版浙江数学知识清单与冲A训练5 函数模型及其应.docx
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版浙江数学知识清单与冲A训练5函数模型及其应
知识点一 三种函数模型的性质
函数
性质
y=ax(a>1)
y=logax(a>1)
y=xn(n>0)
在(0,+∞)上的增减性
单调________
单调________
单调递增
增长速度
越来越快
越来越慢
相对平稳
图象的变化
随x的增大逐渐表现为与________平行
随x的增大逐渐表现为与________平行
随n值变化而各有不同
值的比较
存在一个x0,当x>x0时,有logax 知识点二 几类函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)=ax+b(a,b为常数,a≠0) 反比例函数模型 f(x)= +b(k,b为常数且k≠0) 二次函数模型 f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0) 指数函数模型 f(x)=bax+c(a,b,c为常数,b≠0,a>0且a≠1) 对数函数模型 f(x)=blogax+c(a,b,c为常数,b≠0,a>0且a≠1) 幂函数模型 f(x)=axn+b(a,b为常数,a≠0) 知识点三 应用函数模型解决问题的基本步骤 用已知函数模型解决实际问题的基本步骤: 第一步: 审题,设出变量. 第二步: 根据所给模型,列出函数关系式. 第三步: 解函数模型. 第四步: 将所得结论转译成具体问题的解答. 例1 某种细菌经过60min培养,可繁殖为原来的2倍,且知该细菌的繁殖规律为y=10ekt,其中k为常数,t表示时间(单位: h),y表示细菌个数.10个细菌经过7h培养能达到的个数为( ) A.640B.1280 C.2560D.5120 例2 某品牌汽车公司2015年销量目标定为39.3万辆. 2012年,某品牌汽车年销量8万辆; 2013年,某品牌汽车年销量18万辆; 2014年,某品牌汽车年销量30万辆. 如果我们分别将2012,2013,2014,2015年定义为第一、二、三、四年,现在有两个函数模型: 二次函数型f(x)=ax2+bx+c(a≠0),指数函数型g(x)=a·bx+c(a≠0,b≠1,b>0),哪个模型能更好地反映该公司年销量y(万辆)与第x年的关系? 例3 某市居民自来水收费标准如下: 每户每月用水不超过4吨时,每吨为2.10元,当用水超过4吨时,超过部分每吨3.00元,某月甲、乙两户共交水费y元.已知甲、乙两用户该月用水量分别为5x,3x吨. (1)求y关于x的函数; (2)如果甲、乙两户该月共交水费40.8元,分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费. 一、选择题 1.下列函数关系中,可以看成是指数型函数y=kax(k∈R,a>0且a≠1)模型的是( ) A.竖直向上发射的信号弹,从发射到落回地面,信号弹的高度与时间的关系(不计空气阻力) B.我国人口年自然增长率为1%,这样我国人口总数随年份的变化关系 C.如果某人ts内骑车行进了1km,那么此人骑车的平均速度v与时间t的函数关系 D.邮件的邮资与其重量间的函数关系 2.在一次数学实验中,运用图形计算器采集到如下一组数据: x 0.25 0.50 1 2.00 3.00 4.00 y -1.99 -1.01 0 1.01 1.58 2.01 则x,y的函数关系与下列哪类函数最接近(其中a为待定系数,且a>0)( ) A.y=axB.y=ax C.y=logaxD.y= 3.某工厂生产某种产品的月产量y和月份x满足关系y=a·0.5x+b,现已知该厂1月份、2月份生产该新产品分别为1万件、1.5万件,则此厂3月份该产品的产量为( ) A.1.75万件B.1.7万件 C.2万件D.1.8万件 4.某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增加10.4%,那么经过x年可增长到原来的y倍,则函数y=f(x)的图象大致是( ) 5.甲、乙两种商品在过去一段时间内的价格走势如图所示,假设某人持有资金120万元,他可以在t1至t4的任意时刻买卖这两种商品,且买卖能够立即成交(其他费用忽略不计).如果他在t4时刻卖出所有商品,那么他将获得的最大利润是( ) A.40万元B.60万元 C.120万元D.140万元 6.某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元,每桶水的进价是5元,销售单价与日均销售量的关系如下表所示,请根据以上数据作出分析,为获得最大利润,这个经营部将能量单价定为( ) 销售单价/元 6 7 8 9 10 11 12 日均销售量/桶 480 440 400 360 320 280 240 A.10.5元B.6.5元C.12.5元D.11.5元 二、填空题 7.通过市场调查知某商品每件的市场价y(单位: 元)与上市时间x(单位: 天)的数据如下: 上市时间/x天 4 10 36 市场价/y元 90 51 90 根据上表数据,当a≠0时,下列函数: ①y=ax+k;②y=ax2+bx+c;③y=alogmx中能恰当地描述该商品的市场价y与上市时间x的变化关系的是________.(只需写出序号即可) 8.现测得(x,y)的两组对应值分别为(1,2),(2,5),现有两个待选模型,甲: y=x2+1,乙: y=3x-1,若又测得(x,y)的一组对应值为(3,10.2),则应选用________作为函数模型. 9.某地采用摇号买车的方式,共有20万人参加摇号,每个月有2万个名额,如果每个月摇上的退出摇号,没有摇上的继续进行下月摇号,则每个人摇上号平均需要________个月的时间. 10.我国邮政邮寄印刷品国内邮资标准为: 100g以内0.7元,每增加100g(不足100g按100g计)邮资增加0.4元,某人从绵阳邮寄一本重420g的书到上海,则他应付资费________元. 11.由于电子技术的飞速发展,某电子产品的成本不断降低,若每隔5年该电子产品的价格降低 ,则现在价格在2700元的该电子产品经过15年价格应降为________元. 三、解答题 12.海南华侨中学三亚学校高三7班拟制定奖励条例,对在学习中取得优异成绩的学生进行奖励,其中有一个奖励项目是针对学生月考成绩的高低对该学生进行奖励.奖励公式为f(n)=k(n)(n-10),n>10,(其中n是该学生月考平均成绩与重点班平均分之差,f(n)的单位为元),而k(n)= 现有甲、乙两位学生,甲学生 月考平均成绩超出重点班平均分18分,而乙学生月考平均成绩超出重点班平均分21分.问乙所获得的奖励比甲所获得的奖励多几元? 答案精析 知识条目排查 知识点一 递增 递增 y轴 x轴 题型分类示例 例1 B 当t=1时,10个细菌繁殖的个数是10ek, 所以ek=2,故y=10ekt=10(ek)t=10·2t; 当t=7时,有y=10·27=1280,故选B.] 例2 解 建立年销量y(万辆)与第x年的函数, 可知函数图象必过点(1,8),(2,18),(3,30). ①构造二次函数型f(x)=ax2+bx+c(a≠0), 将点的坐标代入, 可得 解得 则f(x)=x2+7x,故f(4)=44,与计划误差为4.7. ②构造指数函数型g(x)=a·bx+c, 将点的坐标代入,可得 解得 则g(x)= ×( )x-42, 故g(4)= ×( )4-42=44.4, 与计划误差为5.1. 由上可得,f(x)=x2+7x模型能更好地反映该公司年销量y(万辆)与第x年的关系. 例3 解 (1)当甲的用水量不超过4吨时, 即5x<4,乙的用水量也不超过4吨, y=(5x+3x)×2.1=16.8x; 当甲的用水量超过4吨,乙的用水量不超过4吨时, 即3x≤4且5x≥4, y=4×2.1+3x×2.1+3×(5x-4)=21.3x-3.6. 当乙的用水量超过4吨时, 即3x>4,y=8×2.1+3(8x-8) =24x-7.2, 所以y= (2)由于y=f(x)在各段区间上均为单调递增函数, 当x∈0, )时,y )<40.8; 当x∈ , ]时,y≤f( )<40.8; 当x∈( ,+∞)时,令24x-7.2=40.8,解得x=2. 所以甲户用水量为5x=10吨,付费S1=4×2.1+6×3=26.40(元); 乙户用水量为3x=6吨,付费S2=4×2.1+2×3=14.40(元). 考点专项训练 1.B A项,竖直向上发射的信号弹,从发射到落回地面,信号弹的高度与时间的关系,是二次函数关系;B项,我国人口年自然增长率为1%,这样我国人口总数随年份的变化关系,是指数型函数关系;C项,如果某人ts内骑车行进了1km,那么此人骑车的平均速度v与时间t的函数关系,是反比例函数关系;D项,邮件的邮资与其重量间的函数关系,是正比例函数关系,故选B.] 2.C 3.A 由题设可得 解得a=-2,b=2,所以y=-2×0.5x+2, 将x=3代入解得y=1.75,故选A.] 4.D 根据题意,函数解析式为y=1.104x(x>0), 函数是指数函数,底数1.104>1,故选D.] 5.C 甲在6元时全部买入,可以买到120÷6=20(万)份, 在t2时刻,全部卖出,此时获利20×2=40(万元), 乙在4元时买入,可以买(120+40)÷4=40(万)份, 在t4时刻,全部卖出,此时获利40×2=80(万元),共获利40+80=120(万元).] 6.D 设每桶水的价格为(6+x)元, 公司日利润y元, 则y=(6+x-5)(480-40x)-200 =-40x2+440x+280, ∵-40<0,∴当x=- =5.5时函数有最大值, 因此,每桶水的价格为11.5元时,公司日利润最大, 故选D.] 7.② 解析 ∵随着时间x的增加,y的值先减后增, 而所给的三个函数中y=ax+k和y=alogmx显然都是单调函数,不满足题意, ∴y=ax2+bx+c.故答案为②. 8.甲 解析 甲: y=x2+1,(1,2),(2,5)代入验证满足,x=3时,y=10; 乙: y=3x-1,(1,2),(2,5)代入验证满足,x=3时,y=8. ∵测得(x,y)的一组对应值为(3,10.2), ∴选甲. 9.5 10.2.3 解析 邮寄一本重420g的书,其中100克付费0.7元,剩余420-100=320(g), 每增加100g(不足100g按100g计)邮资增加0.4元, 则需要0.4×4=1.6(元),则共付费0.7+1.6=2.3(元). 11.800 解析 由题意,现在价格为2700元的电子产品经过15年价格应降为2700×(1- )3=800(元). 12.解 ∵k(n)= ∴k(18)=4,∴f(18)=4×(18-10)=32(元). 又∵k(21)=6,∴f(21)=6×(21-10)=66(元), ∴f(21)-f(18)=66-32=34(元). 答: 乙所获得的奖励比甲所获得的奖励多34元.
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