高一数学第八讲空间几何体 精品.docx
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高一数学第八讲空间几何体精品
普通高中课程标准实验教科书—数学[人教版]
高三新数学第一轮复习教案(讲座8)—空间几何体
一.课标要求:
1.利用实物模型、计算机软件观察大量空间图形,认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征,并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构;
2.能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图,能识别上述的三视图所表示的立体模型,会使用材料(如:
纸板)制作模型,会用斜二侧法画出它们的直观图;
3.通过观察用两种方法(平行投影与中心投影)画出的视图与直观图,了解空间图形的不同表示形式;
4.完成实习作业,如画出某些建筑的视图与直观图(在不影响图形特征的基础上,尺寸、线条等不作严格要求);
二.命题走向
近几年来,立体几何高考命题形式比较稳定,题目难易适中,解答题常常立足于棱柱、棱锥和正方体位置关系的证明和夹角距离的求解,而选择题、填空题又经常研究空间几何体的几何特征和体积表面积。
因此复习时我们要首先掌握好空间几何体的空间结构特征。
培养好空间想能力。
预测07年高考对该讲的直接考察力度可能不大,但经常出一些创新型题目,具体预测如下:
(1)题目多出一些选择、填空题,经常出一些考察空间想象能力的试题;解答题的考察位置关系、夹角距离的载体使空间几何体,我们要想像的出其中的点线面间的位置关系;
(2)研究立体几何问题时要重视多面体的应用,才能发现隐含条件,利用隐蔽条件解题。
三.要点精讲
1.柱、锥、台、球的结构特征
(1)柱
棱柱:
一般的,有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面所围成的几何体叫做棱柱;棱柱中两个互相平行的面叫做棱柱的底面,简称为底;其余各面叫做棱柱的侧面;相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱;侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点。
底面是三角形、四边形、五边形……的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱……
圆柱:
以矩形的一边所在的直线为旋转轴,其余边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱;旋转轴叫做圆柱的轴;垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面;无论旋转到什么位置,不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线。
棱柱与圆柱统称为柱体;
(2)锥
棱锥:
一般的有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的几何体叫做棱锥;这个多边形面叫做棱锥的底面或底;有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面;各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点;相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱。
底面是三角锥、四边锥、五边锥……的棱柱分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥……
圆锥:
以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴,其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥;旋转轴为圆锥的轴;垂直于轴的边旋转形成的面叫做圆锥的底面;斜边旋转形成的曲面叫做圆锥的侧面。
棱锥与圆锥统称为锥体。
(3)台
棱台:
用一个平行于底面的平面去截棱锥,底面和截面之间的部分叫做棱台;原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面;棱台也有侧面、侧棱、顶点。
圆台:
用一个平行于底面的平面去截圆锥,底面和截面之间的部分叫做圆台;原圆锥的底面和截面分别叫做圆台的下底面和上底面;圆台也有侧面、母线、轴。
圆台和棱台统称为台体。
(4)球
以半圆的直径所在的直线为旋转轴,半圆面旋转一周形成的几何体叫做球体,简称为球;半圆的圆心叫做球的球心,半圆的半径叫做球的半径,半圆的直径叫做球的直径。
(5)组合体
由柱、锥、台、球等几何体组成的复杂的几何体叫组合体。
2.空间几何体的三视图
三视图是观测者从不同位置观察同一个几何体,画出的空间几何体的图形。
他具体包括:
(1)正视图:
物体前后方向投影所得到的投影图;
它能反映物体的高度和长度;
(2)侧视图:
物体左右方向投影所得到的投影图;
它能反映物体的高度和宽度;
(3)俯视图:
物体上下方向投影所得到的投影图;
它能反映物体的长度和宽度;
3.空间几何体的直观图
(1)斜二测画法
①建立直角坐标系,在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的OX,OY,建立直角坐标系;
②画出斜坐标系,在画直观图的纸上(平面上)画出对应的O’X’,O’Y’,使
=450(或1350),它们确定的平面表示水平平面;
③画对应图形,在已知图形平行于X轴的线段,在直观图中画成平行于X‘轴,且长度保持不变;在已知图形平行于Y轴的线段,在直观图中画成平行于Y‘轴,且长度变为原来的一半;
④擦去辅助线,图画好后,要擦去X轴、Y轴及为画图添加的辅助线(虚线)。
(2)平行投影与中心投影
平行投影的投影线是互相平行的,中心投影的投影线相交于一点。
四.典例解析
题型1:
空间几何体的构造
例1.
(1)(06北京理4)平面
的斜线AB交
于点B,过定点A的动直线
与AB垂直,且交
于点C,则动点C的轨迹是()
A.一条直线B.一个圆C.一个椭圆D.双曲线的一支
(2)(04天津文8)如图,定点A和B都在平面
内,定点
C是
内异于A和B的动点,且
那么,动点在平面
内的轨迹是()
A.一条线段,但要去掉两个点B.一个圆,但要去掉两个点
C.一个椭圆,但要去掉两个点D.半圆,但要去掉两个点
(3)正方体ABCD_A1B1C1D1的棱长为2,点M是BC的中点,点P是平面ABCD内的一个动点,且满足PM=2,P到直线A1D1的距离为
,则点P的轨迹是[]
A.圆B.双曲线C.两个点D.直线
解析:
(1)设
与
是其中的两条任意的直线,则这两条直线确定一个平面,且斜线
垂直这个平面,由过平面外一点有且只有一个平面与已知直线垂直可知过定点
与
垂直所有直线都在这个平面内,故动点C都在这个平面与平面
的交线上,故选A。
(2)答案为B。
(3)解析:
点P到A1D1的距离为
,则点P到AD的距离为1,满足此条件的P的轨迹是到直线AD的距离为1的两条平行直线,
又
,
满足此条件的P的轨迹是以M为圆心,半径为2的圆,这两种轨迹只有两个交点.
故点P的轨迹是两个点。
选项为C。
点评:
该题考察空间内平面轨迹的形成过程,考察了空间想象能力。
例2.(06江苏9)两相同的正四棱锥组成如图1所示的几何体,可放棱长为1的正方体内,使正四棱锥的底面ABCD与正方体的某一个平面平行,且各顶点均在正方体的面上,则这样的几何体体积的可能值有()
A.1个 B.2个C.3个 D.无穷多个
解析:
由于两个正四棱锥相同,所以所求几何体的中心在正四棱锥底面正方形ABCD中心,有对称性知正四棱锥的高为正方体棱长的一半,影响几何体体积的只能是正四棱锥底面正方形ABCD的面积,问题转化为边长为1的正方形的内接正方形有多少种,所以选D。
点评:
本题主要考查空间想象能力,以及正四棱锥的体积。
正方体是大家熟悉的几何体,它的一些内接或外接图形需要一定的空间想象能力,要学会将空间问题向平面问题转化。
题型2:
空间几何体的定义
例3.(06江西文9)如果四棱锥的四条侧棱都相等,就称它为“等腰四棱锥”,四条侧棱称为它的腰,以下4个命题中,假命题是( B )
A.等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等
B.等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补
C.等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆
D.等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上
解析:
因为“等腰四棱锥”的四条侧棱都相等,所以它的顶点在底面的射影到底面的四个顶点的距离相等,故A,C正确,且在它的高上必能找到一点到各个顶点的距离相等,故D正确,B不正确,如底面是一个等腰梯形时结论就不成立。
故选B
点评:
抓住本质的东西来进行判断,对于信息要进行加工再利用。
例4.(2002北京理,10)设命题甲:
“直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,平面ACB1与对角面BB1D1D垂直”;命题乙:
“直四棱柱ABCD-A1B1C1D1是正方体”.那么,甲是乙的()
A.充分必要条件
B.充分非必要条件
C.必要非充分条件
D.既非充分又非必要条件C
解析:
若命题甲成立,命题乙不一定成立,如底面为菱形时。
若命题乙成立,命题甲一定成立。
答案为C。
点评:
对于空间几何体的定义要有深刻的认识,掌握它们并能判断它们的性质。
题型3:
空间几何体中的想象能力
例5.(2002上海春,10)图9—12表示一个正方体表面的一种展开图,图中的四条线段AB、CD、EF和GH在原正方体中相互异面的有对.
解析:
相互异面的线段有AB与CD,EF与GH,AB与GH3对.
点评:
解决此类题目的关键是将平面图形恢复成空间图形,较强的考察了空间想象能力。
例6.(2003京春文11,理8)如图9—1,在正三角形ABC中,D,E,F分别为各边的中点,G,H,I,J分别为AF,AD,BE,DE的中点.将△ABC沿DE,EF,DF折成三棱锥以后,GH与IJ所成角的度数为()
A.90°B.60°
C.45°D.0°
答案:
B
解析:
将三角形折成三棱锥如图9—43所示.HG与IJ为一对异面直线.过点D分别作HG与IJ的平行线,即DF与AD.所以∠ADF即为所求.因此,HG与IJ所成角为60°。
点评:
在画图过程中正确理解已知图形的关系是关键。
通过识图、想图、画图的角度考查了空间想象能力。
而对空间图形的处理能力是空间想象力深化的标志,是高考从深层上考查空间想象能力的主要方向。
题型4:
斜二测画法
例7.画正五棱柱的直观图,使底面边长为3cm侧棱长为5cm。
解析:
先作底面正五边形的直观图,再沿平行于Z轴方向平移即可得。
作法:
(1)画轴:
画X′,Y′,Z′轴,使∠X′O′Y′=45°(或135°),∠X′O′Z′=90°。
(2)画底面:
按X′轴,Y′轴画正五边形的直观图ABCDE。
(3)画侧棱:
过A、B、C、D、E各点分别作Z′轴的平行线,并在这些平行线上分别截取AA′,BB′,CC′,DD′,EE。
′
(4)成图:
顺次连结A′,B′,C′,D′,F′,加以整理,去掉辅助线,改被遮挡的部分为虚线。
点评:
用此方法可以依次画出棱锥、棱柱、棱台等多面体的直观图。
例8.
是正△ABC的斜二测画法的水平放置图形的直观图,若
的面积为
,那么△ABC的面积为_______________。
解析:
。
点评:
该题属于斜二测画法的应用,解题的关键在于建立实物图元素与直观图元素之间的对应关系。
特别底和高的对应关系。
题型5:
平行投影与中心投影
例9.
(1)如图,在正四面体A-BCD中,E、F、G分别是三角形ADC、ABD、BCD的中心,则△EFG在该正四面体各个面上的射影所有可能的序号是()
A.①③B.②③④C.③④D.②④
(2)(2000全国,16)如图9—15
(1),E、F分别为正方体的面ADD1A1、面BCC1B1的中心,则四边形BFD1E在该正方体的面上的射影可能是图9—15
(2)的(要求:
把可能的图的序号都填上).
解析:
(1)正四面体各面的中点在四个面上的射影不可能落到正四面体的边上,所以①②不正确,根据射影的性质E、F、G、三点在平面ABC内的射影形状如“④”所示,在其它平面上的射影如“③”所示。
答案:
C;
(2)答案:
②③;解析:
∵面BFD1E⊥面ADD1A1,所以四边形BFD1E在面ADD1A1上的射影是③,同理,在面BCC1B1上的射影也是③。
过E、F分别作DD1和CC1的垂线,可得四边形BFD1E在面DCC1D1上的射影是②,同理在面ABB1A1,面ABCD和面A1B1C1D1上的射影也是②。
点评:
考查知识立足课本,对空间想象能力、分析问题的能力、操作能力和思维的灵活性等方面要求较高,体现了加强能力考查的方向。
例1
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