北京市清华大学届高三数学中学生标准学术能力诊断性测试试题理.docx
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北京市清华大学届高三数学中学生标准学术能力诊断性测试试题理
北京市清华大学2020届高三数学11月中学生标准学术能力诊断性测试试题理
本试卷共150分,考试时间120分钟。
一、选择题:
本大题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.己知集合U={-1,1,3,5,7,9},A={1,5},B={-1,5,7},则
(A∪B)=
A.{3,9}B.{I,5,7}C.{-1,1,3,9}D.{-1,1,3,7,9}
2.己知空间三条直线l,m,n,若l与m垂直,l与n垂直,则
A.m与n异面B.m与n相交
C.m与n平行D.m与n平行、相交、异面均有可能
3.复数z满足|z-1|=|z+3|,则|z|
A.恒等于1B.最大值为1,无最小值
C.最小值为1,无最大值D.无最大值,也无最小值
4.某几何体的三视图如图所示(单位:
cm),则该几何体的表面积(单位:
cm2)是
A.16B.32C.44D.64
5.已知x+y>0,则“2|x|+x2>2|y|+y2”是“x>0”的
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
6.函数y=ln|x|·cos(
-2x)的图像可能是
7·已知两个不相等的非零向量
,
,满足|
|与
-
的夹角为60°,则|
|的取值范围是
A.
B.
C.
D.
8.已知随机变量ξ的分布列为:
则下列说法正确的是
A.存在x,y∈(0,1),E(ξ)>
B.对任意x,y∈(0,1),E(ξ)≤
C.对任意x,y∈(0,1),D(ξ)≤E(ξ)D.存在x,y∈(0,1),D(ξ)>
9.设函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a,b,c,d∈R且a≠0),若0<2f
(2)=3f(3)=4f(4)<1,则f
(1)+f(5)的取值范围是
A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)
10.已知F1,F2分别为双曲线
的左、右焦点,若在双曲线右支上存在点P,使得点F2到直线PF1的距离为a,则该双曲线的离心率的取值范围是
A.
B.
C.
D.
11.如图,在菱形ABCD中,∠ABC=60°,E,F分别是边AB,CD的中点,现将△ABC沿着对角线AC翻折,则直线EF与平面ACD所成角的正切值最大值为
A.
B.
C.
D.
12.己数列{an}满足a1=1,an+1=lnan+
+1,记Sn=[a1]+[a2]+···+[an],[t]表示不超过t的最大整数,则S2019的值为
A.2019B.2018C.4038D.4037
二、填空题:
本大题共4小题,每小题5分,共20分。
13.在[-2,2]上随机地取一个实数k,则事件“直线y=kx与圆(x-5)2+y2=9相交”发生的概率为。
14.如图,在△ABC中,AB>AC,BC=
,A=60°,△ABC的面积等于
,则角平分线AD的长等于。
15.已知数列{an}满足an+an+1=15-2n,其前n项和为Sn,若Sn≤S8恒成立,则a1的取值范围为。
16.已知P为椭圆C:
上一个动点,F1、F2是椭圆C的左、右焦点,O为坐标原点,O到椭圆C在P点处的切线距离为d,若
,则d=。
三、解答题:
共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。
第22、23题为选考题,考生根据要求作答。
(一)必考题:
60分。
17.(12分)已知函数f(x)=sinx-
cosx
(1)求函数f(x)的单调递增区间;
(2)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若f(B)=
,b=3,求△ABC面积的最大值。
18.(12分)如图,已知四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,AD//BC,BC=2AD,AD⊥CD,PD⊥平面ABCD,E为PB的中点。
(1)求证:
AE//平面PDC;
(2)若BC=CD=PD,求直线AC与平面PBC所成角的余弦值。
19.(12分)已知甲盒内有大小相同的2个红球和3个黑球,乙盒内有大小相同的3个红球和3个黑球,现从甲,乙两个盒内各取2个球。
(1)求取出的4个球中恰有1个红球的概率;
(2)设ξ为取出的4个球中红球的个数,求ξ的分布列和数学期望。
20.(12分)如图,斜率为k的直线l与抛物线y2=4x交于A、B两点,直线PM垂直平分弦AB,且分别交AB、x轴于M、P,已知P(4,0)。
(1)求M点的横坐标;
(2)求△PAB面积(用k表示)。
21.(12分)已知函数
。
(1)若a=0,求函数f(x)的值域;
(2)设函数f(x)的两个零点为x1,x2,且x1≠x2,求证:
x1·x2>e2。
(二)选考题:
共10分。
请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。
作答时请写清题号。
22.[选修4-4:
坐标系与参数方程](10分)
在平面直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为
(α为参数),在以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,点P的极坐标为
,直线l的极坐标方程为
。
(1)求直线l的直角坐标方程与曲线C的普通方程;
(2)若Q是曲线C上的动点,M为线段PQ的中点,直线l上有两点A,B,始终满足|AB|=4,求△MAB面积的最大值与最小值。
23.[选修4-5:
不等式选讲](10分)
已知a,b,c为正实数,且满足a+b+c=3。
证明:
(1)ab+bc+ac≤3;
(2)
。
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