高三一轮复习热点题型99课时2范围最值问题1.docx
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高三一轮复习热点题型99课时2范围最值问题1
课时2 范围、最值问题
题型一 范围问题
例1 (2015·天津)已知椭圆+=1(a>b>0)的左焦点为F(-c,0),离心率为,点M在椭圆上且位于第一象限,直线FM被圆x2+y2=截得的线段的长为c,|FM|=.
(1)求直线FM的斜率;
(2)求椭圆的方程;
(3)设动点P在椭圆上,若直线FP的斜率大于,求直线OP(O为原点)的斜率的取值范围.
解
(1)由已知有=,
又由a2=b2+c2,可得a2=3c2,b2=2c2.
设直线FM的斜率为k(k>0),F(-c,0),则直线FM的方程为y=k(x+c).
由已知,有2+2=2,
解得k=.
(2)由
(1)得椭圆方程为+=1,直线FM的方程为y=(x+c),两个方程联立,消去y,整理得3x2+2cx-5c2=0,解得x=-c或x=c.
因为点M在第一象限,可得M的坐标为.
由|FM|==.
解得c=1,所以椭圆的方程为+=1.
(3)设点P的坐标为(x,y),直线FP的斜率为t,
得t=,即直线FP的方程为y=t(x+1)(x≠-1),与椭圆方程联立.
消去y,整理得2x2+3t2(x+1)2=6,
又由已知,得t=>,
解得-<x<-1,或-1<x<0.
设直线OP的斜率为m,得m=,即y=mx(x≠0),与椭圆方程联立,整理得m2=-.
①当x∈时,有y=t(x+1)<0,
因此m>0,于是m=,得m∈.
②当x∈(-1,0)时,有y=t(x+1)>0.
因此m<0,于是m=-,
得m∈.
综上,直线OP的斜率的取值范围是∪.
思维升华 解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面
(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系,从而确定参数的取值范围;
(2)利用已知参数的范围,求新参数的范围,解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系;
(3)利用隐含的不等关系建立不等式,从而求出参数的取值范围;
(4)利用已知的不等关系构造不等式,从而求出参数的取值范围;
(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数,求其值域,从而确定参数的取值范围.
已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0),右顶点为(,0).
(1)求双曲线C的方程;
(2)若直线:
y=kx+m(k≠0,m≠0)与双曲线C交于不同的两点M,N,且线段MN的垂直平分线过点A(0,-1),求实数m的取值范围.
解
(1)设双曲线C的方程为-=1(a>0,b>0).
由已知得:
a=,c=2,
又a2+b2=c2,得b2=1,
∴双曲线C的方程为-y2=1.
(2)联立
整理得(1-3k2)x2-6kmx-3m2-3=0.
∵直线与双曲线有两个不同的交点,
∴
可得m2>3k2-1且k2≠,①
设M(x1,y1),N(x2,y2),MN的中点为B(x0,y0),
则x1+x2=,∴x0==,
∴y0=kx0+m=.
由题意,AB⊥MN,
∴kAB==-(k≠0,m≠0).
整理得3k2=4m+1,②
将②代入①,得m2-4m>0,∴m<0或m>4.
又3k2=4m+1>0(k≠0),即m>-.
∴m的取值范围是∪(4,+∞).
题型二 最值问题
命题点1 利用三角函数有界性求最值
例2 过抛物线y2=4x的焦点F的直线交抛物线于A,B两点,点O是坐标原点,则|AF|·|BF|的最小值是( )
A.2B.C.4D.2
答案 C
解析 设直线AB的倾斜角为θ,可得|AF|=,|BF|=,则|AF|·|BF|=×=≥4.
命题点2 数形结合利用几何性质求最值
例3 (2015·江苏)在平面直角坐标系xOy中,P为双曲线x2-y2=1右支上的一个动点.若点P到直线x-y+1=0的距离大于c恒成立,则实数c的最大值为________________________.
答案
解析 双曲线x2-y2=1的渐近线为x±y=0,直线x-y+1=0与渐近线x-y=0平行,故两平行线的距离d==.由点P到直线x-y+1=0的距离大于c恒成立,得c≤,故c的最大值为.
命题点3 转化为函数利用均值不等式或二次函数求最值
例4 (2014·湖南)如图,O为坐标原点,椭圆C1:
+=1(a>b>0)的左,右焦点分别为F1,F2,离心率为e1;双曲线C2:
-=1的左,右焦点分别为F3,F4,离心率为e2.已知e1e2=,且|F2F4|=-1.
(1)求C1,C2的方程;
(2)过F1作C1的不垂直于y轴的弦AB,M为AB的中点,当直线OM与C2交于P,Q两点时,求四边形APBQ面积的最小值.
解
(1)因为e1e2=,所以·=,即a4-b4=a4,因此a2=2b2,从而F2(b,0),F4(b,0),于是b-b=|F2F4|=-1,所以b=1,a2=2.
故C1,C2的方程分别为+y2=1,-y2=1.
(2)因AB不垂直于y轴,且过点F1(-1,0),
故可设直线AB的方程为x=my-1.
由得(m2+2)y2-2my-1=0.
易知此方程的判别式大于0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则y1,y2是上述方程的两个实根,
所以y1+y2=,y1y2=.
因此x1+x2=m(y1+y2)-2=,
于是AB的中点为M(,),
故直线PQ的斜率为-,PQ的方程为y=-x,
即mx+2y=0.
由得(2-m2)x2=4,
所以2-m2>0,且x2=,y2=,
从而|PQ|=2=2.
设点A到直线PQ的距离为d,
则点B到直线PQ的距离也为d,
所以2d=.
因为点A,B在直线mx+2y=0的异侧,
所以(mx1+2y1)(mx2+2y2)<0,
于是|mx1+2y1|+|mx2+2y2|=|mx1+2y1-mx2-2y2|,
从而2d=.
又因为|y1-y2|=
=,
所以2d=.
故四边形APBQ的面积S=|PQ|·2d==2·.
而0<2-m2≤2,故当m=0时,S取得最小值2.
综上所述,四边形APBQ面积的最小值为2.
思维升华 处理圆锥曲线最值问题的求解方法
圆锥曲线中的最值问题类型较多,解法灵活多变,但总体上主要有两种方法:
一是利用几何法,即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解;二是利用代数法,即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式),然后利用函数方法、不等式方法等进行求解.
(1)已知焦点为F的抛物线y2=4x的弦AB的中点的横坐标为2,则|AB|的最大值为________.
答案 6
解析 设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=4,
那么|AF|+|BF|=x1+x2+2,
又|AF|+|BF|≥|AB|⇒|AB|≤6,当AB过焦点F时取得最大值6.
(2)(2014·北京)已知椭圆C:
x2+2y2=4.
①求椭圆C的离心率;
②设O为原点,若点A在直线y=2上,点B在椭圆C上,且OA⊥OB,求线段AB长度的最小值.
解 ①由题意,椭圆C的标准方程为+=1,
所以a2=4,b2=2,从而c2=a2-b2=2.
因此a=2,c=.
故椭圆C的离心率e==.
②设点A,B的坐标分别为(t,2),(x0,y0),其中x0≠0.
因为OA⊥OB,所以·=0,
即tx0+2y0=0,解得t=-.
又x+2y=4,
所以|AB|2=(x0-t)2+(y0-2)2
=2+(y0-2)2
=x+y++4
=x+++4
=++4(0 因为+≥4(0 故线段AB长度的最小值为2. [方法与技巧] 1.求解范围问题的方法 求范围问题的关键是建立求解关于某个变量的目标函数,通过求这个函数的值域确定目标的范围.在建立函数的过程中要根据题目的其他已知条件,把需要的量都用我们选用的变量表示,有时为了运算的方便,在建立关系的过程中也可以采用多个变量,只要在最后结果中把多变量归结为单变量即可,同时要特别注意变量的取值范围. 2.圆锥曲线中常见最值问题及解题方法 (1)两类最值问题: ①涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题;②求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时与之相关的一些问题. (2)两种常见解法: ①几何法,若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义,则考虑利用图形性质来解决;②代数法,若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系,则可先建立起目标函数,再求这个函数的最值,最值常用均值不等式法、配方法及导数法求解. [失误与防范] 1.求范围问题要注意变量自身的范围. 2.利用几何意义求最值时,要注意“相切”与“公共点唯一”的不等价关系.注意特殊关系,特殊位置的应用. A组 专项基础训练 (时间: 40分钟) 1.设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q,若过点Q的直线l与抛物线有公共点,则直线l的斜率的取值范围是( ) A.B.[-2,2] C.[-1,1]D.[-4,4] 答案 C 解析 Q(-2,0),设直线l的方程为y=k(x+2),代入抛物线方程,消去y整理得k2x2+(4k2-8)x+4k2=0, 由Δ=(4k2-8)2-4k2·4k2=64(1-k2)≥0, 解得-1≤k≤1. 2.已知P为双曲线C: -=1上的点,点M满足||=1,且·=0,则当||取得最小值时点P到双曲线C的渐近线的距离为( ) A.B.C.4D.5 答案 B 解析 由·=0,得OM⊥PM,根据勾股定理,求|MP|的最小值可以转化为求|OP|的最小值,当|OP|取得最小值时,点P的位置为双曲线的顶点(±3,0),而双曲线的渐近线为4x±3y=0,∴所求的距离d=,故选B. 3.若双曲线-=1(a>0,b>0)的渐近线与抛物线y=x2+2有公共点,则此双曲线的离心率的取值范围是( ) A.[3,+∞)B.(3,+∞) C.(1,3]D.(1,3) 答案 A 解析 依题意可知双曲线渐近线方程为y=±x,与抛物线方程联立消去y得x2±x+2=0. ∵渐近线与抛物线有交点, ∴Δ=-8≥0,求得b2≥8a2, ∴c=≥3a,∴e=≥3. 4.(2015·绵阳模拟)若点O和点F分别为椭圆+=1的中点和左焦点,点P为椭圆上的任一点,则·的最小值为________. 答案 6 解析 点P为椭圆+=1上的任意一点,设P(x,y)(-3≤x≤3,-2≤y≤2),依题意得左焦点F(-1,0),∴=(x,y),=(x+1,y),∴·=x(x+1)+y2=x2+x+=·2+.∵-3≤x≤3,∴≤x+≤,∴≤2≤, ∴≤2≤,∴6≤·2+≤12,即6≤·≤12.故最小值为6. 5.已知椭圆C1: -=1与双曲线C2: +=1有相同的焦点,则椭圆C1的离心率e1的取值范围为________. 答案 (,1) 解析 ∵椭圆C1: -=1, ∴a=m+2,b=-n,c=m+2+n,e==1+.∵双曲线C2: +=1,∴a=m,b=-n,c=m-n,∴由条件有m+2+n=m-n,则n=-1,∴e=1-.由m>0得m+2>2,<,->-,∴1->,即e>,而0 6.已知点A(x1,y1),B(x2,y2)是抛物线y2=4x上相异两点,且满足x1+x2=2. (1)若AB的中垂线经过点P(0,2),求直线AB的方程; (2)若AB的中垂线交x轴于点M,求△AMB的面积的最大值及此时直线AB的方程. 解 (1)当AB垂直于x轴时,显然不符合题意, 所以可设直线AB的方程为y=kx+b,代入方程y2=4x,得: k2x2+(2kb-4)x+b2=0, ∴x1+x2==2,得b=-k, ∴直线AB的方程为y=k(x-1)+, ∵AB中点的横坐标为1,∴AB中点的坐标为, ∴AB的中垂线方程为y=-(x-1)+=-x+. ∵AB的中垂线经过点P(0,2),故=2,得k=, ∴直线AB的方程为y=x-. (2)由 (1)可知AB的中垂线方程为y=-x+, ∴点M的坐标为(3,0), ∵直线AB的方程为k2x-ky+2-k2=0, ∴M到直线AB的距离d==, 由得y2-ky+2-k2=0, y1+y2=,y1·y2=, |AB|=|y1-y2|=. ∴S△MAB=4, 设=t,则0 S=4t(2-t2)=-4t3+8t,S′=-12t2+8, 由S′=0,得t=, 即k=±时,Smax=, 此时直线AB的方程为3x±y-1=0. 7.已知椭圆+=1(a>b>0)的右焦点为F2(3,0),离心率为e. (1)若e=,求椭圆的方程; (2)设直线y=kx与椭圆相交于A,B两点,若·=0,且 解 (1)由焦点F2(3,0),知c=3, 又e==,所以a=2. 又由a2=b2+c2,解得b2=3. 所以椭圆的方程为+=1. (2)由得(b2+a2k2)x2-a2b2=0. 设A(x1,y1),B(x2,y2),由根与系数的关系可知, x1+x2=0,x1x2=-. 又=(3-x1,-y1),=(3-x2,-y2), 所以·=(3-x1)(3-x2)+y1y2 =(1+k2)x1x2+9=0, 即+9=0, 整理得k2==-1-. 由 知2≤a<3,12≤a2<18. 所以a4-18a2=(a2-9)2-81∈[-72,0), 所以k2≥,则k≥或k≤-, 因此实数k的取值范围为∪. B组 专项能力提升 (时间: 30分钟) 8. 如图,椭圆的中心为原点O,长轴在x轴上,离心率e=,过左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于A、A′两点,|AA′|=4. (1)求该椭圆的标准方程; (2)取平行于y轴的直线与椭圆相交于不同的两点P、P′,过P、P′作圆心为Q的圆,使椭圆上的其余点均在圆Q外.求△PP′Q的面积S的最大值,并写出对应的圆Q的标准方程. 解 (1)由题意知点A(-c,2)在椭圆上, 则+=1. 从而e2+=1.由e=得b2==8, 从而a2==16. 故该椭圆的标准方程为+=1. (2)由题意,可设Q(x0,0). 又设M(x,y)是椭圆上任意一点,则 |QM|2=(x-x0)2+y2=x2-2x0x+x+8 =(x-2x0)2-x+8(x∈[-4,4]). 设P(x1,y1),由题意知,P点是椭圆上到点Q的距离最小的点,因此,上式当x=x1时取最小值, 又因为x1∈(-4,4),且上式当x=2x0时取最小值, 从而x1=2x0,且|QP|2=8-x. 由对称性知P′(x1,-y1),故|PP′|=|2y1|, 所以S=|2y1||x1-x0|=×2|x0| ==. 当x0=±时,△PP′Q的面积S取到最大值2. 此时对应的圆Q的圆心坐标为Q(±,0),半径|QP|==, 因此,这样的圆有两个,其标准方程分别为 (x+)2+y2=6,(x-)2+y2=6. 9. 如图所示,在直角坐标系xOy中,点P(1,)到抛物线C: y2=2px(p>0)的准线的距离为.点M(t,1)是C上的定点,A,B是C上的两动点,且线段AB的中点Q(m,n)在直线OM上. (1)求曲线C的方程及t的值; (2)记d=,求d的最大值. 解 (1)y2=2px(p>0)的准线为x=-, ∴1-(-)=,p=, ∴抛物线C的方程为y2=x. 又点M(t,1)在曲线C上,∴t=1. (2)由 (1)知,点M(1,1),从而n=m,即点Q(m,m), 依题意,直线AB的斜率存在,且不为0, 设直线AB的斜率为k(k≠0), 且A(x1,y1),B(x2,y2), 由得(y1-y2)(y1+y2)=x1-x2, 故k·2m=1, ∴直线AB的方程为y-m=(x-m), 即x-2my+2m2-m=0. 由消去x, 整理得y2-2my+2m2-m=0, ∴Δ=4m-4m2>0,y1+y2=2m,y1y2=2m2-m. 从而|AB|=·|y1-y2| =· =2. ∴d==2≤m+(1-m)=1, 当且仅当m=1-m,即m=时,上式等号成立, 又m=满足Δ=4m-4m2>0.∴d的最大值为1.
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