售量×单件的利润,然后将(n加油1)中的函数关系式代入其中,求出利润和销售单价之间的关系式,然后根n加油据其性质来判断出最大利润;
(3)首先得出w-1n加油50与x之间的函数关系式,进而利用所获利润等于3600元n加油时,求得对应的x值,根据增减性,求出x的取值范围.
解n加油:
(1)由题意得
解得
故y与x之间n加油的函数关系式为y=-10x+700,
(2)由题意,得-10x+700≥n加油240,
解得x≤46.
设每天获取的利润为w元,则w=(x-30)·y=n加油(x-30)(-10x+700)=-10x2+1000xn加油-21000=-10(x-50)2+4000.n加油
∵-10<0,
∴当x<50时,w随x的增大而增大,
∴当x=46时n加油,w最大=-10×(46-50)2+4000=3840.
n加油答:
当销售单价为46元/件时,每天获取的利润最大,最大利润是3n加油840元.
(3)令w′=w-150=-10x2+1000x-21000-15n加油0=3600,
-10(x-50)2=-250,
x-50=±5,n加油
x1=55,x2=45.
如图所示,由图象得当45≤n加油x≤55时,捐款后每天剩余利润不低于3600元.
16n加油.解:
(1)在Rt△ABO中,由勾股定理得:
AB=
=10.
①当
=
时,△APQ∽△ABO,
即
=
,解得t=
;
②当
=
时,△APQ∽△AOB,
即
=
,解得t=
.
综上所述,当t=
或t=
时,△APQ与△ABO相似.
(2)如图所示,过点P作PD⊥x轴于点D.
∵PD⊥x轴,OB⊥x轴,∴OB∥PD,
∴
=
,
即
=
,
∴PD=6-
t.
由三角形的面积公式可知:
S=
AQ·PD=
·2t·(6-
t)=6t-
t2,
∴S与t之间的函数关系式为S=-
t2+6t(0<t<
).
∵S=-
t2+6t=-
(t-
)2+5,
∴当t=
时,S有最大值,最大值为5.
17.解:
(1)∵AB=2,对称轴为直线x=2,
∴点A的坐标为(1,0),点B的坐标为(3,0).
把A,B两点的坐标代入y=x2+bx+c中,
得
解得
∴抛物线的函数表达式为y=x2-4x+3.
(2)连接AC,BC,BC交对称轴于点P,连接PA(如图).
由
(1)知抛物线的函数表达式为y=x2-4x+3,点A,B的坐标分别为(1,0),(3,0),
∴点C的坐标为(0,3),
∴BC=
=3
,AC=
=
.
∵点A,B关于对称轴直线x=2对称,
∴PA=PB,
∴PA+PC=PB+PC,此时PB+PC=BC,
∴当点P在对称轴上运动时,PA+PC的最小值等于BC,
∴△APC的周长的最小值=AC+PA+PC=BC+AC=3
+
.
(3)(2,-1)
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