高中数学第一章立体几何初步121平面的基本性质与推论学业分层测评新人教B版必修.docx
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高中数学第一章立体几何初步121平面的基本性质与推论学业分层测评新人教B版必修
2019-2020年高中数学第一章立体几何初步1.2.1平面的基本性质与推论学业分层测评新人教B版必修
一、选择题
1.给出下列说法:
①梯形的四个顶点共面;
②三条平行直线共面;
③有三个公共点的两个平面重合;
④三条直线两两相交,可以确定3个平面.
其中正确的序号是( )
A.①B.①④C.②③D.③④
【解析】 因为梯形有两边平行,所以梯形确定一个平面,所以①是正确的;三条平行直线不一定共面,如直三棱柱的三条平行的棱,所以②不正确;有三个公共点的两个平面不一定重合,如两个平面相交,三个公共点都在交线上,所以③不正确;三条直线两两相交,可以确定的平面个数是1或3,所以④不正确.
【答案】 A
2.若a、b为异面直线,则( )
①a∩b=∅,且a不平行于b;②a⊂平面α,b⊄平面α,且a∩b=∅;③a⊂平面α,b⊂平面β,且α∩β=∅;④不存在平面α能使a⊂α,且b⊂α成立.( )
A.①②③B.①③④
C.②③D.①④
【解析】 ②③中的a,b有可能平行,①④符合异面直线的定义.
【答案】 D
3.经过空间任意三点作平面( )
A.只有一个B.可作两个
C.可作无数多个D.只有一个或有无数多个
【解析】 若三点不共线,只可以作一个平面;若三点共线,则可以作出无数多个平面,选D.
【答案】 D
4.空间四点A、B、C、D共面而不共线,那么这四点中( )
A.必有三点共线
B.必有三点不共线
C.至少有三点共线
D.不可能有三点共线
【解析】 如图①②所示,A、C、D均不正确,只有B正确,如图①中A、B、D不共线.
① ②
【答案】 B
5.如图1210,平面α∩平面β=l,A、B∈α,C∈β,C∉l,直线AB∩l=D,过A、B、C三点确定的平面为γ,则平面γ、β的交线必过( )
图1210
A.点A
B.点B
C.点C,但不过点D
D.点C和点D
【解析】 根据公理判定点C和点D既在平面β内又在平面γ内,故在β与γ的交线上.故选D.
【答案】 D
二、填空题
6.设平面α与平面β相交于l,直线a⊂α,直线b⊂β,a∩b=M,则M________l.
【解析】 因为a∩b=M,a⊂α,b⊂β,所以M∈α,M∈β.又因为α∩β=l,所以M∈l.
【答案】 ∈
7.如图1211,在正方体ABCDA1B1C1D1中,试根据图形填空:
图1211
(1)平面AB1∩平面A1C1=________;
(2)平面A1C1CA∩平面AC=________;
(3)平面A1C1CA∩平面D1B1BD=________;
(4)平面A1C1,平面B1C,平面AB1的公共点为________.
【答案】
(1)A1B1
(2)AC (3)OO1 (4)B1
8.空间三条直线,如果其中一条直线和其他两条直线都相交,那么这三条直线能确定的平面个数是________.
【解析】 如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,
①AA1∩AB=A,AA1∩A1B1=A1,直线AB,A1B1与AA1可以确定一个平面(平面ABB1A1).
②AA1∩AB=A,AA1∩A1D1=A1,
直线AB,AA1与A1D1可以确定两个平面(平面ABB1A1和平面ADD1A1).
③三条直线AB,AD,AA1交于一点A,它们可以确定三个平面(平面ABCD,平面ABB1A1和平面ADD1A1).
【答案】 1或2或3
三、解答题
9.如图1212所示,在空间四边形各边AD,AB,BC,CD上分别取E,F,G,H四点,如果EF,GH交于一点P,求证:
点P在直线BD上.
图1212
【证明】 ∵EF∩GH=P,
∴P∈EF且P∈GH.
又∵EF⊂平面ABD,GH⊂平面CBD,
∴P∈平面ABD,且P∈平面CBD,
∴P∈平面ABD∩平面CBD,
∵平面ABD∩平面CBD=BD,由公理3可得P∈BD.
∴点P在直线BD上.
10.求证:
两两相交且不共点的三条直线在同一平面内.
【解】 已知:
如图所示,l1∩l2=A,l2∩l3=B,l1∩l3=C.
求证:
直线l1,l2,l3在同一平面内.
证明:
法一 ∵l1∩l2=A,
∴l1和l2确定一个平面α.
∵l2∩l3=B,∴B∈l2.
又∵l2⊂α,∴B∈α.
同理可证C∈α.
又∵B∈l3,C∈l3,
∴l3⊂α.
∴直线l1、l2、l3在同一平面内.
法二 ∵l1∩l2=A,
∴l1、l2确定一个平面α.
∵l2∩l3=B,
∴l2、l3确定一个平面β.
∵A∈l2,l2⊂α,∴A∈α.
∵A∈l2,l2⊂β,∴A∈β.
同理可证B∈α,B∈β,C∈α,C∈β.
∴不共线的三个点A、B、C既在平面α内,又在平面β内.
∴平面α和β重合,即直线l1、l2、l3在同一平面内.
[能力提升]
1.已知α,β为平面,A,B,M,N为点,a为直线,下列推理错误的是( )
A.A∈a,A∈β,B∈a,B∈β⇒a⊂β
B.M∈α,M∈β,N∈α,N∈β⇒α∩β=MN
C.A∈α,A∈β⇒α∩β=A
D.A,B,M∈α,A,B,M∈β,且A,B,M不共线⇒α,β重合
【解析】 选项C中,α与β有公共点A,则它们有过点A的一条交线,而不是点A,故C错.
【答案】 C
2.空间中有A,B,C,D,E五个点,已知A,B,C,D在同一个平面内,B,C,D,E在同一个平面内,那么这五个点( )
A.共面B.不一定共面
C.不共面D.以上都不对
【解析】 若B,C,D共线,则这五个点不一定共面;若B,C,D不共线,则这五个点一定共面,故选B.
【答案】 B
3.如图1213所示,在正方体ABCDA1B1C1D1中,O为DB的中点,直线A1C交平面C1BD于点M,则下列结论正确的是________.
图1213
①C1,M,O三点共线;
②C1,M,O,C四点共面;
③C1,O,A,M四点共面;
④D1,D,O,M四点共面.
【解析】 在题图中,连接A1C1,AC(图略),则AC∩BD=O,A1C∩平面C1BD=M.
∴三点C1,M,O在平面C1BD与平面ACC1A1的交线上,即C1,M,O三点共线,
∴选项①、②、③均正确,④不正确.
【答案】 ①②③
4.在正方体AC1中,E、F分别为D1C1、B1C1的中点,AC∩BD=P,A1C1∩EF=Q,如图1214.
图1214
(1)求证:
D、B、E、F四点共面;
(2)作出直线A1C与平面BDEF的交点R的位置.
【解】
(1)证明:
由于CC1和BF在同一个平面内且不平行,故必相交.设交点为O,则OC1=C1C.同理直线DE与CC1也相交,设交点为O′,则O′C1=C1C,故O′与O重合.由此可证得DE∩BF=O,故D、B、F、E四点共面(设为α).
(2)由于AA1∥CC1,
所以A1、A、C、C1四点共面(设为β).
P∈BD,而BD⊂α,故P∈α.
又P∈AC,而AC⊂β,所以P∈β,所以P∈α∩β.
同理可证得Q∈α∩β,从而有α∩β=PQ.
又因为A1C⊂β,
所以A1C与平面α的交点就是A1C与PQ的交点.
连接A1C,则A1C与PQ的交点R就是所求的交点.
2019-2020年高中数学第一章立体几何初步1.2.1平面的基本性质学业分层测评苏教版必修
一、填空题
1.经过空间任意三点可以作________个平面.
【解析】 若三点不共线,只可以作一个平面;若三点共线,则可以作出无数个平面.
【答案】 一个或无数
2.下面是四个命题的叙述(其中A,B表示点,a表示直线,α表示平面):
①∵A⊂α,B⊂α,∴AB⊂α;
②∵A∈α,B∈α,∴AB∈α;
③∵A∉α,a⊂α,∴A∉a.
其中,命题叙述方式和推理都正确的命题是________.
【解析】 ①错,应写为A∈α,B∈α;②错,应写为AB⊂α;③正确.
【答案】 ③
3.空间四点A,B,C,D共面而不共线,那么这四点中________.
①必有三点共线;②必有三点不共线;③至少有三点共线;④不可能有三点共线.
【解析】 如图
(1)
(2)所示,①③④均不正确,只有②正确,如图
(1)中A,B,D不共线.
(1)
(2)
【答案】 ②
4.设平面α与平面β相交于l,直线a⊂α,直线b⊂β,a∩b=M,则M________l.
【解析】 因为a∩b=M,a⊂α,b⊂β,所以M∈α,M∈β.又因为α∩β=l,所以M∈l.
【答案】 ∈
5.如图1-2-10所示,ABCD-A1B1C1D1是长方体,O是B1D1的中点,直线A1C交平面AB1D1于点M,则下列结论错误的是________.
图1-2-10
①A,M,O三点共线;
②A,M,O,A1四点共面;
③A,O,C,M四点共面;
④B,B1,O,M四点共面.
【解析】 因为A,M,O三点既在平面AB1D1内,又在平面AA1C内,故A,M,O三点共线,从而易知①②③均正确.
【答案】 ④
6.若直线l与平面α相交于点O,A,B∈l,C,D∈α,且AC∥BD,则O,C,D三点的位置关系是________.
【解析】 ∵AC∥BD,
∴AC与BD确定一个平面,记作平面β,
则α∩β=直线CD.
∵l∩α=O,∴O∈α.
又∵O∈AB⊂β,∴O∈直线CD,∴O,C,D三点共线.
【答案】 共线
7.如图1-2-11所示的正方体中,P,Q,M,N分别是所在棱的中点,则这四个点共面的图形是________.(把正确图形的序号都填上)
图1-2-11
【解析】 图形①中,连结MN,PQ,则由正方体的性质得MN∥PQ.根据推论3可知两条平行直线可以确定一个平面,故图形①正确.分析可知图形②④中这四点均不共面.③中四点恰是正六边形的四点,故③正确.
【答案】 ①③
8.如图1-2-12所示,正方体ABCD-A1B1C1D1中,平面A1C与平面BDPQ的交线是__________.
图1-2-12
【解析】 因为N∈平面A1C,且N∈平面BDPQ;同理M∈平面A1C,且M∈平面BDPQ,所以平面A1C与平面BDPQ的交线是MN.
【答案】 MN
二、解答题
9.如图1-2-13,点A∉平面BCD,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA上的点,EH与FG交于点K,求证:
点K在直线BD上.
图1-2-13
【证明】 ∵EH∩FG=K,
∴K∈EH,K∈FG.
∵E∈AB,H∈AD,
∴EH⊂平面ABD,∴K∈平面ABD.
同理,K∈平面BCD.
又∵平面ABD∩平面BCD=BD,
∴K在直线BD上.
10.如图1-2-14,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分别是AA1,CC1的中点,求证:
D1,E,F,B共面.
图1-2-14
【证明】 因为D1,E,F三点不共线,所以D1,E,F三点确定一个平面α.由题意得,D1E与DA共面于平面A1D且不平行,如图.
分别延长D1E与DA相交于G,所以G∈直线D1E,所以G∈平面α.同理设直线D1F与DC的延长线交于H,则H∈平面α.
又点G,B,H均在平面AC内,且点E是AA1的中点,AA1∥DD1,所以AG=AD=AB,所以△AGB为等腰三角形,所以∠ABG=45°.同理∠CBH=45°.又∠ABC=90°,所以G,B,H共线于GH,又GH⊂平面α,所以B∈平面α,所以D1,E,F,B共面.
[能力提升]
1.如图1-2-15,已知D,E是△ABC的边AC,BC上的点,平面α经过D,E
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