全等三角形经典辅助线做法汇总.docx
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全等三角形经典辅助线做法汇总
全等三角形问题中常见的辅助线的作法(有答案)
总论:
全等三角形问题最主要的是构造全等三角形,构造二条边之间的相等,构造二个角之
间的相等
【三角形辅助线做法】
图中有角平分线,可向两边作垂线。
角平分线平行线,等腰三角形来添。
线段垂直平分线,常向两端把线连。
三角形中两中点,连接则成中位线。
也可将图对折看,对称以后关系现。
角平分线加垂线,三线合一试试看。
要证线段倍与半,延长缩短可试验。
三角形中有中线,延长中线等中线。
1.等腰三角形“三线合一”法:
遇到等腰三角形,可作底边上的高,利用“三线
合一”的性质解题
2.倍长中线:
倍长中线,使延长线段与原中线长相等,构造全等三角形
3.角平分线在三种添辅助线
4.垂直平分线联结线段两端
5.用“截长法”或“补短法”:
遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长,
6.图形补全法:
有一个角为60度或120度的把该角添线后构成等边三角形7.角度数为30、60度的作垂线法:
遇到三角形中的一个角为30度或60度,可以从角一边上一点向角的另一边作垂线,目的是构成30-60-90的特殊直角三角形,然后计算边的长度与角的度数,这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。
从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。
8.计算数值法:
遇到等腰直角三角形,正方形时,或30-60-90的特殊直角三角形,
或40-60-80的特殊直角三角形,常计算边的长度与角的度数,这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角,从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。
常见辅助线的作法有以下几种:
最主要的是构造全等三角形,构造二条边之间的相等,二个角之间的相等。
1)遇到等腰三角形,可作底边上的高,利用“三线合一”的性质解题,思维模式是全等变
换中的“对折”法构造全等三角形
2)遇到三角形的中线,倍长中线,使延长线段与原中线长相等,构造全等三角形,利用的思维模式是全等变换中的“旋转”法构造全等三角形.
3)遇到角平分线在三种添辅助线的方法
4)
(1)可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线,利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”,所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理.
(2)可以在角平
分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交,形成一对全等三角形。
(3)可以
在该角的两边上,距离角的顶点相等长度的位置上截取二点,然后从这两点再向角平分线上的某点作边线,构造一对全等三角形。
5)过图形上某一点作特定的平分线,构造全等三角形,利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”
6)截长法与补短法,具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等,或是将某条线段延长,是之与特定线段相等,再利用三角形全等的有关性质加以说明.这种作法,适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目.
7)已知某线段的垂直平分线,那么可以在垂直平分线上的某点向该线段的两个端点作连线,出一对全等三角形。
特殊方法:
在求有关三角形的定值一类的问题时,常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来,利用三角形面积的知识解答.
一、倍长中线(线段)造全等
例1、(“希望杯”试题)已知,如图△ABC中,AB=5,AC=3,则中线AD的取值范围是
例2、如图,△ABC中,E、F分别在AB、AC上,DE丄DF,D是中点,试比较BE+CF
与EF的大小.
例3、如图,△ABC中,BD=DC=AC,E是DC的中点,求证:
AD平分/BAE.
(一)中线倍长法:
例1、求证:
三角形一边上的中线小于其他两边和的一半。
1
已知:
如图,△ABC中,AD是BC边上的中线,求证:
AD<-(AB+AC)
2
1
分析:
要证明AD<-(AB+AC),就是证明AB+AO2AD,也就是证明两条线
2
段之和大于第三条线段,而我们只能用“三角形两边之和大于第三边”,但题中的三条线段共点,没有构成一个三角形,不能用三角形三边关系定理,因此应该进行转化。
待证结论AB+AO2AD中,出现了2AD,即中线AD应该加倍。
证明:
延长AD至E,使DE=AD,连CE,贝UAE=2AD。
在厶ADB和厶EDC中,
•••△ADB◎△EDC(SAS)
•••AB=CE
又在厶ACE中,
AC+CE>AE
1
•••AC+AB>2AD,即AD<-(AB+AC)2
小结:
(1)涉及三角形中线问题时,常采用延长中线一倍的办法,即中线倍长法它可以将分居中线两旁的两条边AB、AC和两个角/BAD和/CAD集中于同
一个三角形中,以利于问题的获解
课题练习:
ABC中,AD是BAC的平分线,且BD=CD,求证AB=AC
例4:
已知在厶ABC中,AB=AC,D在AB上,E在AC的延长线上,
且DF=EF,求证:
BD=CE
课堂练习:
已知在△ABC中,AD是BC边上的中线,E是AD上一点,且BE=AC,延长
BE交AC于F,求证:
AF=EF
例5:
已知:
如图,在ABC中,ABAC,D、E在BC上,且DE=EC,过D作DF//BA交AE于点F,DF=AC.
求证:
AE平分BAC
课堂练习:
已知
CD=AB,/BDA=/BAD,AE是厶ABD的中线,求证:
/C=/BAE
A
作业:
1、在四边形ABCD中,AB//DC,E为BC边的中点,/BAE=/EAF,AF与DC的延长线相交于点F。
试探究线段AB与AF、CF之间的数量关系,并证明你的结论
4:
已知CD=AB,/BDA=/BAD,AE是厶ABD的中线,求证:
/C=/BAE
A
B
5、在四边形ABCD中,AB//DC,E为BC边的中点,/BAE=/EAF,AF与DC的延长线相交于点F。
试探究线段AB与AF、CF之间的数量关系,并证明你的结论
B
E
F
应用:
1、(09崇文二模)以ABC的两边ab、ac为腰分别向外作等腰RtABD和等腰
RtACE,BADCAE90,连接DE,M、N分别是BC、DE的中点.探究:
AM与DE的位置关系及数量关系.
(1)如图①当ABC为直角三角形时,AM与DE的位置关系是,
线段AM与DE的数量关系是;
(2)将图①中的等腰RtABD绕点a沿逆时针方向旋转(0<<90)后,如图②所示,
(1)问中得到的两个结论是否发生改变?
并说明理由.
二、截长补短
1、如图,ABC中,AB=2AC,AD平分BAC,且AD=BD,求证:
CD丄AC
求证:
AC180°
5、如图在厶ABC中,AB>AC,/1=Z2,P为AD上任意一点,求证;AB-AC>PB-PC
已知,如图1-1,在四边形ABCD中,BC>AB,AD=DC,BD平分/ABC.
求证:
/BAD+/BCD=180°.
分析:
因为平角等于180°,因而应考虑把两个不在一起的通过全等转化成为平角,图中缺少全等的三角形,因而解题的关键在于构造直角三角形,可通过“截长补短法”来实现•
图E-1
证明:
过点D作DE垂直BA的延长线于点E,作DF丄BC于点F,如图1-2
•/BD平分/ABC,•••DE=DF,
在Rt△ADE与Rt△CDF中,
DEDF
ADCD
•Rt△ADE也Rt△CDF(HL),•••/DAE=/DCF.
又/BAD+/DAE=180°,•/BAD+/DCF=180
即/BAD+/BCD=180
例1.如图2-1,AD//BC,点E在线段AB上,/ADE=/CDE,/DCE=
/ECB.
求证:
CD=AD+BC.
例2.已知,如图3-1,/1=/2,P为BN上一点,且PD丄BC于点D,AB+BC=2BD.
求证:
/BAP+/BCP=180°.
图3-1
例3.已知:
如图4-1,在△ABC中,/C=2/B,/1=/2.
求证:
AB=AC+CD.
图4-1
作业:
1、已知:
如图,ABCD是正方形,/FAD=/FAE.求证:
BE+DF=AE.
2、五边形ABCDE中,AB=AE,BC+DE=CD,/ABC+/AED=180°,求证:
AD平
分/CDE
应用:
如虱在四边JgAHCD中*仞〃肌\点F是AB上一个齒点•若£B=60%4J3=BC,R£D試=60\判断""E与BC的关系井8E期你的结论.-
、平移变换
例1AD为厶ABC的角平分线,直线MN丄AD于A.E为MN上一点,△ABC周长记
为PA,△EBC周长记为Pb.求证Pb>FA.
例2如图,在△ABC的边上取两点D、E,且BD=CE,求证:
AB+AOAD+AE.
四、借助角平分线造全等
1、如图,已知在厶ABC中,/B=60
OE=OD
△ABC的角平分线AD,CE相交于点O,求证:
2、如图,△ABC中,AD平分/BAC,DG丄BC且平分BC,DE丄AB于E,DF丄AC于F.
(1)说明BE=CF的理由;
(2)如果AB=a,AC=b,求AE、BE的长.
应用:
1、如图①,OP是/MON的平分线,请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。
请你参考这个作全等三角形的方法,解答下列问题:
(1)如图②,
/BCA
关系;
(2)如图③,
在厶ABC中,/ACB是直角,/B=60°,AD、CE分别是/BAC、的平分线,AD、CE相交于点F。
请你判断并写出FE与FD之间的数量
在厶ABC中,如果/ACB不是直角,而
(1)中的其它条件不变,请问,
你在
(1)中所得结论是否仍然成立?
若成立,请证明;
B
五、旋转
例1正方形ABCD中,E为BC上的一点,F为CD上的一点,BE+DF=EF,求/EAF
分别交BC,CA于点E,F。
的度数•
例2D为等腰RtABC斜边AB的中点,DM丄DN,DM,DN
(1)当MDN绕点D转动时,求证DE=DF。
(2)若AB=2,求四边形DECF的面积。
例3如图,ABC是边长为3的等边三角形,BDC是等腰三角形,且BDC1200,
以D为顶点做一个600角,使其两边分别交AB于点M,交AC于点N,连接MN,则AMN
的周长为;
应用:
1、已知四边形ABCD中,ABAD,BCCD,ABBC,/ABC120o,
ZMBN60°,/MBN绕B点旋转,它的两边分别交AD,DC(或它们的延长线)
于E,F.
当ZMBN绕B点旋转到AECF时(如图1),易证AECFEF.
当ZMBN绕B点旋转到AECF时,在图2和图3这两种情况下,上述结论是否成立?
若成立,请给予证明;若不成立,线段AE,CF,EF又有怎样的数量关系?
请写出你的猜想,不需证明.
2、(西城09年一模)已知:
PA=2,PB=4,以AB为一边作正方形ABCD,使P、D两点
落在直线AB的两侧.
(1)如图,当/APB=45°时,求AB及PD的长;
(2)
当/APB变化,且其它条件不变时,求PD的最大值,及相应/APB的大小.
(3)
(II)如图2,点M、N边AB、AC上,且当DMDN时,猜想(I)问的两个结论还成立吗?
写出你的猜想并加以证明;
(III)如图3,当M、N分别在边AB、CA的延长线上时,
若AN=X,贝UQ=(用x、L表示).
(三)其它几种常见的形式:
1、有角平分线时,通常在角的两边截取相等的线段,构造全等三角形。
例:
如图1:
已知ADABC的中线,且/1=/2,/3=/
4,求证:
BE+CF>EF。
2、有以线段中点为端点的线段时,常延长加倍此线段,构造全等三角形。
例:
:
如图2:
ADABC的中线,且/1=/2,/3=/4,求证:
BE+CF>EF
练习:
已知△ABC,AD是BC边上的中线,分别以AB边、AC边为直角
边各向形外作等腰直角三角形,如图4,求证EF=2AD
3、延长已知边构造三角形:
例如:
如图6:
已知AC=BD,AD丄AC于A,BC丄BD于B,求证:
AD=BC
4、连接四边形的对角线,把四边形的问题转化成为三角形来解
决。
例如:
如图7:
AB//CD,AD//BC求证:
AB=CD。
5、有和角平分线垂直的线段时,通常把这条线段延长。
例如:
如图8:
在Rt△ABC中,AB=AC,/BAC=90。
,/1=/2,CE丄BD的延长于E。
求证:
BD=2CE
6连接已知点,构造全等三角形。
例如:
已知:
如图9;AC、BD相交于0点,且AB=DC,AC=BD,求证:
/A=/Do
九、取线段中点构造全等三有形。
例如:
如图10:
AB=DC,/A=ZD求证:
/ABC=/DCB。
参考答案与提示
一、倍长中线(线段)造全等
例1、(“希望杯”试题)已知,如图△ABC中,AB=5,AC=3,则中线AD的取值范围是
解:
延长AD至E使AE=2AD,连BE,由三角形性质知
AB-BE<2AD 例2、如图,△ABC中,E、F分别在AB、AC上,DE丄DF,D是中点,试比较BE+CF与EF的大小. 解: (倍长中线,等腰三角形“三线合一”法)延长FD至G使FG=2EF,连BG,EG, 显然BG=FC, 在厶EFG中,注意到DE丄DF,由等腰三角形的三线合一知 EG=EF 在厶BEG中,由三角形性质知 EG 故: EF 例3、如图,△ABC中,BD=DC=AC,E是DC的中点,求证: AD平分/BAE. 解: 延长AE至G使AG=2AE,连BG,DG, 显然DG=AC,/GDC=/ACD 由于DC=AC,故/ADC=/DAC 在厶ADB与厶ADG中, BD=AC=DG,AD=AD, /ADB=/ADC+/ACD=/ADC+/GDC=ZADG 故厶ADB◎△ADG,故有/BAD=/DAG,即AD平分/BAE 应用: 与DE的位置关系及数量关系. (1)如图①当ABC为直角三角形时,AM与DE的位置关系是 线段AM与DE的数量关系是 (1)问中得到的两个结论是否发生改变? 并说明理由. 解: (1)ED2AM,证明: 延长AM到G, •ACBG,ABG 又•••DAEBAC180 ABGDAE 再证: DAEABG 延长MN交DE于H •/BAGDAH90 •••HDADAH90 •••AMED (2)结论仍然成立. 证明: 如图,延长CA至F,使ACFA,FA交DE于点P,并连接BF DABA, EAAF BAF90 DAF EAD 在FAB和 EAD中 FAAE BAFEAD BADA •FABEAD(SAS) •BFDE,FAEN •FPDFAPEAEN90 •FBDE 又•••CAAF,CM MB •AM//FB,且AM 1FB 2 •AMDE,AM-DE 2 二、截长补短 1、如图,ABC中,AB=2AC,AD平分BAC,且AD=BD,求证: CD丄AC解: (截长法)在AB上取中点F,连FD △ADB是等腰三角形,F是底AB中点,由三线合一知 DF丄AB,故/AFD=90° △ADF◎△ADC(SAS) /ACD=ZAFD=90。 即: CD丄AC 2、如图,AD//BC,EA,EB 解: (截长法)在AB上取点 △ADE◎△AFE(SAS) /ADE=ZAFE, /ADE+/BCE=180° /AFE+/BFE=180° 故/ECB=ZEFB △FBECBE(AAS) 故有BF=BC 从而;AB=AD+BC 4、如图,在四边形ABCD中,BC>BA,AD=CD,BD平分ABC, 求证: AC1800 解: (补短法)延长BA至F,使BF=BC,连FD △BDF◎△BDC(SAS) 故/DFB=ZDCB,FD=DC 又AD=CD 故在等腰厶BFD中 /DFB=ZDAF 故有/BAD+/BCD=180° 5、如图在厶ABC中,AB>AC,/1=Z2,P为AD上任意一点,求证;AB-AC>PB-PC 解: (补短法)延长AC至F,使AF=AB,连PD △ABP◎△AFP(SAS) 故BP=PF 由三角形性质知 PB—PC=PF—PC 应用: 如圏,在四边隠AlfCD中血算点巨是AB上一个动点.若Z.B=60%^=^,B£DEC斷初"E与的关系并还明傑的结琵• A.E为MN上一点,△ABC周长记为FA,△EBC周长记为Pb.求证FB>Pa. 解: (镜面反射法)延长BA至F,使AF=AC,连FE ADABC的角平分线,MN丄AD 知/FAE=ZCAE 故有 △FAE◎△CAE(SAS) 故EF=CE 在厶BEF中有: BE+EF>BF=BA+AF=BA+AC 从而Pb=BE+CE+BC>BF+BC=BA+AC+BC=Pa 例2如图,在△ABC的边上取两点D、E,且BD=CE,求证: AB+AC>AD+AE. 证明: 取BC中点M,连AM并延长至N,使MN=AM,连BN,DN. •••BD=CE, •••DM=EM, •••△DMNEMA(SAS), •••DN=AE, 同理BN=CA. 延长ND交AB于P,贝UBN+BP>PN,DP+PA>AD,相加得BN+BP+DP+PA>PN+AD, 各减去DP,得BN+AB>DN+AD, AB+AC>AD+AE 四、借助角平分线造全等 1、如图,已知在厶ABC中,/B=60°,△ABC的角平分线AD,CE相交于点0,求证: 贝U/OAC+/OCA=60度=/AOE=/COD; /AOC=120度. 在AC上截取线段AF=AE,连接OF.又AO=AO;/OAE=/OAF .则/OAEOAF(SAS), OE=OF;AE=AF; /AOF=/AOE=60度. 贝U/COF=/AOC-/AOF=60度=/COD;又CO=CO;/OCD=/OCF. 故/OCD也AOCF(SAS),OD=OF;CD=CF. OE=OD DC+AE=CF+AF=AC. 2、如图,△ABC中,AD平分/BAC,DG丄BC且平分BC,DE丄AB于E,DF丄AC 于F. (1)说明BE=CF的理由; (2)如果AB=a,AC=b,求AE、BE的长. 解: (垂直平分线联结线段两端)连接BD,DC DG垂直平分BC,故BD=DC 由于AD平分/BAC,DE丄AB于E,DF丄AC于F,故有 ED=DF 故RT△DBE也RT△DFC(HL) 故有BE=CF。 AB+AC=2AE AE=(a+b)/2 BE=(a-b)/2 应用: 1、如图①,0P是/MON的平分线,请你利用该图形画一对以0P所在直线为对称轴的全等三角形。 请你参考这个作全等三角形的方法,解答下列问题: (1)如图②, /BCA 关系; 在厶ABC中,/ACB是直角,/B=60°,AD、CE分别是/BAC、的平分线,AD、CE相交于点F。 请你判断并写出FE与FD之间的数量 在厶ABC中,如果/ACB不是直角,而 (1)中的其它条件不变,请问, (2)如图③, 解: (1)FE与FD之间的数量关系为FEFD (2)答: (1)中的结论FEFD仍然成立。 证法一: 如图1,在AC上截取AGAE,连结FG •••12,AF为公共边, •••AEFAGF •••AFEAFG,FEFG •/B60,AD、CE分别是BAC、BCA的平分线 •2360 • AFECFDAFG60 CFG60 34及FC为公共边 CFGCFD •••FGFD •••FEFD 证法二: 如图2,过点F分别作FGAB于点G,FHBC于点H BCA的平分线 •/B60,AD、CE分别是BAC、 •可得2360,F是ABC的内心 •GEF601,FHFG 又•••HDFB1 •GEFHDF •可证EGFDHF •FEFD 五、旋转 例1正方形ABCD中,E为BC上的一点,F为CD上的一点,BE+DF=EF,求/EAF 的度数• 证明: 将三角形ADF绕点A顺时针旋转90度,至三角形ABG 贝UGE=GB+BE=DF+BE=EF 又AE=AE,AF=AG, 所以三角形AEF全等于AEG 所以/EAF=/GAE=/BAE+/GAB=/BAE+/DAF 又/EAF+/BAE+/DAF=90 所以/EAF=45度 例2D为等腰RtABC斜边AB的中点,DM丄DN,DM,DN分别交BC,CA于点E,F。 ⑴当MDN绕点D转动时,求证DE=DF。 (2)若AB=2,求四边形DECF的面积。 解: (计算数值法) (1)连接DC, D为等腰RtABC斜边AB的中点,故有CD丄AB,CD=DA CD平分/BCA=90
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