不可约多项式的判定及应用黄嘉盛详解.docx
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不可约多项式的判定及应用黄嘉盛详解
不可约多项式的判定及应用
多项式理论是高等代数的重要组成部分,而不可约多项式是多项式中重要的概念.本文
主要对有理数域上不可约多项式的判别方法进行整理归纳,较为系统的给出不可约多项式
Perron判别法、Browm判别法等。
研究了各判定方法的等价和包含关系。
此外,我们还给出了不可约多项式的一些应用。
关键词
不可约多项式;判定方法;应用
2.不可约多项式的概念及性质
2.1整除的概念
设P是一个数域,对于P[x]中任意两个多项式f(x)与g(x),其中g(x)H0,
定有P[x]中的多项式q(x),r(x)存在,使得
f(x)=q(x)g(x)+r(x)
成立,其中c(r(x)) 定义2.1数域P上的多项式g(x)称为能整除f(x),如果有数域P上的多 项式h(x)使等式 f(x)=g(x)h(x) 成立, 我们用g(x)|f(x)”表示g(x)整除f(x),用g(x)f(x)”表示g(x)不能整除 f(x)。 定理2.1⑴对于数域P上的任意两个多项式f(x),g(x),其中 g(x) H0,g(x)|f(x)的充分必要条件是g(x)除f(x)的余式为零。 证明: 如果r(x)=0那么f(x)=q(x)g(x),即g(x)|f(x)。 反过来,如果 g(x)|f(x),那么f(x)=q(x)g(x)=q(x)g(x)+0,即卩r(x)=0。 注1: 带余除法中g(x)必须不为零。 F面介绍整除性的几个常用性质: (1)如果f(x)|g(x),g(x)|f(x),那么f(x)=cg(x),其中c为非零常数。 (2)如果f(x)|g(x),g(x)|h(x),那么f(x)|h(x)(整除的传递性)。 (3)f(x)|g(x),f(x)|g(x)i=12|朴,r,那么 f(X)1(Ui(x)gi(x)+u2(x)g2(x)+川+ur(x)gr(x)), 其中ui(x)是数域P上任意多项式。 ⑴2.2本原多项式 若是一个整系数多项式f(x)的系数互素,那么f(x)叫做一个本原多项式。 2.3有理数域上多项式的等价 设g(x)有理数域上的一个多项式,若g(x)的系数不全是整数,那么以g(x)系数分母的一个公倍数乘g(x)就得到一个整系数多项式f(x)。 显然,多项式g(x)与f(x)在有理数域上同时可约或同时不可约。 2.4多项式的不可约相关概念 在中学我们学过一些具体方法,把一个多项式分解为不能再分的因式的乘 积,但并没有深入探讨和讨论这个问题,并没有严格地论证它们是否真的不可再分,所谓不可再分的概念,其实不是绝对的,而是相对于系数的数域而言,有例如下 把x^9进行分解,可分解为 x4-9=(x2+3Xx2-3) rH步 但这是相对于有理数域而言的,对于实数域来说还可分进 X4-9=以2+3Xx-5/3)(x+73) 而在复数域上,还可以再进一步分解为 x4-9=(x+73i)(x-73r“+囘x-冋 由此可见,必须明确系数域后,所谓的不可再分,才有确切的涵义。 在下面的讨论中,仍然须选定一个数域P作为系数域,数域P上多项环 P[X]中多项式的因式分解相关的不可约定义如下 定义2・4・1数域P上的次数>1的多项式p(x)称为域P上的不可约多项式, 如果它不能表示成数域P上两个次数比p(x)的次数低的多项式的乘积。 我们要谈的多项式的不可约性问题的相关事实如下 (1)一次多项式总是不可约多项式; (2)—个多项式是否不可约是依赖于系数域的 (3)不可约多项式p(x)与任一多项式f(X)之间只能是有两种关系,或者 p(x)|f(X)或者(p(x),f(x))=1,事实上,如果(p(x),f(X))=d(x),那么d(x)或者是1, 或者是cp(x)(cHO),当d(x)=cp(X)时,就有P(x)|f(x)。 ⑴ 2.5有理数域上不可约多项式的定义 如果f(x)是有理数域上次数大于零的多项式且不能表示成有理数域上两 个次数比它低的多项式的乘积,则f(x)称为有理数域上的不可约多项式。 3.有理数域上不可约多项式的判定方法 3.1Eisenstein判别法⑴ 在高等代数中,Eisenstein判别法是最为经典和著名的,也是现行有理数 域上不可约多项式判定判定方法中最为实用的。 而人们长久以来的研究衍生出了许多不同的方法。 3.1.1直接判别法[2] 定理3.1.1设f(x)=anXn+...+ao是一个整系数多项式,其中nX1,设存在一 个素数P,使得P不整除an,P整除ai(is)但卩2不整除a。 ,那么多项式f(x)在有理数域上不可约。 3.1.2间接判别法 对于分圆多项式不能直接应用Eisenstein判别法,可以做适当的变形之后便可以应用了。 在学习的过程中,面对此类问题,因为其系数较高,不能用定义法去判定。 我们所学的也只有Eisenstein判别法,但不能直接运用。 考虑到多项式的等价,对多项式我们可以做适当代换x=ay+b,这样产生了Eisenstein判别法的间接判别法。 定理3.1.2有理系数多项式f(x)在有理数域上不可约的充分必要条件是对于任意的有理数aHO和b,多项式f(ax+b)在有理数域上不可约。 例1证明f(x)=X+在Q上不可约。 证明: f(x+1)=(x+1)4+1=x4+4x3+6x2+4x+2 取p=2,则P不整除1,P整除4,6,2,p2不整除2 由Eisenstein判别法知f(x+i)在Q上不可约,因此f(x)在Q上不可约。 3.1.3其他派生出的判别法 这种由Eisenstein判别法派生出的方法与Eisenstein判别法相类似,能够用来判定Eisenstein判别法所不能判定的一类有理数域上的不可约多项式。 定理3.1.3设f(X)=anXn+an4Xn4+…+ax+a是一个整系数多项式,如果存 在一个素数P,使P整除常数项a。 但整除其他各项系数且p2不整除最高次数项 系数,那么多项式在有理数上不可约。 例2下列多项式在有理数域上是否可约? ⑷xP+px+1,p为奇素数;⑸x4+4kx+1,k为整数. 解: (1)令x=y+i,贝y有 g(y)=f(y+1)=(y+1)2+1=y2+2y+2 取素数p=2,由于21,2|2,但是222故由Eisenstein判别法可知,g(y)在有理数上不可约,从而f(x)=x2+1在有理数域上也不可约。 ⑵取素数P=2,则21,2|-8,2|12但是222故由Eisenstein判别法可知,该多项式在有理数域上也不可约。 ⑶令X=y+1,代入f(x)=X6+x3+1,得 g(y)=f(y+1)=y6+6y5+15y4+21y3+18y2+9y+3 取素数p=3。 由于31,3|6,3|15,3|21,3|18,3|9,3|3,但是323,故由 Eisenstein判别法可知,g(y)在有理数上不可约,从而f(x)在有理数域上也不可 约。 ⑷令X=y-1,代入f(x)=xp+px+1,得 -川-C笄y2+(CpP」+p)y-p g(y)=f(y_1)=yP_Cpy卩二+厲丫卩' (5)令x=y+1,代入f(x)=x4+4kx+1,得 g(y)=f(y+1)=y4+4y3+6y2+(4k+4)y+4k+2 取素数p=2,由于21,又2|4,2|6,2|(4k+4),2|(4k+2),但22(4k+2),故由 Eisenstein判别法可知,g(y)在有理数上不可约,从而f(x)在有理数域上也不可约。 3.2Kronerker判别法[2] 定理3.2.1设f(x^Q[x],这里Q为有理数域。 则在有限步下fd)能分解成不 可约多项式的乘积。 (只考虑整系数多项式的情形) 例3证明f(X)=x—+1在Q上不可约。 证明: s=2<—取a。 =一1,a1=,0,a2=1, 2 则f(—1)=0,f(0)=1,f (1)=2 f(-1)=0,f(0)=1,f (1)=2 从而f(-1)的因子是0,f(0)的因子是1,f (1)的因子是1, 故令g(-1)=0,g(0)=1,g (1)=1;g(-1)=0,g(0)=0,g (1)=2 应用插值多项式: g1(x)=0+g^+g^」(x2—x-2) (0+1)(0-1)(1中1)(1-0)2 0十(x+1)(x-1)十2(x+1)(x-0) (0+1)(0T) 可约。 3.3Perron判别法⑶ |9」〉1+&_2丨+心心丨也"匕丨+|知,则f(x)在Q上不可约。 Perron 例4证明f(X)=x5+4x4+x2+1在Q上不可约 证明: 该题不满足艾森斯坦判别法,但其为整系数多项式,满足判别法的条件,由题意可知4A1+1,所以据Perron判别法可知该多项式在Q上不可约。 3.4Brown判别法⑶ 定理3.4.1设f(x)是n次整系数多项式,令 s(f)_{Tf(_i)|,|f(o)|,f(i)T Ni表示S(f)中1的个数,Np表示S(f)中的素数的个数,如果Np+2N"n+4, 则f(x)在Q上不可约。 例5证明f(X)=2x3-x2+x-1在Q上不可约 证明: ;f(0)=—1,f (1)=1,f(-1)=—5,f (2)=13,f(—2)=—23,f(3)=47 /.Np>4,Ni>2故Np+2Ni>8卒+3 所以多项式在Q上不可约。 3.5多项式无有理因式判别法[7] 定理3.5.1设f(x)=ao+a,xiManXn是一个整系数多项式,若f(x)没有次数 P|a,i=0,i,2,…,n-r-1 那么,f(X)在有理数域上不可约。 定理3.5.2设f(X)=0)+aix+…+anXn是一个整系数多项式,若f(x)没有次数 小于和等于r的有理因式,并且存在素数P,使: (1)P至少不整除务ai,…,ar中的一个 (2)P|ai,i=r+1,r+2,…n (3)p2|an 那么,f(X)在有理数域上不可约。 这种方法在应对没有不小于二次的有理因式的判定时,因为其需要计算机 计算来得到,所以在此种情况下,没有克罗奈克的方法更加的简便。 3.6模p约化处理判定法[8] 定理3.6.1f(X)=ao+aiX+…+anXn忘Z[x](anH0,n32),p是素数, p|gp|a0,a「sp+o,pg-b,其中b|罟,则f(x)在Q[x]中不可约。 定理3.6.2f(X)=aogx中…中anXn亡Z[x](anHO,n32),p是素数, pg,p|a2,a3「an,p2%pg-b,其中b|罟,则f(x)在Qlx]中不可约。 P是素数, 贝Jf(X)在Q[x] 定理3.6.3f(x)=a0+dx+…+anxn€Z[x](anH0,n>2), P归(0<: jVn),p|ao,ai,…,aj4,aj十,…,an,p2心。 %,pg-b其中"警 P 中不可约。 ,f(x)无理想根,则f(x)在Q[x]中不可约。 P 例6判断以下多项式在Q[x]中是否可约: (1)fi(x)=5xn+7x2-22(n32); ⑵f2(x)=7xn+2000X5+7(n>6); ⑶f3(x)=5+97x99+2OO8X100+5xn(nMOO). 解: (1)1ipan」=7,11|ao,ai,…,an2l12tao=—22,11|7-b其中b|琴10,由定理2・5・1,f1(x)在Q[x]中不可约. 11 (2)7.25=2007,7|a0,ai,a2,a3,a4,a6,a7,…,an,72f2000-b 其中b|竽=1,由定理2・5・3,f2(x)在Q[x]中不可约. (3)5299=97,d00=2008,5整除其余各项系数, 522。 =5,an=5,5|97-b,2008-b,其中b|響=1,因为f3(x)的系数全为正数, 所以f3(x)的有理根只可能为负数,设V,(u,v)=1,u>0,v<0是f3(x)的有理根,u 则U]52=-1,弋-=-1,-5,—,比門-1,-5,—},所以()均不是整式,所以 u551-c 无有理根,由定理2.5.4,f3(x)在Q[x]中不可约。 4.两类特殊不可约多项式的判定4.1奇次不可约多项式的判定⑼ +….+ 定理4.1.1对于整系数奇次多项式 f(X)=a2n十x2n++a2nX2n+…•+a2X2+盼七0(n^N) 若存在素数P使得 (4)P|an十,an七, (2)p2|a0,a0,…,an (4)p3[a。 那么,f(x)在有理数域上不可约。 4.2系数为1的不可约多项式的判定[10] n 定理4.2.1已知fn(x)=2;x^n亡N,n>2)是系数为1的多项式。 当n为奇数时, iz0 fn(x)在Q[x]上可约;当n为偶数时,如果n+1为合数,f^x)在Q[x]上可约,如果n+1 为素数,fn(X)在Q[x]上不可约。 n 推论4.2.2已知fn(x)=: S^1)ixi(n迂N,n>2)是系数在Q的多项式。 当n为奇数 i=0 时,fn(x)在Q[x]上可约;当n为偶数时,如果n+1为合数,fn(x)在Q[x]上可约,如果n+1为素数,fn(x)在Q[x]上不可约。 n 推论4.2.3已知fn(x)=2xki(n-N,n>2,k为正整数)是系数在Q的多项式。 当n为 i=0 奇数时,fn(x)在Q[x]上可约;当n为偶数时,如果n+1为合数,fn(x)在Q[x]上可 约。 5.不可约多项式的应用5.1不可约多项式在重因式中的应用⑴ 定义5.1.1不可约多项式p(x)称为多项式f(x)的k重因式,如果pk(x)|f(x), 而pM(x)ff(x)。 如果k=0,那么根本不是f(x)的因式;如果k=1,那么称为f(x) 的单因素;如果k>1,那么称为f(x)的重因式。 如果f(x)的标准分解式为 f(x)=cpiri(x)P2r2(x)…psrs(x) 那么pi(x),p2,(x),…,Pr(x)分别是f(x)的ri重,「2重,…,rs重因式。 定理5.1.2如果不可约多项式p(x)是f(x)的k重因式(k>1),那么它是微商 f'(x)的k-1重因式。 推论5.1.3如果不可约多项式p(x)是f(x)的重因式,那么p(x)是 f(x),f'(x),…,fZ(x)的因式,但不是f(k)(x)的因式。 推论5.1.4不可约多项式P(X)是f(x)的重因式的充分必要条件为p(x)是f(x)与f'(x)的公因式。 作为重因式的概念定义的基础,不可约多项式的应用从此可见一斑。 5.2不可约多项式在多项式互素中的应用 定理5.2.1P[x]中两个多项式f(x),g(x)互素的充要条件是有P[X]中的多项式u(x),v(x)使u(x)f(X)+v(x)g(x)=1。 定理5.2.2如果(f(x),g(x))=1,且f(x)|g(x)h(x),那么f(x)|h(x)。 例7证明: 如果(f(x),g(x))=1,(f(x),h(x))=1,那么 (f(x),g(x)h(x))=1. 解: 假设(f(x),g(x)h(x))Hl,则一定存在不可约多项式 p(x)3(p(x))〉O) 使得p(x)|f(x)和p(X)|g(x)h(x) 又因为p(x)不可约,则有 p(x)|g(x)或P(X)Ih(x) 这样(f(x),g(x))H1或(f(x),h(x))工1,与条件矛盾。 所以 (f(x),g(x)h(x))=1.⑺ 例8设fi(x),IH,fm(x),gi(x),|H,gn(x)都是多项式,而且 (fi(x),gj(x))=1(i=1,2,川,m;j=1,2,1山n)。 求证: (fi(x),f2(x),||[fm(x),gi(x),g2,||Lgn(x))=1。 解: 假设(f1(x),f2(x),III,fm(x),g1(x),g2,||Lgn(x))H1,则存在不可约多项式 p(x)(列p(x)): >0),使得 p(x)|fi(x),f2(x),川,fm(x)和p(x)|gi(x),g2(x),川,gn(x) 又因为p(x)不可约,故存在i,j,使得 p(x)|fi(x),p(x)|gj(x) 则有 (fi(x),gj(x))H1 这与条件矛盾,故 (f1(x),f2(x),III,fm(x),g1(x),g2,|||,gn(x))=1.问 例9证明: 如果(f(x),g(x))=1,那么(f(x)g(x),f(x)+g(x))=1。 解: 假设(f(x)g(x),f(x)+g(x))工1,则存在不可约多项式p(x)(6(p(x)): >0)使得 p(x)|f(x)g(x)和p(x)|(f(x)+g(x)) 又因为p(x)不可约,则有 p(x)|f(x)或p(X)Ig(x)。 不妨设p(x)|f(x),由p(x)|f(x)和p(x)|(f(x)+g(x))可得: p(x)|g(x) 所以,p(x)|f(x),p(x)|g(x)同时成立,即: (f(X),g(x))H1 这与条件矛盾,故有(f(x)g(x),f(x)+g(x))=1。 [11] 6.结论 本文通过相关资料的收集与整理,对有理数域上不可约多项式的判定方法做 了整理和归纳。 对一般的多项式给出了克罗内克(Kronecker)判别法、艾森斯坦(Eisenstein判别法、Perron判别法、Brown判别法、没有有理因式的判别法、 对于克罗内克 模P约化判别法(P为素数)。 其中艾森斯坦(Eisenstein判别法是最为经典实用的方法,也是现行课本中的判别法。 但有其一定的局限性。 (Kronecker)判别法,其大多依赖于计算机,实用不大。 Perron判别法和Brown判别法为国外引进方法,我国数学学者在其有一定的研究基础。 模P约化判别法(P为素数)是我国提出来的应用抽象代数知识对多项式进行模P约化处理,再研 在实际应用这 究多项式的性质而得到的有理数域上不可约多项式的判定方法。 些方法时,应根据题意选择判别法。 有理数域上不可约多项式的判定方法及分类是一个具有挑战性的课题。 一直以来,不乏学者对多项式的不可约性做过深入的研究。 但总的来说,暂时没有一个较为系统的介绍,其发展还不是很完善。 即使现在有理数域上不可约多项式的判定已有很多种方法,但还是期待着更加简便,更加实用的方法出现,以致于能把不可约多项式进行分类。
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