数学分析第二型曲线积分.docx
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数学分析第二型曲线积分
数学分析第二型曲线积分
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§2第二型曲线积分
教学目的与要求:
掌握第二型曲线积分的定义和计算公式,了解第一、二型曲线积分的差别.
教学重点,难点:
重点:
第二型曲线积分的定义和计算公式难点:
第二型曲线积分的计算公式教学内容:
第二型曲线积分
一第二型曲线积分的意义
在物理学中还碰到另一种类型的曲线积分问题。
例如一质点受力F(x,y)的作用沿平面曲线L从点A移动到点B,求力F(x,y)所作的功(图202)。
为此在曲线AB内插入n1个分点M1,M2,,Mn1,与AM0,BMn一起把有向曲线AB分成n个有向小曲线段Mi1Mi(i1,2,,n),若记小曲线段Mi1Mi的弧长为si,则分割T的细度为
Tm1ianxsi。
设力F(x,y)在x轴和y轴方向的投影分别为P(x,y)与Q(x,y),那么
F(x,y)(P(x,y),Q(x,y))。
又设小曲线段Mi1Mi在x轴与y轴上的投影分别为xixixi1与yiyiyi1,其
中(xi,yi)与(xi1,yi1)分别为分点Mi与Mi1的坐标,记
LMiMi1(xi,yi),
于是力F(x,y)在小曲线段Mi1Mi上所作的功
WiF(i,i)LMi1Mip(i,i)xiQ(i,i)yi,
其中(i
i)为小曲线段Mi1Mi上任一点。
因而力F(x,y)沿曲线AB所作的功近似的等于
当细度T0时,上式右边和式的极限就应该是所求的功。
这种类型的和式的极限就是下面所要讨论的第二型曲线积分。
定义1设函数P(x,y)与Q(x,y)定义在平面有向可求长度曲线上。
对L的任一分割
T,它把L分成n个小曲线段
Mi1Mi(i1,2,,n)
其中M0A,MnB。
记各小曲线段Mi1Mi的弧长为si,分割T的细度Tmaxsi。
1in又设T的分点Mi的坐标为(xi,yi),并记。
在每个小曲线段Mi1Mi上任取一点(i,i),若极限
nn
lTim0p(i,i)xilTim0Q(i,i)yi
T0i1T0i1
存在且与分割T与点(i,i)的取法无关,则称此极限为函数P(x,y),Q(x,y)沿有向曲线L上的第二型曲线积分,记为
LP(x,y)dxQ(x,y)dy或ABP(x,y)dxQ(x,y)dy
(1)上述积分也可写作
LP(x,y)dxLQ(x,y)dy
或ABP(x,y)dxABQ(x,y)dy
为书写简洁起见,
(1)式常简写成
PdxQdy或PdxQdy
LAB
若L为封闭的有向曲线,则记为
PdxQdy
(2)
(3)
若记F(x,y)(P(x,y),Q(x,y)),ds(dx,dy),则
(1)式可写成向量形式
LFds或AFBds
于是,力F(x,y)(P(x,y),Q(x,y))沿有向曲线L:
AB对质点所作的功为
WP(x,y)dxQ(x,y)dy。
倘若L为空间有向可求长度曲线,P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)为定义在L上的函数,则可按上述办法类似地定义沿空间有向曲线L上的第二型曲线积分,并记为
P(x,y,z)dxQ(x,y,z)dyR(x,y,z)dz,(4)
或简写成PdxQdyRdz。
当把F(x,y)(P(x,y),Q(x,y),R(x,y))与ds(dx,dy,dz)看作三维向量时,(4)式也可
表示成(3)式的向量形式。
这是两种类型曲线积分的一个重要区别。
类似于第一型曲线积分,第二型曲线积分也有如下一些重要性质:
k
PdxQdy。
二第二型曲线积分的计算i1Li
与第一型曲线积分一样,第二型曲线积分也可化为定积分来计算。
设平面曲线
。
又设P(x,y)与Q(x,y)为L上的连续函数,则沿L从A到B的第二型曲线积分
LP(x,y)dxQ(x,y)dyPt,ttQt,ttdt
仿照1中定理20.1的方法分别证明
P(x,y)dxPt,ttdt
Q(x,y)dxQt,ttdt,
由此便可得公式(6),这里不再赘述了。
沿L
对于沿封闭曲线的第二型曲线积分
(2)的计算,可在L上任意选取一点作为起点,
所指定的方向前进,最后回到这一点。
(i)直线AB;
(iii)这里L是一条封闭曲线,故可从A开始,应用上段的性质2,分别求沿AD,DB和BA上的线积分然后相加即可得到所求之曲线积分。
由于
沿
直
线
AD:
xx,y
1(1x
2)的线积分为
ADxydx(y
x)dy
AD
xydx
23。
xdx。
12
沿直线DB:
x
2,y
y(1
y
3)的线积分为
xydx
DB
(yx)dy
3
DB(yx)dy1(y
2)dy
0。
沿直线BA的线积分可由(i)及公式(5)得到
BAxydx(yx)dyABxydx(yx)dy所以
25
6
3
Lxydx(yx)dyDB(yx)dy20
25
6
例2计算xdy
ydx,这里L:
(i)沿抛物线
2
2x2,从O到B的一段(图20-4);
(ii)沿直线段OB:
y
2x;(iii)沿封闭曲线OABO。
解(i)xdy
ydx1x(4x)2x2dx16x2dx
2。
(ii)xdyydx
(2x2x)dx412。
(iii)在OA一段上,
y0,0x1;在AB一段上,
1,0y
2;在BO一段上与
2x从x
xdy
OA
ydx
0dxo
0,
xdy
AB
ydx
2
1dx
1
2,
xdy
BO
ydx
OBxdy
ydx
2,(见(ii))。
xdy
ydx
OA
AB
BO
0220
对于沿空间有向曲线的第
二型曲线积分的计算公式也与
的参量方程为
x
x(t),
L:
y
y(t),
t
z
z(t),
点为
(x(
),y(
),z(
))
,终点
(ii)一样是y
0的一段。
所以
1
因此
为
Qdy
Rdz
线L
起
(6)式相仿。
设空间有向光滑曲
(x(),y(
),z()),则
LPdx
P(x(t),y(t),z(t))x(t)Q(x(t),y(t),z(t))y(t)R(x(t),y(t),z(t))z(t)dt
。
(7)
这里要注意曲线方向与积分上下限的确定应该一致。
例3计算第二型曲线积分Ixydx(yx)dyx2dz,
其中L是螺旋曲线xacost,yasint,zbt,从t0到t上的一段。
解由公式(7),
0(a3costsin2ta2cos2t
a2sintcost
a2bcos2t)dt
12a2()
1
33122
12
1
asintasint
a2(1b)t
sin2t
3
2
2
20
12
a
(1b)。
2
例4求在力F(y,x,xyz)作用下,
(i)质点由A沿螺旋线L1到B所作的功(图205),其中
L1:
xacost,yasint,zbt,0t2;
(ii)质点由A沿直线L2到B所作的功。
解如本节开头所述,在空间曲线L上力F所做的功为
WFdsydxxdy(xyz)dy。
(i)由于dxasintdt,dyacostdt,dzbdt,所以
W0(a2sin2ta2cos2tabcostabsintb2t)dt2(b2a2)。
(ii)L2的参量方程为
xa,y0,zt,0t2b。
由于dx0,dy0,dzdt,所以
2b
W(at)dt2b(ab)。
0
复习思考题、作业题
1
(1)(4),2
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