离散数学古天龙14章答案docx.docx

离散数学古天龙14章答案docx.docx

《离散数学古天龙14章答案docx.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《离散数学古天龙14章答案docx.docx（52页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

离散数学古天龙14章答案docx

P20

1.用枚举法写出下列集合。

○2大于5小于13的所有偶数。

A={6,8,10,12}

○520的所有因数

A={1,2,4,5,10,20}

○6小于20的6的正倍数

A={6,12,18}

2.用描述法写出下列集合

○3能被5整除的整数集合

A{5x|x是整数}

○4平面直角坐标系中单位圆内的点集

A{|x2+y2≤1}

4.求下列集合的基数

○19

○31

○73

○82

○101

6.求下列集合的幂集

○6{1，{2}}

解：

{空集，{1}，{{2}}，{1，{2}}}

○

解：

{空集，{空集}，{a}，{空集，a}}

7

○

解：

{空集，{{1，2}}，{{2}}，{{1，2}，{2}}}

9

15.设全集U={1，2，3,4,5}，集合A={1，4}，B={1，2，5}，C={2，4}，确定下列集合。

○2{1，3,5}

○3{1，4,}

○8{5}

○

，{2}，{4}，{1，4}，{2，4}}

9{空集，{1}

18.对任意集合A，B和C，证明下列各式

○2（A-（BUC））=（（A-B）-C）

证：

（A-（BUC））=A∩~（BUC）=A∩（~B∩~C）

（（A-B）-C）=（A∩~B）∩~C=A∩~B∩~C

所以（A-（BUC））=（（A-B）-C）

○3（A-（BUC））=（（A-C）-B

证：

（A-（BUC））=A∩~（BUC）=A∩~B∩~C

（（A-C）-B）=（A∩~C）∩~B

所以（A-（BUC））=（（A-C）-B

○

（注这里

○○

中的“≤”代表包含于符号）

5P（A）UP（B）≤P（AUB）原题有错

56

证：

任取C∈P（A）UP（B）由定义

C∈P（A）或C∈P（B）

若C∈P（A），则C≤A,则C≤AUB

若C∈P（B），则C≤B,则C≤AUB

故C≤AUB，即C∈P（AUB）证毕

○6P（A）∩P（B）=P（A∩B）

证：

先证P（A）∩P（B）≤P（A∩B）

任取C∈P（A）∩P（B），且C∈P（A）,C∈P（B）

由定义C≤A且C≤B,得C≤A∩B,即C∈P（A∩B）

所以P（A）∩P（B）≤P（A∩B）

再证P（A∩B）≤P（A）∩P（B）

任取C∈P（A∩B）,即C=A∩B

C≤A,且C≤B,C∈P（A）且C∈P（B）

所以C∈P（A）∩P（B）得证

21.用集合表示图1.7中各阴影部分。

a.（B∩C）-（A∩B∩C）;

b.b.（A∩B）-（A∩B∩C）;

c.U-（AUBUC）;

d.B-（（A∩B）U（B∩C））;

e.A∩B∩C

27.某班有25个学生，其中14人会打篮球，12人会打排球，6人会打篮球和排球，

打篮球和网球，还有2人会打这三种球。

已知6个会打网球的人都会打篮球或排球，

同学中不会打球的人数。

解：

设A={x|x会打篮球}，B={x|x会打排球}，C={x|x会打网球}

由题意知|A|=14,|B|=12，|C|=6,|A∩B|=6，|A∩C|=5，

|A∩B∩C|=2，|C∩（AUB）|=6，

|C∩（AUB）|=|（C∩A）U（C∩B）|=|C∩A|+|C∩B|-|C∩（AUB）|=6,

|B∩C|=6+|A∩B∩C|-|A∩C|=3,

5人会

求该班

所以

|AUBUC|=|A|+|B+|C|-|A

∩B|-|B∩C|-（|B∩C|+|A∩B∩C|

=14+12+6-6-3-5+2=20

所以该班同学中不会打球的人有

25-20+5

人。

30.假设在“离散数学”课程的第一次考试中14个学生得优，第二次考试中18个学生得优。

如果22个学生在第一次或第二次考试得优，问有多少学生两次考试都得优。

解：

设A={x|x第一次得优的同学}，B={x|x第二次得优的同学}

由已知：

|A|=14，|B|=18,|AUB|=22，

由|AUB|=|A|+|B|-|A∩B|=22

所以|A∩B|=32-22=10

两次考试都得优的有10人。

3.设集合A={1,23，}，B={1,3,5}和C={a,b}。

求如下笛儿卡积。

②、（A×C）∩（B×C）

（A×C）∩（B×C）＝{<1,a>，<3,a>,<1,b>,<3,b>}

③、（A∪B）×C＝{<1,a>,<1,b>,<2,a>,<2,b>,<3,a>,<3,b>,<5,a>,<5,b>}

4.对于集合A和B,证明。

①（A∩B）×C＝（A×C）∩（B×C）

证：

对任意∈（A∩B）×C,由笛儿卡积定义，

有x∈（A∩B）,y∈C.那么x∈A且x∈B，由笛儿卡积定义，

故∈A×C（x,y）∈B×C

∴∈（A×C）∩（B×C）

故（A∩B）×C?

（A×C）∩（B×C）

对任意∈（A×C）∩（B×C）

由交集知，∈A×C,且∈B×C，由笛儿卡积定义，x∈A,y∈C,且x∈B,y∈C

∴x∈A∩B,y∈C.由笛儿卡积定义知，∈（A∩B）

故（A×C∩（B×C）?

（A∩B）×C,

证毕

②（A∪B）×C＝（A×C）∪（B×C）

证：

任取∈（A∪B）×C,由笛儿卡积定义知，

x∈A∪B,y∈C,故∈A×C或∈B×C

∴∈（A×C∪（B×C）,

∴（A∪B）×C?

（A×C）∪（B×C）

任取∈（A×C）∪（B×C）,由笛儿卡积定义知，

∈A×C或∈B×C,由笛儿卡积定义知，

x∈A或x∈B,y∈C,

∴x∈A∪B,y∈C,由笛儿卡积定义知，

∈（A∪B）×C

∴（A×C）∪（B×C）?

（A∪B）×C

证毕

5.对于集合A={1,2,3}和B={2,3,4,6}，求

③从A到B的整除关系

R={<1,2>,<1,3>,<1,4>,<1,6>,<2,2>,<2,4>,<2,6>,<3,3>,<3,6>}

R={|x∈A,y∈B,x能整除y}

⑥从B到A的整除关系

R={<2,2>,<3,3>}

R={|x∈B,y∈A,x能整除y}

6.对于集合A={1,2,3,4,6,8,12}，求

①A上的小于等于关系

R={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<1,4>,<1,6>,<1,8>,<1,12>,

<2,2>,<2,3>,<2,4>,<2,6>,<2,8>,<2,12>,

<3,3>,<3,4>,<3,6>,<3,8>,<3,12>,

<4,4>,<4,6>,<4,8>,<4,12>,

<6,6>,<6,8>,<6,12>,

<8,8>,<8,12>,

<12,12>}

⑤A上的不等于关系

R={|x∈A,y∈A,x≠y}

R={<1,2>,<1,3>,<1,4>,<1,6>,<1,8>,<1,12>,

<2,1>,<2,3>,<2,4>,<2,6>,<2,8>,<2,12>,

<3,1>,<3,2>,<3,4>,<3,6>,<3,8>,<3,12>,

<4,1>,<4,2>,<4,3>,<4,6>,<4,8>,<4,12>,

<6,1>,<6,2>,<6,3>,<6,4>,<6,8>,<6,12>,

<8,1>,<8,2>,<8,3>,<8,4>,<8,6>,<8,12>,

<12,1>,<12,2>,<12,3>,<12,4>,<12,6>,<12,8>}

7.对于集合A={a,b,c}和B={{a},{a,b},{a,c},{b,c}},

①从P（A）到B的包含关系

求

R＝{|x

∈P（A）

x∈B,

x≤y

}

P（A）＝{

{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}}

R={<

{a}

>,<

{a,b}

>,<

{a,c}

>,<

{b,c}

><{a}

{a}

>,<{a}

{a,b}

>,

<{a},{a,c}>,<{b},{a,b}>,<{b},{b,c}>,<{c},{a,c}>,<{c},{b,c}>,<{a,b},{a,b}>,<{a,c},{a,c}>,<{b,c},{b,c}>}

8.对于集合A={3,5,7,9}和B={2,3,4,6,8,10}，求关系矩阵

③、从A到B的整除关系

┏010100┓┃000001┃

┗000000┛

9.对于集合A={2,3,4,6,7,8,10}，求如下关系的关系矩阵

②A上的大于关系

┏0000000┓┃1000000┃┃1100000┃

MR＝┃1110000┃

┃1111000

┃

┃1111100

┃

┗1111110

┛

14.设A={a,b,c,d,e,f,g},其中a,b,c,d,e,f和g分别表示7人，且a,b和c都是18岁，

d和e都是21岁，f,和g都是23岁，试给出A上的同龄关系，并用关系矩阵和关系图表示

解：

R＝{,,,,,,

,,,,,,

,,,}

┏1110000┓

┃1110000┃

c

┃1110000

┃

e

MR＝┃0001100┃

┃0001100┃

a

b

f

┃0000011

┃

┗0000011

┛

g

g

P69

15.判断集合A={a,b,c}上的如下关系所具有的性质。

①R1={,,,,,}

自反性、反对称性、传递性

④R4={,,,,}

自反性、对称性、传递性

⑤R5=A×A

对称性、自反性、传递性

⑥R6=

自反性、对称性、传递性

16.判断集合A={3,5,6，7,10,12}上的如下关系所具有的性质。

①A上的小于等于关系

自反性、反对称性、传递性

②A上的恒等关系

自反性、对称性、反对称性、传递性

19.对于图2.16中给出的集合A={1，2,3}上的关系，写出相应的关系表达式和关系矩阵，并分析他们各自具有的性质。

R2={<1,1>,<3,3>,<1,2>,<2,1>,<2,3>,<3,2>,<1,3>,<3,1>}

┏111

┓

1

MR2=

┃101

┃

┗111

┛

2

（对称性）

3

R2

R11={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<1,2>,<2,1>,<2,3>,<3,2>}

1

┏110

┓

MR11=

┃111┃

┗011

┛

2

3（自反性、对称性）

25.对于集合A={a,b,c}到集合B={1,2}的关系；

R={,,}和S={,,}

求R∪S,R∩S,R﹣S,S﹣R,~R和~S。

解：

R∪S={,,,,};R∩S={,};

R﹣S={};S﹣R={};

~R=A×B－R={,,};~S=A×B－S={,,}.

27.对于集合A={1,2,3,4,5,6}上的关系R={|（x-y）2∈A}，S={|y是x的倍数}和T={|x整除y，y是素数}，试写出各关系中的元素，各关系的关系矩阵和关系图，

并计算下列各式。

解：

R={<1,3>,<2,1>,<1,2>,<2,3>,<2,4>,<3,1>,<3,2>,

<3,4>,<3,5>,<4,2>,<4,3>,<4,5>,<4,6>,

<5,3>,<5,4>,<5,6>,<6,4>,<6,5>};

S={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<1,4>,<1,5>,<1,6>

<2,2>,<2,4>,<2,6>

<3,3>,<3,6>

<4,4>,<5,5>,<6,6>};

T={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<1,5>

<2,2>,<3,3>,<5,5>}

┏011000┓

R的关系图：

┃101100

┃

1

2

MR=┃110110┃

┃011011

┃

┃001101

┃

6

┗000110

┛

4

3

5

其余略；

①R·S={<1,2>,<1,4>,<1,6>,<1,3>,

<2,1>,<2,2>,<2,3>,<2,4>,<2,5>,<2,6>,

<3,1>,<3,2>,<3,3>,<3,4>,<3,5>,<3,6>,

<4,2>,<4,4>,<4,3>,<4,5>,<4,6>,

<5,3>,<5,6>,<5,4>,

<6,4>,<6,5>}

④（R∩T）·S

R∩T={<1,2>,<1,3>}

（R∩T）·S={<1,2>,<1,4>,<1,6>,<1,3>}

32.对于集合A={a,b,c}上的如下关系，求各个关系的各次幂。

①R1={,,}

R1o={,,}

┏100

┓

MR1o=┃010┃

┗001

┛

┏100

┓

┏100┓┏100┓

MR1=┃100┃MR12=MR1·MR1=┃100┃=┃100┃=MR1

┗000

┛

┗000┛┗000┛

┏100┓

┃010┃

（n=0）

┗001┛

MR1的n次方=┏100┓

┃100┃

（n≥1）

┗000┛

③R3={,,};

┏100┓

┏

011

┓

MR3o=┃010┃

MR3=┃001┃

┗001┛

┗

000

┛

┏011┓┏011┓┏001┓

MR32=MR3·MR3=┃001┃·┃001┃=┃000┃

┗000┛

┗000┛┗000┛

┏001┓

┏011┓┏000┓

MR33=MR32·MR3=┃000┃·┃001┃=┃000┃

┗000┛

┗000┛┗000┛

┏000┓┏011┓┏000┓

MR3的4次方=MR33·MR3=┃000┃·┃001┃=┃000┃

┗000┛┗000┛┗000┛

33.对于题29中的关系R和S，求下列各式，并给出所得关系的关系矩阵和关系图。

解：

题29中的关系R和S如下：

R={<1,2>,<2,1>,<2,3>,<3,4>,<4,2>};

S={<3,1>,<4,2>};

IA={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>};

①r（R）=R∪IA={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>,<1,2>,<2,1>,<2,3>,<3,4>,<4,2>};

②S（R）=R∪R的负一次方={<1,2>,<2,1>,<2,3>,<3,2>,<3,4>,<4,3>,<4,2>,<2,4>};

③t（R）=R∪R2∪R3∪（R的4次方）

┏0100┓

┏0100┓┏0100

┓┏1010┓

MR=┃1010┃

MR2=MR·MR=┃1010┃·┃1010┃=┃0101

┃

┃0001┃

┃0001┃

┃0001

┃┃0100┃

┗0100┛

┗0100┛

┗0100

┛┗1010┛

┏1010┓┏0100┓┏0101

┓

MR3=MR2·MR=┃0101┃·┃1010┃=┃1110┃

┃0100┃

┃0001┃

┃1010

┃

┗1010┛

┗0100┛

┗0001

┛

┏0101┓┏0100┓┏1110┓┃1110┃┃1010┃┃1111┃

（MR的4次方）=MR3·MR=┃1010┃·┃0001┃=┃0101┃┗0001┛┗0100┛┗0100┛

┏1111┓┃1111┃

Mt（R）=┃1111┃=A×A.

┗1111┛

37.对于集合{0,1,2,3}上的如下关系，判定哪些关系式等价关系。

①{<0,0>,<1,1>,<2,2>,<3,3>};

是等价关系。

④{<0,0>,<1,1>,<1,3>,<2,2>,<2,3>,<3,1>,<3,2>,<3,3>};

自反性、对称性成立；

传递性不成立，因为<1,3>∈R,<3,2>∈R,但<1,2>?

R.

38.对于人类集合上的如下关系，判定哪些是等价关系。

①{|x与y有相同的父母}；

是等价关系。

∵∈R,满足自反性；

对称性：

若∈R，则∈R,对称性成立。

传递性：

若∈R∈R，则∈R,传递性成立。

②{|x与y有相同的年龄}

是等价关系。

39.设R和S是集合A上的等价关系，判定下列各式中哪些是等价关系。

①R∪S

解：

R∪S仍具有自反性和对称性，但不一定具备传递性，故不是等价关系。

∵任意x∈A,有∈R,∈S,∴∈R∪S.

自反性成立。

对任意∈R∪S,则∈R或∈S.

由于R·S是等价关系，∴∈R或∈S,则∈R

对称性成立。

传递性不成立，反例：

A{1,2,3}

R={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<1,2>,<2,1>},S={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<3,2>,<2,3>}

②R∩S

自反性：

因为任意x∈A,有∈R,且∈S,

所以∈R∩S,自反性成立。

对称性：

任取∈R∩S,故∈R,且∈S,由于R和S是等价关系，

故∈R且∈S,所以∈R∩S。

传递性：

任取∈R∩S，∈R∩S，即∈R且∈S，∈R且∈S，由于R和S是等价关系，所以∈R,且∈S,

所以∈R∩S,传递性成立。

∴综上所述，R∩S是等价关系。

41.对于正整数集合上的关系R={<,>|a·b=c·d}，试证明R是等价关系。

自反性：

任取a∈Z﹢,b∈Z+，∵a·b=a·b，

∴<,>∈R，自反性成立。

对称性：

任取<,>∈R，即a·b=c·d，c·d=a·b，故<,>∈R，

对称性成立。

传递性：

任取<,>∈R，<,>∈R，

∴a·b=c·d，c·d=e·f，∴a·b=e·f，

∴<,