七年级数学下册 春季课程 第一讲 相交线试题 新版新人教版.docx
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七年级数学下册春季课程第一讲相交线试题新版新人教版
第一讲相交线
课程目标
1.了解两直线相交所成的角的位置和大小关系,理解邻补角和对顶角概念,掌握对顶角的性质;
2.理解点到直线的距离的概念,掌握垂直的定义及性质;
3.了解“三线八角”模型特征;掌握同位角、内错角、同旁内角的概念,并能从图形中识别它们.
课程重点
能依据对顶角、邻补角及垂直的概念与性质,进行简单的计算.
课程难点
同位角、内错角、同旁内角的概念,并能从图形中识别它们.
一、知识梳理:
考点1邻补角与对顶角
1.邻补角:
如果两个角有一条公共边,并且它们的另一边互为反向延长线,那么具有这种关系的两个角叫做互为邻补角.
要点诠释:
(1)邻补角的定义既包含了位置关系,又包含了数量关系:
“邻”指的是位置相邻,“补”指的是两个角的和为180°.
(2)邻补角是成对出现的,而且是“互为”邻补角.
(3)互为邻补角的两个角一定互补,但互补的两个角不一定互为邻补角.
(4)邻补角满足的条件:
①有公共顶点;②有一条公共边;另一边互为反向延长线.
2.对顶角及性质:
(1)定义:
由两条直线相交构成的四个角中,有公共顶点没有公共边(相对)的两个角,互为对顶角.
(2)性质:
对顶角相等.
要点诠释:
(1)由定义可知只有两条直线相交时,才能产生对顶角.
(2)对顶角满足的条件:
①相等的两个角;
②有公共顶点且一角的两边是另一角两边的反向延长线.
3.邻补角与对顶角对比:
角的名称
特征
性质
相同点
不同点
对顶角
①两条直线相交形成的角
②有一个公共顶点;
③没有公共边.
对顶角相等.
①都是两条直线相交而成的角;
②都有一个公共顶点;
③都是成对出现的.
①有无公共边;
②两直线相交时,对顶角只有2对;邻补角有4对.
邻补角
①两条直线相交而成;
②有一个公共顶点;
③有一条公共边.
邻补角互补.
考点2垂线
1.垂线的定义:
两条直线相交所成的四个角中,有一个角是直角时,就说这两条直线互相垂直,其中一条直线叫做另一条直线的垂线,它们的交点叫垂足.
要点诠释:
(1)记法:
直线a与b垂直,记作:
;
直线AB和CD垂直于点O,记作:
AB⊥CD于点O.
(2)垂直的定义具有二重性,既可以作垂直的判定,又可以作垂直的性质,即有:
2.垂线的画法:
过一点画已知直线的垂线,可通过直角三角板来画,具体方法是使直角三角板的一条直角边和已知直线重合,沿直线左右移动三角板,使另一条直角边经过已知点,沿此直角边画直线,则所画直线就为已知直线的垂线(如图所示).
要点诠释:
(1)如果过一点画已知射线或线段的垂线时,指的是它所在直线的垂线,垂足可能在射线的反向延长线上,也可能在线段的延长线上.
(2)过直线外一点作已知直线的垂线,这点与垂足间的线段为垂线段.
3.垂线的性质:
(1)在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
(2)连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短.简单说成:
垂线段最短.
要点诠释:
(1)性质
(1)成立的前提是在“同一平面内”,“有”表示存在,“只有”表示唯一,“有且只有”说明了垂线的存在性和唯一性.
(2)性质
(2)是“连接直线外一点和直线上各点的所有线段中,垂线段最短.”实际上,连接直线外一点和直线上各点的线段有无数条,但只有一条最短,即垂线段最短.在实际问题中经常应用其“最短性”解决问题.
4.点到直线的距离:
定义:
直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫做点到直线的距离.
要点诠释:
(1)点到直线的距离是垂线段的长度,是一个数量,不能说垂线段是距离;
(2)求点到直线的距离时,要从已知条件中找出垂线段或画出垂线段,然后计算或度量垂线段的长度.
考点3同位角、内错角、同旁内角的概念
1.“三线八角”模型
如图,直线AB、CD与直线EF相交(或者说两条直线AB、CD被第三条直线EF所截),构成八个角,简称为“三线八角”,如图1.
图1
要点诠释:
⑴两条直线AB,CD与同一条直线EF相交.
⑵“三线八角”中的每个角是由截线与一条被截线相交而成.
2.同位角、内错角、同旁内角的定义
在“三线八角”中,如上图1,
(1)同位角:
像∠1与∠5,这两个角分别在直线AB、CD的同一方,并且都在直线EF的同侧,具有这种位置关系的一对角叫做同位角.
(2)内错角:
像∠3与∠5,这两个角都在直线AB、CD之间,并且在直线EF的两侧,像这样的一对角叫做内错角.
(3)同旁内角:
像∠3和∠6都在直线AB、CD之间,并且在直线EF的同一旁,像这样的一对角叫做同旁内角.
要点诠释:
(1)“三线八角”是指上面四个角中的一个角与下面四个角中的一个角之间的关系,显然是没有公共顶点的两个角.
(2)“三线八角”中共有4对同位角,2对内错角,2对同旁内角.
考点4同位角、内错角、同旁内角位置特征及形状特征
要点诠释:
巧妙识别三线八角的两种方法:
(1)巧记口诀来识别:
一看三线,二找截线,三查位置来分辨.
(2)借助方位来识别
根据这三种角的位置关系,我们可以在图形中标出方位,判断时依方位来识别,如图2.
二、课堂精讲:
(一)对顶角和邻补角的概念与性质
例1.
(1)下面四个图形中,∠1与∠2是对顶角的图形的个数是()
A.0B.1C.2D.3
(2)已知∠1与∠2是邻补角,∠2是∠3的邻补角,那么∠1与∠3的关系是().
A、对顶角B、相等但不是对顶角C、邻补角D、互补但不是邻补角
【随堂演练一】【A类】
1、下列语句错误的有()个.
(1)两个角的两边分别在同一条直线上,这两个角互为对顶角
(2)有公共顶点并且相等的两个角是对顶角
(3)如果两个角相等,那么这两个角互补
(4)如果两个角不相等,那么这两个角不是对顶角
A、1B、2C、3D、4
2、如图,直线AB、CD相交于点O,∠1=∠2.则∠1的对顶角是_____,∠4的邻补角是______.∠2的补角是_________.
【B类】
3、如图所示,AB和CD相交于点O,OM平分∠AOC,ON平分∠BOD,试说明OM和ON成一条直线。
4、如图所示,已知直线AB、CD相交于点O,OE平分∠BOD,OF平分∠COE,∠2:
∠1=4:
l,求.
(二)垂线
例2.
(1)下列语句:
其中正确的是_________
①两条直线相交,若其中一个交角是直角,那么这两条直线垂直。
②一条直线的垂线有无数条。
③过一点有且只有一条直线与已知直线垂直;
④两条直线相交成四个角,如果有两个角相等,那么这两条直线垂直。
(2)点P为直线外一点:
点A、B、C为直线上三点,PA=4cm,PB=5cm,PC=2cm,则点P到直线的距离是()
A.2cmB.4cmC.5cmD.不超过2cm
【总结升华】应用垂线的定义及垂线的性质时要把握其中的本质要求:
①关于垂线的定义:
要判断两条直线是否垂直,只需看它们相交所成的四个角中,是否有一个角是直角,两条线段垂直,是指这两条线段所在的直线垂直;
②关于垂线的性质:
平面内,过任意一点有且仅有一条直线与已知直线垂直,这条性质说明了已知直线的垂线的“存在性”和“唯一性”,尤其值得注意的是性质中的“任意一点”可能在这条已知直线上,也可能在这条已知直线外。
【随堂演练二】【A类】
1、下列说法中正确的是()
A.有且只有一条直线垂直于已知直线。
B.从直线外一点到这条直线的垂线段,叫做这点到这条直线的距离。
C.互相垂直的两条直线一定相交。
D.直线c外一点A与直线c上各点连接而成的所有线段中,最短线段的长是3cm,则点A到直线c的距离是3cm。
2、点到直线的距离是指这点到这条直线的()
A、垂线段B、垂线的长C、长度D、垂线段的长
3、如图,∠1=30°,AB⊥CD,垂足为O,EF经过点O.求∠2、∠3的度数.
【B类】
4、如图,若OM平分∠AOB,且OM⊥ON,求证:
ON平分∠BOC.
(三)同位角、内错角、同旁内角的辨别
例3.如图,
(1)DE为截线,∠E与哪个角是同位角?
(2)∠B与∠4是同旁内角,则截出这两个角的截线与被截线是哪些直线?
(3)∠B和∠E是同位角吗?
为什么?
【总结升华】确定角的关系的方法:
(1)先找出截线,由截线与其它线相交得到的角有哪几个;
(2)将这几个角抽出来,观察分析它们的位置关系;(3)再取其它的线为截线,再抽取与该截线相关的角来分析.
【随堂演练三】【A类】
1、下列图形中,∠1和∠2不是同位角的是( )
A.B.C.D.
【总结升华】要分析各对角是由哪两条直线被哪一条直线所截的,可以把复杂图形按题目要求分解成简单的图形后,结论便一目了然.
【B类】
2、如图∠1、∠2、∠3、∠4、∠5中,哪些是同位角?
哪些是内错角?
哪些是同旁内角?
3、分别指出下列图中的同位角、内错角、同旁内角.
三.小结:
1、对顶角是成对出现的,对顶角是具有特殊位置关系的两个角;
2、如果∠α与∠β是对顶角,那么一定有∠α=∠β;反之如果∠α=∠β,那么∠α与∠β不一定是对顶角
3、如果∠α与∠β互为邻补角,则一定有∠α+∠β=180°;反之如果∠α+∠β=180°,则∠α与∠β不一定是邻补角。
4、两直线相交形成的四个角中,每一个角的邻补角有两个,而对顶角只有一个。
5、两直线相交所成的四个角中,如果有一个角是直角,那么就称这两条直线相互垂直;垂线的性质:
⑴过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
⑵连接直线外一点与直线上各点的所在线段中,垂线段最短。
6、在复杂图形中,分析同位角、内错角、同旁内角,应把图形分解成几个“两条直线与同一条直线相交”的图形,并抽取交点处的角来分析.
四、课堂练习
1、已知:
如图,直线a、b、c两两相交,且a⊥b,∠1=2∠3,,求∠4的度数.
2、如图,107国道上有一个出口M,想在附近公路旁建一个加油站,欲使通道最短,应沿怎样的线路施工?
3、直线AB、CD相交于点O,OE⊥AB于点O,∠COE=40°,求∠BOD的度数
4、如图所示,O是直线AB上一点,射线OC、OD在AB的两侧,且∠AOC=∠BOD,试证明∠AOC与∠BOD是对顶角.
五、课后巩固练习
【A类】
一、选择题
1.a、b、c是平面上任意三条直线,交点可以有()
A.1个或2个或3个B.0个或1个或2个或3个
C.1个或2个D.都不对
2.下列说法正确的有()
①因为∠1与∠2是对顶角,所以∠1=∠2;
②因为∠1与∠2是邻补角,所以∠1=∠2;
③因为∠1和∠2不是对顶角,所以∠1≠∠2;
④因为∠1和∠2不是邻补角,所以∠1+∠2≠180°.
A.0个B.1个C.2个D.3个
3.如图,∠PQR=138°,SQ⊥QR,QT⊥PQ,则∠SQT等于()
A.42°B.64°C.48°D.24°
4.已知关于距离的四种说法:
①连结两点的线段长度叫做两点间的距离;
②连结直线外的点和直线上的点的线段叫做点到直线的距离;
③以直线外一点所引的这条直线的垂线叫做点到直线的距离;
④直线外一点到这条直线的垂线段叫做这点到直线的距离.
其中正确命题的个数()
A.0个B.1个C.2个D.3个
5.已知图
(1)—(4):
在上述四个图中,∠1与∠2是同位角的有().
A.
(1)
(2)(3)(4)B.
(1)
(2)(3)C.
(1)(3)D.
(1)
6.如图,下列结论正确的是().
A.∠5与∠2是对顶角;B.∠1与∠3是同位角;
C.∠2与∠3是同旁内角;D.∠1与∠2是同旁内角.
7.在图中,∠1与∠2不是同旁内角的是().
【B类】
1.如图,直线AD、BC被直线AC所截,则∠1和∠2是().
A.内错角B.同位角C.同旁内角D.对顶角
2.如图,能与构成同位角的有().
A.4个B.3个C.2个D.1个
3.如图,下列说法错误的是().
①∠1和∠3是同位角;②∠1和∠5是同位角;
③∠1和∠2是同旁内角;④∠1和∠4是内错角.
A.①②B.②③C.②④D.③④
4.如图,∠1和∠2是内错角,可看成是由直线().
A.AD,BC被AC所截构成B.AB,CD被AC所截构成
C.AB,CD被AD所截构成D.AB,CD被BC所截构成
5.如图所示,OA⊥OB,OC⊥OD,OE为∠BOD的平分线,∠BOE=17°.求∠AOC的度数.
【C类】
1、如图,
(1)∠1和∠ABC是直线AB、CE被直线________所截得的________角;
(2)∠2和∠BAC是直线CE、AB被直线________所截得的________角;
(3)∠3和∠ABC是直线________、________被直线________所截得的________角;
(4)∠ABC和∠ACD是直线________、________被直线所截得的________角;
(5)∠ABC和∠BCE是直线________、________被直线所截得的________角.
2.如图,已知A、O、B三点在一直线上,∠AOC=120°,OD、OE分别是∠AOC,
∠BOC的平分线.
(1)判断OD与OE的位置关系;
(2)当∠AOC大小发生变化时,OD、OE仍分别是∠AOC、∠BOC的平分线,则OD与OE的位置关系是否改变?
请说明理由.
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