异面直线的判断与所成的角.docx
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异面直线的判断与所成的角
异面直线的判断与所成的角
一.选择题(共10小题)
1.异面直线是指( )
A.空间中两条不相交的直线
B.平面的一条直线与平面外的一条直线
C.分别位于两个不同平面的两条直线
D.不同在任何一个平面的两条直线
2.已知:
空间四边形ABCD如图所示,E、F分别是AB、AD的中点,G、H分别是BC,CD上的点,且
.
,则直线FH与直线EG( )
A.平行B.相交C.异面D.垂直
3.在下列图形中,G、H、M、N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点,则表示直线GH、MN是异面直线的图形有( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
4.在长方体ABCD﹣A1B1C1D1的十二条棱中,与面对角线AC垂直且异面的棱的条数是( )
A.2B.4C.6D.8
5.体ABCD﹣A1B1C1D1中,与对角线A1B成45°的棱有( )条.
A.4B.8C.12D.2
6.如图所示,在三棱锥P﹣ABC的六条棱所在的直线中,异面直线共有( )
A.2对B.3对C.4对D.6对
7.将体的纸盒展开如图,直线AB、CD在原体的位置关系是( )
A.平行B.垂直
C.相交成60°角D.异面且成60°角
8.如果两条异面直线称为“一对”,那么在体的十二条棱中共有异面直线( )
A.12对B.24对C.36对D.48对
9.如图,点P、Q、R、S分别在体的四条棱上,并且是所在棱的中点,则直线PQ与RS是异面直线的一个图是( )
A.
B.
C.
D.
10.一个体纸盒展开后如图所示,在原体纸盒中有下列结论:
①AB⊥EF;②AB与CM成60°角;③EF与MN是异面直线;④MN∥CD,其中正确的是( )
A.①②B.③④C.②③D.①③
二.填空题(共5小题)
11.如图所示,在棱长为2的体ABCD﹣A1B1C1D1中,O是底面ABCD的中心,E、F分别是CC1,AD的中点,那么异面直线OE和FD1所成角的余弦值等于 .
12.在正四棱锥P﹣ABCD中,PA=2,直线PA与平面ABCD所成角为60°,E为PC的中点,则异面直线PA与BE所成角的大小为 .
13.在棱长为1的体ABCD﹣A'B'C'D'中,异面直线A'D与AB'所成角的大小是 .
14.如图是体的展开图,其中直线AB与CD在原体中所成角的大小是 .
15.空间四边形ABCD中,对角线AC=10,BD=6,M、N分别是AB、CD的中点,且MN=7,则异面直线AC与BD所成的角为 .
异面直线的判断与所成的角
参考答案与试题解析
一.选择题(共10小题)
1.异面直线是指( )
A.空间中两条不相交的直线
B.平面的一条直线与平面外的一条直线
C.分别位于两个不同平面的两条直线
D.不同在任何一个平面的两条直线
【分析】依据异面直线的定义,逐一分析研究各个选项的正确性,可以通过举反例的方法进行排除.
【解答】解:
A不正确,因为空间中两条不相交的直线可能平行.
B不正确,因为平面的一条直线与平面外的一条直线可能平行,也可能相交.
C不正确,因为分别位于两个不同平面的两条直线可能平行,也可能相交.
D正确,这就是异面直线的定义.
故选D.
【点评】本题考查异面直线的定义,用举反例的方法判断一个命题是假命题,是一种简单有效的方法.
2.已知:
空间四边形ABCD如图所示,E、F分别是AB、AD的中点,G、H分别是BC,CD上的点,且
.
,则直线FH与直线EG( )
A.平行B.相交C.异面D.垂直
【分析】由已知EF为三角形ABD的中位线,从而EF∥BD且EF=
BD,由
.
,得在四边形EFHG中,EF∥HG,即E,F,G,H四点共面,且EF≠HG,由此能得出结论.
【解答】解:
:
∵四边形ABCD是空间四边形,E、F分别是AB、AD的中点,
∴EF为三角形ABD的中位线
∴EF∥BD且EF=
BD
又∵
.
,
∴△CHG∽△CDB,且HG∥BD,HG=
BD
∴在四边形EFHG中,EF∥HG
即E,F,G,H四点共面,且EF≠HG,
∴四边形EFGH是梯形,
∴直线FH与直线EG相交,
故选B.
【点评】本题考查的知识点是平行线分线段成比例定理,是基础题,根据已知条件,判断出EF∥HG且EF≠HG,是解答本题的关键.
3.在下列图形中,G、H、M、N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点,则表示直线GH、MN是异面直线的图形有( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
【分析】利用G、H、M、N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点,线面的关系可判断GH、MN是异面直线的图形.
【解答】解:
由题意:
G、H、M、N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点,
对于图1:
G,M是中点,上下面平行,故得GH、MN平行;
对于图2:
过N点作GH的平行线,可得GH与MN相交.GH与MN不平行;且GH与MN不在同一平面,故得直线GH、MN是异面直线;
对于3:
GH与MN不在同一平面,GH与MN不平行,延长必相交.故得直线GH、MN不是异面直线;
对于4:
取GH的中点为E,可得GENM是平行四边形.故得GH、MN平行;
图2,图3中直线GH、MN是异面直线;
故选:
B.
【点评】本题考查了两条直线在空间图形中的位置的判断.利用了正三棱柱的特征和中点的性质.属于基础题.
4.在长方体ABCD﹣A1B1C1D1的十二条棱中,与面对角线AC垂直且异面的棱的条数是( )
A.2B.4C.6D.8
【分析】作出图形,列举出与面对角线AC垂直且异面的棱.
【解答】解:
如图,在长方体ABCD﹣A1B1C1D1的十二条棱中,
与面对角线AC垂直且异面的棱有:
BB1和DD1,
∴与面对角线AC垂直且异面的棱的条数是2.
故选:
A.
【点评】本题考查满足条件的棱的条数的求法,考查长方体的结构特征等基础知识,考查数形结合思想,是基础题.
5.体ABCD﹣A1B1C1D1中,与对角线A1B成45°的棱有( )条.
A.4B.8C.12D.2
【分析】根据线线角的定义在体中逐一寻找判断即可.
【解答】解:
如图所示:
在形ABB1A1中,AA1、AB、BB1、A1B1与A1B均成45°角,
根据线线角的定义知,DD1、CC1、DC、D1C1都与A1B成45°角,
所以满足条件的棱有8条,
故选:
B.
【点评】本题考查空间中异面直线所成角的定义及其求法,属基础题.
6.如图所示,在三棱锥P﹣ABC的六条棱所在的直线中,异面直线共有( )
A.2对B.3对C.4对D.6对
【分析】画出三棱锥,找出它的棱所在直线的异面直线即可.
【解答】解:
如图所示,三棱锥P﹣ABC中,棱PA与BC是异面直线,棱PB与AC是异面直线,棱PC与AB是异面直线;
共3对.
故选:
B.
【点评】本题考查了空间中的异面直线的判定问题,解题时应结合图形进行解答,是基础题.
7.将体的纸盒展开如图,直线AB、CD在原体的位置关系是( )
A.平行B.垂直
C.相交成60°角D.异面且成60°角
【分析】以AB所在平面为底面,将右侧形折起为右边的平面,因为DE∥AB,所以∠CDE即为直线AB,CD所成的角,在△CDE中求解即可.
【解答】解:
如图,直线AB,CD异面.因为DE∥AB,
所以∠CDE即为直线AB,CD所成的角,
因为△CDE为等边三角形,故∠CDE=60°
故选D.
【点评】本题以图形的折叠为载体,考查平面图形向空间图形的转化,考查折叠问题、异面直线的判断及异面直线所成的角,考查空间想象能力和运算能力.
8.如果两条异面直线称为“一对”,那么在体的十二条棱中共有异面直线( )
A.12对B.24对C.36对D.48对
【分析】画出体,查出一条棱的异面直线的对数为4,用体的棱数乘以2即可得到结果.
【解答】解:
如图,
在体ABCD﹣A1B1C1D1中,与棱AB异面的有CC1,DD1,B1C1,A1D1共4对,
体ABCD﹣A1B1C1D1有12条棱,排除两棱的重复计算,
∴异面直线共有12×2=24对.
故选:
B.
【点评】本题考查异面直线的判定,体现了组合思想方法,是基础题.
9.如图,点P、Q、R、S分别在体的四条棱上,并且是所在棱的中点,则直线PQ与RS是异面直线的一个图是( )
A.
B.
C.
D.
【分析】利用一面直线的定义和体的性质,逐一分析各个选项中的2条直线的位置关系,把满足条件的选项找出来.
【解答】解:
A中的PQ与RS是两条平行且相等的线段,故选项A不满足条件.
B中的PQ与RS是两条平行且相等的线段,故选项B也不满足条件.
D中,由于PR平行且等于
SQ,故四边形SRPQ为梯形,
故PQ与RS是两条相交直线,它们和棱交与同一个点,故选项D不满足条件.
C中的PQ与RS是两条既不平行,又不相交的直线,故选项C满足条件.
故选C
【点评】本题主要考查异面直线的定义,体的性质,判断2条直线的位置关系,属于基础题.
10.一个体纸盒展开后如图所示,在原体纸盒中有下列结论:
①AB⊥EF;②AB与CM成60°角;③EF与MN是异面直线;④MN∥CD,其中正确的是( )
A.①②B.③④C.②③D.①③
【分析】将其还原成体,如图所示,依据图形、体的几何性质进行判断各线的位置关系.
【解答】解:
将体纸盒展开图还原成体,如图知,AB⊥EF,EF与MN是异面直线,AB∥CM,MN⊥CD,只有①③正确,
故应选D
【点评】考查体的几何性质,线线的位置关系,本题涉及到了直线间的几个常见位置关系如平行、垂直、异面.
二.填空题(共5小题)
11.如图所示,在棱长为2的体ABCD﹣A1B1C1D1中,O是底面ABCD的中心,E、F分别是CC1,AD的中点,那么异面直线OE和FD1所成角的余弦值等于
.
【分析】取BC的中点G.连接GC1,则GC1∥FD1,再取GC的中点H,连接HE、OH,则∠OEH为异面直线所成的角,在△OEH中,利用余弦定理可得结论.
【解答】解:
取BC的中点G.连接GC1,则GC1∥FD1,再取GC的中点H,连接HE、OH,则
∵E是CC1的中点,∴GC1∥EH
∴∠OEH为异面直线所成的角.
在△OEH中,OE=
,HE=
,OH=
.
由余弦定理,可得cos∠OEH=
=
=
.
故答案为:
【点评】本题考查异面直线所成的角,考查余弦定理的运用,解题的关键是作出异面直线所成的角.
12.在正四棱锥P﹣ABCD中,PA=2,直线PA与平面ABCD所成角为60°,E为PC的中点,则异面直线PA与BE所成角的大小为 45° .
【分析】连接AC,BD交于点O,连接OE,OP,先证明∠PAO即为PA与面ABCD所成的角,即可得出结论.
【解答】解:
连接AC,BD交于点O,连接OE,OP
因为E为PC中点,所以OE∥PA,
所以∠OEB即为异面直线PA与BE所成的角.
因为四棱锥P﹣ABCD为正四棱锥,
所以PO⊥平面ABCD,
所以AO为PA在面ABCD的射影,所以∠PAO即为PA与面ABCD所成的角,即∠PAO=60°,
因为PA=2,所以OA=OB=1,OE=1.
△PBC中,PB=PC=2,BC=
,∴2(4+2)=4+4BE2,∴BE=
,
∴OE2+OB2=BE2,
所以在直角三角形EOB中∠OEB=45°,即面直线PA与BE所成的角为45°.
故答案为为45°.
【点评】本题考查异面直线所成角,考查线面垂直,比较基础.
13.在棱长为1的体ABCD﹣A'B'C'D'中,异面直线A'D与AB'所成角的大小是
.
【分析】根据题意,连接B′C,得出∠AB′C是异面直线A'D与AB'所成的角,利用等边三角形求出它的大小.
【解答】解:
体ABCD﹣A'B'C'D'中,
连接A′D、AB′、B′C,如图所示;
则A′B′∥DC,且A′B′=DC,
∴四边形A′B′CD是平行四边形,
∴A′D∥B′C,
∴∠AB′C是异面直线A'D与AB'所成的角,
连接AC,则△AB′C是边长为
等边三角形,
∴∠AB′C=
,
即异面直线A'D与AB'所成角是
.
故答案为:
.
【点评】本题考查了空间中两条异面直线所成角的作法与计算问题,是基础题.
14.如图是体的展开图,其中直线AB与CD在原体中所成角的大小是 60° .
【分析】如图:
由于AB∥MC且AB=MC,故直线AB与CD成的角等于CD与CM成的角,根据由△CMD为等边三角形,可得
∠MCD=60°即为所求.
【解答】解:
原体如图所示:
由于AB∥MC且AB=MC,故直线AB与CD成的角等于CD与CM成的角.
由△CMD为等边三角形,∴∠MCD=60°,
故直线AB与CD在原体中所成角的大小是60°.
故答案为:
60°.
【点评】本题主要考查异面直线所成的角的定义和求法,体现了数形结合的数学思想和转化的数学思想.
15.空间四边形ABCD中,对角线AC=10,BD=6,M、N分别是AB、CD的中点,且MN=7,则异面直线AC与BD所成的角为 60° .
【分析】首先通过平行线把异面直线转化为共面直线,利用解三角形知识中的余弦定理求出异面直线的夹角.
【解答】解:
取BC的中点G,连接GM,GN
M、N分别是AB、CD的中点,对角线AC=10,BD=6,
所以:
GM=
=5,GN=
在△GMN中,EF=7,GM=5,GN=3
利用余弦定理得:
|=
即:
cos
所以:
∠MGN=120°
所以:
异面直线AC与BD所成的角为60°
故答案为:
60°
【点评】本题考查的知识要点:
异面直线所成的角的应用,余弦定理的应用,属于基础题型.
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- 直线 判断