同济大学第六版高等数学课后答案详解全集.docx
- 文档编号:29711822
- 上传时间:2023-07-26
- 格式:DOCX
- 页数:39
- 大小:67.17KB
同济大学第六版高等数学课后答案详解全集.docx
《同济大学第六版高等数学课后答案详解全集.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《同济大学第六版高等数学课后答案详解全集.docx(39页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
同济大学第六版高等数学课后答案详解全集
同济六版高等数学课后答案全集
第一章
习题1,1
1,设A,(,,~,5),(5~,,)~B,[,10~3)~写出A,B~A,B~A\B及A\(A\B)的表达式,
2,设A、B是任意两个集合~证明对偶律:
(A,B)C,AC,BC,,
3,设映射f:
X,Y~A,X~B,X,证明
(1)f(A,B),f(A),f(B),
(2)f(A,B),f(A),f(B),
g,f,If,g,IXY4,设映射f:
X,Y~若存在一个映射g:
Y,X~使~~其中IX、IY分别是X、Y上的恒等映射~即对于每一个x,X~有IXx,x,对于每一个y,Y~有IYy,y,证明:
f是双射~且g是f的逆映射:
g,f,1,
5,设映射f:
X,Y~A,X,证明:
(1)f,1(f(A)),A,
(2)当f是单射时~有f,1(f(A)),A,
6,求下列函数的自然定义域:
111y,2y,y,,1,x22y,3x,2y,sinx4,xx1,x
(1),,
(2),(3),(4),(5),
1y,3,x,arctanx(6)y,tan(x,1),(7)y,arcsin(x,3),(8),,(9)y,ln(x,1),
1xy,e(10),
7,下列各题中~函数f(x)和g(x)是否相同,为什么,
(1)f(x),lgx2~g(x),2lgx,
2x
(2)f(x),x~g(x),,
3343f(x),x,xg(x),xx,1(3)~,
(4)f(x),1~g(x),sec2x,tan2x,
,|sinx||x|,,3,(x),,,,,,x0||,,()()(,),,,3,6448,设~求~~~,(,2)~并作出函数y,,(x)
的图形,
9,试证下列函数在指定区间内的单调性:
xy,1,x
(1)~(,,~1),
(2)y,x,lnx~(0~,,),
10,设f(x)为定义在(,l~l)内的奇函数~若f(x)在(0~l)内单调增加~证明f(x)在(,l~0)内也单调增加,
11,设下面所考虑的函数都是定义在对称区间(,l~l)上的~证明:
(1)两个偶函数的和是偶函数~两个奇函数的和是奇函数,
(2)两个偶函数的乘积是偶函数~两个奇函数的乘积是偶函数~偶函数与奇函数的乘积是奇函数,
12,下列函数中哪些是偶函数~哪些是奇函数~哪些既非奇函数又非偶函数,
(1)y,x2(1,x2),
(2)y,3x2,x3,
21,xy,21,x(3),
(4)y,x(x,1)(x,1),
(5)y,sinx,cosx,1,
x,xa,ay,2(6)
13,下列各函数中哪些是周期函数,对于周期函数~指出其周期:
(1)y,cos(x,2),,
(2)y,cos4x,
(3)y,1,sin,x,
(4)y,xcosx,
(5)y,sin2x,
14,求下列函数的反函数:
3y,x,1
(1)错误~未指定书签。
错误~未指定书签。
1,xy,1,x
(2)错误~未指定书签。
,
ax,by,cx,d(3)(ad,bc,0),,
(4)y,2sin3x,,
(5)y,1,ln(x,2),
x2y,x2,1(6),
15,设函数f(x)在数集X上有定义~试证:
函数f(x)在X上有界的充分必要条件是它在X上既有上界又有下界,
16,在下列各题中~求由所给函数复合而成的函数~并求这函数分别对应于给定自变量值x1和x2的函数值:
,x,x,1263
(1)y,u2~u,sinx~~,
,x,x,1284
(2)y,sinu~u,2x~~,,
y,u(3)~u,1,x2~x1,1~x2,2,,
(4)y,eu~u,x2~x1,0~x2,1,
(5)y,u2~u,ex~x1,1~x2,,1,
17,设f(x)的定义域D,[0~1]~求下列各函数的定义域:
(1)f(x2),,
(2)f(sinx)
(3)f(x,a)(a>0),,
(4)f(x,a),f(x,a)(a,0),
1|x|,1,,f(x),0|x|,1,
,1|x|,1,18,设~g(x),ex错误~未指定书签。
~求f[g(x)]和g[f(x)]~并作出这两个函数的图形,
19,已知水渠的横断面为等腰梯形~斜角,,40:
(图1,37),当过水断面ABCD的面积为定值S0时~求湿周L(L,AB,BC,CD)与水深h之间的函数关系式~并指明其定义域,
图1,37
20,收敛音机每台售价为90元~成本为60元,厂方为鼓励销售商大量采购~决定凡是订购量超过100台以上的~每多订购1台~售价就降低1分~但最低价为每台75元,
(1)将每台的实际售价p表示为订购量x的函数,
(2)将厂方所获的利润P表示成订购量x的函数,
(3)某一商行订购了1000台~厂方可获利润多少,
习题1,2
1,观察一般项xn如下的数列{xn}的变化趋势~写出它们的极限:
1x,nn2
(1),,
1nx,(,1)nn
(2),,
1,,x2n2n(3),
n,1x,nn,1(4),,
(,1)n,(5)xn,n
ncos2,xlimxnnn,,n2,设数列{xn}的一般项,问,?
求出N~使当n,N时~xn与其极限之差的绝对值小于正数,~当,,0,001时~求出数N,
3,根据数列极限的定义证明:
1lim,02n,,n
(1),
3n,13lim,n,,2n,12
(2),
22na,lim,1n,,n(3),
lim0.999,,,9,1,,,,,n,,n个(4),
limu,alim|u|,|a|nnn,,n,,4,~证明,并举例说明:
如果数列{|xn|}有极限~但数列
{xn}未必有极限,
limy,0limxy,0nnnn,,n,,5,设数列{xn}有界~又~证明:
6,对于数列{xn}~若x2k,1,a(k,,)~x2k,a(k,,)~习题1,3
1,根据函数极限的定义证明:
lim(3x,1),8x,3
(1),
lim(5x,2),12x,2,
(2)
2x,4lim,,4x,,2x,2(3),
3x1,4lim,21x2,1x,,2(4),
2,根据函数极限的定义证明:
31x1,lim,3x,,22x
(1),
xsinlim,0x,,,x
(2),
3,当x,2时~y,x2,4,问,等于多少~使当|x,2|<,时~|y,4|<0,001,
2x,1y,,12x,34,当x,,时~~问X等于多少~使当|x|,X时~|y,1|,0,01?
5,证明函数f(x),|x|当x,0时极限为零,
|x|x(x),f(x),,,xx6,求当x,0时的左)右极限~并说明它们在x,0时的极限是否存在,
7,证明:
若x,,,及x,,,时~函数f(x)的极限都存在且都等于A~则limf(x),Ax,,,
8,根据极限的定义证明:
函数f(x)当x,x0时极限存在的充分必要条件是左极限、右极限各自存在并且相等,
9,试给出x,,时函数极限的局部有界性的定理~并加以证明,
4习题1
1,两个无穷小的商是否一定是无穷小,举例说明之,
2,根据定义证明:
2x,9y,x,3
(1)当x,3时为无穷小;
1y,xsinx
(2)当x,0时为无穷小,
1,2xy,x3,根据定义证明:
函数为当x,0时的无穷大,问x应满足什么条件~
能使|y|,104,
4,求下列极限并说明理由:
x2,1limx,,x
(1);
21,xlimx,01,x
(2),
6,函数y,xcosx在(,,~,,)内是否有界,这个函数是否为当x,,,时的无穷
大,为什么,
11y,sinxx7,证明:
函数在区间(0~1]上无界~但这函数不是当x,0+时的无穷
大,
~
习题1,5
1,计算下列极限:
2x,5lim2x,x,3
(1),
2x,3lim23x,x,1
(2),
2x,2x,1lim2x,1x,1(3),
324x,2x,xlim2x,03x,2x(4),
22(,),xhxlimh,0h(5),
11lim(2,,)2x,,xx(6),
2x,1lim2x,,2x,x,1(7),
2x,xlim42x,,x,3x,1(8),
2x,6x,8lim2x,4x,5x,4(9),
11lim(1,)(2,)2x,,xx(10),
111lim(1,,,,,,,)n,,n242(11),
1,2,3,,,,,(n,1)lim2n,,n(12),
(n1)(n2)(n3),,,lim3n,,5n(13),
13,lim()3x,1,x1,x1(14),
2,计算下列极限:
32x,2xlim2x,2(x,2)
(1),
2xlimx,,2x,1
(2),
3lim(2x,x,1)x,,(3),
3,计算下列极限:
12xlimsinx,0x
(1),
xarctanlimx,,x
(2),
4,证明本节定理3中的
(2),
习题1,7
1,当x,0时~2x,x2与x2,x3相比~哪一个是高阶无穷小,
12(1,x)22,当x,1时~无穷小1,x和
(1)1,x3~
(2)是否同阶,是否等价,
12(1,x)12lim,lim(1,x),1x,1x,11,x2
(2)因为~
3,证明:
当x,0时~有:
(1)arctanx~x,
2xx,sec1~2
(2),
4,利用等价无穷小的性质~求下列极限:
tan3xlimx,02x
(1),
nsin(x)limm,0x(sinx)
(2)(n~m为正整数),
tanx,sinxlim3x,0sinx(3),
sinx,tanxlim32x,0(1,x,1)(1,sinx,1)(4),
5,证明无穷小的等价关系具有下列性质:
(1),~,(自反性),
(2)若,~,~则,~,(对称性),
~,~,~,~则,~,(传递性),(3)若,
习题1,8
1,研究下列函数的连续性~并画出函数的图形:
2,0,,1xx(),fx,2,1,,2xx,
(1),
x,1,x,1,f(x),,1|x|,1,
(2),
2,下列函数在指出的点处间断~说明这些间断点属于哪一类~如果是可去间
断点~则补充或改变函数的定义使它连续:
2x,1y,2x,3x,2
(1)~x,1~x,2,
x,y,x,k,,tanx2
(2)~x,k~(k,0~,1~,2~,,,),
12ycos,x(3)~x,0,
x,1x,1,y,,3,xx,1,(4)~x,1,
2n1,xf(x),limx2n,,n1,x3,讨论函数的连续性~若有间断点~判别其类型,
证明:
若函数f(x)在点x0连续且f(x0),0~则存在x0的某一邻域U(x0)~当4
x,U(x0)时~f(x),0,
5,试分别举出具有以下性质的函数f(x)的例子:
11,,2n
(1)x,0~,1~,2~~,,,~,n~~,,,是f(x)的所有间断点~且它们都是无穷间断点,
(2)f(x)在R上处处不连续~但|f(x)|在R上处处连续,
(3)f(x)在R上处处有定义~但仅在一点连续,
习题1,9
32x,3x,x,3f(x),limf(x)limf(x)2x,0x,,3x,x,61,求函数的连续区间~并求极限~及limf(x)x,2,
2,设函数f(x)与g(x)在点x0连续~证明函数
(x),max{f(x)~g(x)}~,(x),min{f(x)~g(x)}
在点x0也连续,
~
3,求下列极限:
2limx,2x,5x,0
(1),
3lim(sin2x),x,4
(2),
limln(2cos2x),x,6(3),
x,1,1limx,0x(4),
5x,4,xlimx,1x,1(5),
x,asinsinlimx,ax,a(6),
22lim(x,x,x,x)x,,,(7),
4,求下列极限:
1xlimex,,
(1),
xsinlimlnx,0x
(2),
x12,lim
(1),,xx(3),
22cotxlim(1,3tanx),x0(4),
1x,,x32lim()x,,,x6(5),
1,tanx,1,sinxlim2x,0x1,sinx,x(6),
x,ex,0f(x),,a,xx,0,5,设函数,应当如何选择数a~使得f(x)成为在(,,~,,)内的连续函数,
习题1,10
1,证明方程x5,3x,1至少有一个根介于1和2之间,
2,证明方程x,asinx,b~其中a,0~b,0~至少有一个正根~并且它不超过a,b,
3,设函数f(x)对于闭区间[a~b]上的任意两点x、y~恒有|f(x),f(y)|,L|x,y|~其中L为正常数~且f(a),f(b),0,证明:
至少有一点,,(a~b)~使得f(,),0,
4,若f(x)在[a~b]上连续~a,x1,x2,,,,,xn,b~则在[x1~xn]上至少有一点,~使
fxfxfx(),(),,,,,()12nf,(),n,
limf(x)x,,5,证明:
若f(x)在(,,~,,)内连续~且存在~则f(x)必在(,,~,,)内有界,
6,在什么条件下~(a~b)内的连续函数f(x)为一致连续,
总习题一
1,在“充分”、“必要”和“充分必要”三者中选择一个正确的填入下列空格内:
(1)数列{xn}有界是数列{xn}收敛的________条件,数列{xn}收敛是数列{xn}有界的________的条件,
limf(x)x,x0
(2)f(x)在x0的某一去心邻域内有界是存在的________条件,limf(x)x,x0存在是f(x)在x0的某一去心邻域内有界的________条件,
limf(x),,x,x0(3)f(x)在x0的某一去心邻域内无界是的________条件,limf(x),,x,x0是f(x)在x0的某一去心邻域内无界的________条件,
limf(x)x,x0(4)f(x)当x,x0时的右极限f(x0,)及左极限f(x0,)都存在且相等是存在的________条件,
2,选择以下题中给出的四个结论中一个正确的结论:
设f(x),2x,3x,2~则当x,0时~有(),
(A)f(x)与x是等价无穷小,(B)f(x)与x同阶但非等价无穷小,
(C)f(x)是比x高阶的无穷小,(D)f(x)是比x低阶的无穷小,
3,设f(x)的定义域是[0~1]~求下列函数的定义域:
(1)f(ex),
(2)f(lnx),
(3)f(arctanx),
(4)f(cosx),
4,设
0,0x0x,0,,f(x),(),gx,,2xx,0,,0xx,,~~
求f[f(x)]~g[g(x)]~f[g(x)]~g[f(x)],
5,利用y,sinx的图形作出下列函数的图形:
(1)y,|sinx|,
(2)y,sin|x|,
xy,2sin2(3),
6,把半径为R的一圆形铁片~自中心处剪去中心角为,的一扇形后围成一无底圆锥,试将这圆锥的体积表为,的函数,
2x,x,6lim,5x,3x,37,根据函数极限的定义证明,
8,求下列极限:
2x,x,1lim2x,1(x,1)
(1),
2limx(x,1,x)x,,,
(2),
x,23x,1lim()x,,x,21(3),
tanx,sinxlim3x,0x(4),
1xxxa,b,cxlim(),x03(5)(a,0~b,0~c,0),
tanxlim(sinx),,x2(6),
1,xxsin,0,fx(),x,2,a,xx,0,9,设~要使f(x)在(,,~,,)内连续~应怎样选择数a?
1,,x,1ex,0f(x),,,ln(1,x),1,x,0,10,设~求f(x)的间断点~并说明间断点所属类形,
111,,lim,,,,,,,1222n,,nnnn,1,2,11,证明,
,(,,)2212,证明方程sinx,x,1,0在开区间内至少有一个根,
13,如果存在直线L:
y,kx,b~使得当x,,(或x,,,~x,,,)时~曲线y,f(x)上的动点M(x~y)到直线L的距离d(M~L),0~则称L为曲线y,f(x)的渐近线,当直线L的斜率k,0时~称L为斜渐近线,
(1)证明:
直线L:
y,kx,b为曲线y,f(x)的渐近线的充分必要条件是
()fx,limb,lim[f(x),kx]kx,,x,,x(x,,,,x,,,)(x,,,,x,,,)~,
1xy,(2x,1)e
(2)求曲线的斜渐近线,
习题2,1
1,设物体绕定轴旋转~在时间间隔[0~t]内转过的角度为,~从而转角,是t的
,,t函数:
,,(t),如果旋转是匀速的~那么称为该物体旋转的角速度~如果旋转是非匀速的~应怎样确定该物体在时刻t0的角速度,
2,当物体的温度高于周围介质的温度时~物体就不断冷却~若物体的温度T与时间t的函数关系为T,T(t)~应怎样确定该物体在时刻t的冷却速度,
3,设某工厂生产x单位产品所花费的成本是f(x)元~此函数f(x)称为成本函数~成本函数f(x)的导数f,(x)在经济学中称为边际成本,试说明边际成本f,(x)的实际意义,
4,设f(x),10x2~试按定义~求f,(,1),
5,证明(cosx),,,sinx,
6,下列各题中均假定f,(x0)存在~按照导数定义观察下列极限~指出A表示
什么:
f(x,,x),f(x)00lim,A,x,0,x
(1),
fx(),Alimx,0x
(2)~其中f(0),0~且f,(0)存在,
f(x,h),f(x,h)00lim,Ah,0h(3),
7,求下列函数的导数:
(1)y,x4,
32y,x
(2),
(3)y,x1,6,
1y,x(4),
1y,2x(5),
53y,xx(6),
322xxy,5x(7),
8,已知物体的运动规律为s,t3(m),求这物体在t,2秒(s)时的速度,
9,如果f(x)为偶函数~且f(0)存在~证明f(0),0,
2x,,310,求曲线y,sinx在具有下列横坐标的各点处切线的斜率:
~x,,,
1(,)3211,求曲线y,cosx上点处的切线方程和法线方程式,
12,求曲线y,ex在点(0~1)处的切线方程,
13,在抛物线y,x2上取横坐标为x1,1及x2,3的两点~作过这两点的割线~问该抛物线上哪一点的切线平行于这条割线,
14,讨论下列函数在x,0处的连续性与可导性:
(1)y,|sinx|,
1,2,xsinx,0y,x,
x0,0,
(2),
2,xx,1f(x),,axbx,,1,设函数15,为了使函数f(x)在x,1处连续且可导~a~b应取什么值,
2,xx,0f(x),,xx,,0,16,已知求f,,(0)及f,,(0)~又f,(0)是否存在,
sinxx,0,,xx,0,17,已知f(x),~求f,(x),
18,证明:
双曲线xy,a2上任一点处的切线与两坐标轴构成的三角形的面积都等于2a2,
习题2,2
1,推导余切函数及余割函数的导数公式:
(cotx),,,csc2x,(cscx),,,cscxcotx,
2,求下列函数的导数:
472y,,,,1254xxx
(1),
(2)y,5x3,2x,3ex,
(3)y,2tanx,secx,1,
(4)y,sinx,cosx,
(5)y,x2lnx,
(6)y,3excosx,
lnxy,x(7),
xey,,ln32x(8),
(9)y,x2lnxcosx,
1,sints,1,cost(10),
3,求下列函数在给定点处的导数:
,yy,,x,x,64
(1)y,sinx,cosx~求和,
d1,,,,sin,,cos,,,d,42
(2)~求,
2x3fx,,(),x55(3)~求f,(0)和f,
(2),
12s,vt,gt024,以初速v0竖直上抛的物体~其上升高度s与时间t的关系是,
求:
(1)该物体的速度v(t),
(2)该物体达到最高点的时刻,
5,求曲线y,2sinx,x2上横坐标为x,0的点处的切线方程和法线方程,
6,求下列函数的导数:
(1)y,(2x,5)4
(2)y,cos(4,3x),
2,3xy,e(3),
(4)y,ln(1,x2),
(5)y,sin2x,
22y,a,x(6),
(7)y,tan(x2),
(8)y,arctan(ex),
(9)y,(arcsinx)2,
(10)y,lncosx,
7,求下列函数的导数:
(1)y,arcsin(1,2x),
1y,21,x
(2),
x,2y,ecos3x(3),
1y,arccosx(4),
1,lnxy,1,lnx(5),
sin2xy,x(6),
y,arcsinx(7),
22y,ln(x,a,x)(8),
(9)y,ln(secx,tanx),
(10)y,ln(cscx,cotx),
8,求下列函数的导数:
x2y,(arcsin)2
(1),
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 同济大学 第六 高等数学 课后 答案 详解 全集
![提示](https://static.bdocx.com/images/bang_tan.gif)