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双曲线解答题练习含答案
双曲线解答题练习
1.如图,在以点0为圆心,|AB|4为直径的半圆ADB中,ODAB,P是半圆弧上
一点,POB30,曲线C是满足||MA||MB||为定值的动点M的轨迹,且曲线
C过点P.
(I)建立适当的平面直角坐标系,求曲线C的方程;
(n)设过点D的直线I与曲线C相交于不同的两点E、F•若厶OEF的面积不小于2/2,求直线I斜率的取值范围.
2.双曲线的中心为原点0,焦点在x轴上,两条渐近线分别为h,J,经过右焦点F垂直
于h的直线分别交h,12于A,B两点.已知
uuu
uuu
uuu
OA、
AB
、
OB
uuruuu
成等差数列,且BF与FA
同向.
(I)求双曲线的离心率;
(n)设AB被双曲线所截得的线段的长为4,求双曲线的方程.
在,请说明理由.
rrr-
\\
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\\.弋\\、
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jf
jf
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jB
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x/
\
k\
V\
1\\
离为◎。
5
(1)求双曲线C的方程;
(2)如图,P是双曲线C上一点,A,B两点在双曲线C的两条渐近线上,且分别位于第一、二象限,若
uuuuuu1
APPB,[—,2],求AOB面积的取值范围
3
5.求一条渐近线方程是3x4y0,—个焦点是4,0的双曲线标准方程,并求此双曲线的离心率.(12分)
6•双曲线x2y2a2a0的两个焦点分别为Fi,F2,P为双曲线上任意一点,求证:
PF1、P0、pf2|成等比数列(0为坐标原点)•(12分)
7•已知动点P与双曲线X2—y2=1的两个焦点Fl,F2的距离之和为定值,且cos/F1PF2的最
1
小值为—3.
(1)求动点P的轨迹方程;
(2)设M(0,—1),若斜率为k(k用)的直线I与P点的轨迹交于不同的两点A、B,若要使|MA|=|MB|,试求k的取值范围.(12分)
&已知不论b取何实数,直线y=kx+b与双曲线x22y21总有公共点,试求实数k的取值范围•(12分)
x2y2
9•设双曲线C1的方程为—21(a0,b0),A、B为其左、右两个顶点,P是双曲
ab
线G上的任意一点,引QB丄PB,QA丄PAAQ与BQ交于点Q.
(1)求Q点的轨迹方程;
(2)设
(1)中所求轨迹为C2,G、C2
的离心率分别为e1、e2,当e12时,e2的取值范围(14分)
10•某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告:
正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响,正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4s.已知各观测点到该中心的
距离都是1020m.试确定该巨响发生的位置.(假定当时声音传播的速度为340m/s:
相关
各点均在同一平面上).(14分)
双曲线练习题答案
1.如图,在以点O为圆心,|AB|ODAB,P是半圆弧上一点,满足||MA||MB||为定值的动点
占p
八、、I■
(I)建立适当的平面直角坐标系,求曲线C的方程;
(H)设过点D的直线l与曲线C相交于不同的两点E、F.若厶OEF的面积不小于2应,求直线I斜率的取值范围.
解:
(I)以O为原点,ABOD所在直线分别为x轴、y轴,建立平面直角坐标系,则A(-2,
0),B(2,0),D(0,2),P(),依题意得
|MA|-|MB|=|PA|-|PB|=(2.3)212(2.3)212=2.2v|AB|=4.
•••曲线C是以原点为中心,A、B为焦点的双曲线
设实半轴长为a,虚半轴长为b,半焦距为c.
则c=2,2a=22,二a2=2,b2=c2-a2=2.
22
•••曲线C的方程为-y1.
22
|AB|=4.
•曲线C是以原点为中心,A、B为焦点的双曲线.
X-4kx-6=0.
1-k20
(4k)246(1k2)0
•k€(-3-1)u(-1,1)u(1,.3).
4k
设E(x,y),F(X2,y2),则由①式得X1+X2=b,X1X2
IEF|=.(xiX2)2(yiX2)2.(1
k2)(x1
X2)2
x2)24x1x2
1k2
223k2k2
而原点O到直线I
的距离
•SDEF=1dEF
2
2-1^2…2
223k2
22、3k2
1k2
1k2
若厶OEF面积不小于22,即Saoef2、2,则有
k2
223k22k4k220,解得2k、2
综合②、③知,直线I的斜率的取值范围为[-..2,-1]U(1-,1)U(1,..2).
得(1-K2)x2-4kx-6=0.
1-k20
22
(4k)46(1k)0
••••k€(-、.3,-1)U(-1,1)U(1,.3).
设曰Xi,yi),F(X2,y2),则由①式得
1
11
SODFSODE
OD
x1x2—ODx1x2
2
2
S^OEF=
当E、F在不同支上时(如图2所示).
当E、F在同一去上时(如图1所示),
2'2^3k2由IOD|=2及③式,得S^oef=
若厶OEF面积不小于
2、、2,即Soef22,则有
223k2
1k2
k4k20,解得2k
2.
综合②、④知,直线
I的斜率的取值范围为「2,
-1]U(-1,
1)
U(1,
2.(i)设OAm
d,ABm,OBmd
由勾股定理可得:
(m
d)2m2(md)2
得:
d-m,tanAOF
4
AOBtan2AOF
AB
OA
由倍角公式
2b
a
2
1匕
a
4
4,解得
3
(n)过F直线方程为
a(x
c),与双曲线方程
2
y_
1联立
将a2b,c..5b代入,化简有
15285
2XX
4bb
21
将数值代入,有4532'5b
\15
428/,解得b
22
故所求的双曲线方程为x—
369
3.解:
由条件知Fi(2,0),F2(2,0),设A(Xi,yi),
B(X2,
y2)-
(I)解法一:
(I)设M(x,y),则
uuuu
则FM(X2,
UJIT
y),FiA
(xi2
yi),
uur
F1B
nur
(X22,y2),FO(2,0),
UJUJT
FJM
urnruur
F1ARB
nur
FO得
2XiX26即
X1X2
4,
yiy2
yiy2
ab的中点坐标为
当AB不与x轴垂直时,
yiy2
xix
y
2
J2
2
即y1
y2
七(Xi
x8
X2)-
又因为A,B两点在双曲线上,所以
22
Xiyi
2
y2
2,两式相减得
(xiX2)(xiX2)(yiy2)(yiy?
),即(人
X2)(X
4)
(yiy2)y•
将yiy2—y(xix2)代入上式,化简得(x6)2
x8
当AB与x轴垂直时,x1x22,求得M(8,0),也满足上述方程.
x-ix4,
解法二:
同解法一的(I)有
YiY2y
当AB不与x轴垂直时,设直线AB的方程是
k(x2)(k
1)•
代入x2y22有(ik2)x24k2x
(4k2
2)
则Xi,X2是上述方程的两个实根,所以
XiX2
4k2
k2i
4k
k2i
由①②③得
4k2
k2i
4k
y厂
当k0时,
0,由④⑤得,
x4
k,将其代入⑤有
y
4—
yr
(X4)i
21
y
4y(x4)
22(X4)y
.整理得(x6)2y24.
当k0时,点M
的坐标为(4,0),满足上述方程.
当AB与x轴垂直时,
X-Ix2
2,求得M(8,0),也满足上述方程.
故点M的轨迹方程是(x6)2y24.
uuruuu
(II)假设在X轴上存在定点C(m,0),使CAgDB为常数.
1).
当AB不与x轴垂直时,设直线AB的方程是yk(x2)(k
代入x2y22有(ik2)x24k2x(4k22)0.
则Xi,X2是上述方程的两个实根,所以
X1x2
4k
XiX2
ki
4k22
k2i,
uuuuuu2
于是CAgCB(xim)(x2m)k(xi2)(X22)
2(12m)k2244m2
m2(12m)———m
k1
uurujuurnuur
因为CAgCB是与k无关的常数,所以44m0,即ml,此时CAgCB=1.
当AB与x轴垂直时,点A,B的坐标可分别设为(2,2),(2,2),
jjjjjj__
此时CAgCB(1,.2)g1,2)1.
uurjjj
故在x轴上存在定点C(1,0),使CAgCB为常数.
4.(I)由题意知,双曲线
C的顶点(0,
a)到渐近线ax
ab
25
c
5c
由c
a2
—得b1
a
2
2c
a2b2c一5
二所以
5
所以——空一:
賦b2
所以曲线C的方程是y
4
(n)设直线
AB的方程为
由题意知|k
2,m0
m得A点的坐标为(
m得B点的坐标为(
2
将P点的坐标代入—X2
4
设Q为直线AB与y轴的交点,则Q点的坐标为(0,
SAOB=SAOQSboq
by(的距离为255,
5.
22
9x216y2
,丁双曲线有一个焦点为(4,0),
6.
7.
8.
9.
双曲线方程化为:
2x
2
J1-
9
16
16
482
25
9
16
•双曲线方程为:
2x
2
y1
144
4e
16
5
256
4
25
25
(12分)[解析]:
设双曲线方程为:
(12分)[解析]:
易知b
则PF1
2
x
(12分)
[解析]:
a,c
•2a,e
2,准线方程:
xa,设Px,y,
•2(Xa2),PF2
2222
(xa)xy
a2),P。
PF1PF2
2(x2
a2
)
2
2x2a2
2
PO
PF1、PO卜PF?
成等比数列.
(1)Vx2-y2=1,二c=
2a2-4-1
|PF1||PF2|
丁|PFi||PF2|理
2|PF1||PF2|
2|PF1||PF2|
1凹土1P"1)2=a2,「.当且仅当|PF1|=|PF2|时,|PF1||PF2|取得最大值
2/-4■2aa—1-1=-£解得a2=3,b2a2
a2.
此时cos/F1PF2取得最小值
x2
P点的轨迹方程为3+y2=1.
3
⑵设l:
y=kx+m(k^0),则由,
设A(X1,y1),B(x2,y2),
3kmm
即Q(2,2)
1+3k21+3k2
m“
1+3k2+
•klkAB=k3km="
-1+3k2
a2
2
x
3
y
则AB中点
1,由题意
kx
c2321
①将②代入①得:
(1+3k2)严6kmx+3(m2-1)=0(*)
X1+X2-3km
Q(xo,yo)的坐标满足:
xo=
.,m
2=1+3k2,y0=kx°+m=1+3k2
•/|MA|=|MB|,二M在AB的中垂线上,
1_L3k2
1,解得m=—2—••③
又由于(*)式有两个实数根,知△>
0,
即(6km)2-4(1+3k2)[3(m2-1)]=12(1+3k2-m2)>01+3k2
12[1+3k2-
(2)2]>0,解得一1 ④,将③代入④得 k的取值范围是k€(-1,0)U(0, 1). ykxb 22 x2y1消去y得(2k2-1)x2+4kbx+(2b2+1)=0,2b1,不合题意. 2.2b (12分)[解析]: 联立方程组 I_ 0,即k-时,若b=0,则k;若b0x 2 2时依题意有厶=(4kb)2— 2, 2k2 2k2 0,即k 4(2k2-1)(2b2+1)>0,2k22b2 1对所有实数 2k2(2b21)min•-2k2<1,得— (14分)[解析]: (1)解法一: 设P(x0,y0),Q(x,y) 经检验点(a,0),(a,0)不合,因此Q点的轨迹方程为解法二: 设P(x0,y0),Q(x,y),•/PA丄QA •y°-^―1…… (1)连接PQ,取PQ中点R, x0axa b恒成立, : a2x2-b2y2=a4(除点 (a 10.(14分)[解析]: 以接报中心为原点。 ,正东、正北方向为x轴、y轴正向建立直角坐标系.设A、B、 C分别是西、东、北观测点,则A(-1020,0),B(1020,0),C(0,1020) 设P(xy)为巨响为生点,由A、C同时听到巨响声,得|PA|=|PB|,故P在AC的垂直平分线PO上, PO的方程为y=—X,因B点比A点晚4s听到爆炸声,故|PB|-|PA|=340X4=1360 22 由双曲线定义知P点在以A、B为焦点的双曲线xy1上,依题意得a=680,c=1020, 7b^1 即P(680.5,680: 5),故PO680、10,答: 巨响发生在接报中心的西偏北45°距中心680.10m处.
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