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极限及导数练习题及答案
极限及导数练习题及答案
淮南联合大学基础部
2008年10月
第一章映射,极限,连续
习题一集合与实数集
基本能力层次:
1:
已知:
A={x|1≤x≤2}∪{x|5≤x≤6}∪{3},B={y|2≤y≤3}求:
在直角坐标系内画出A×B
解:
如图所示A×B={|x?
A,y?
B}.2:
证明:
∵P为正整数,∴p=2n或p=2n+1,当p=2n+1时,p2=4n2+4n+1,不能被2整除,故p=2n。
即结论成立。
基本理论层次:
习题二函数、数列与函数极限
基本能力层次
1:
解:
2:
证明:
由所以命题成立
得cxy?
ay?
ax?
b即x?
ay?
b
,所以x?
fcy?
a
3:
y?
2?
xy?
y?
?
解:
4:
用极限定义证明:
lim
2
lg?
0,x?
0?
?
1,x?
0?
?
n?
1
?
1
n?
?
nn?
1111
?
1|成立,只要n?
取N=[],则当n>N时,就有证明:
因为?
?
有|nn?
?
n?
11n?
1|?
1|有定义变知lim?
1成立
n?
?
nnn
5:
求下列数列的极限
n12?
22n2
limnlim
n?
?
3n?
?
n3
n
nnn2n2n
解:
?
n?
n,又?
limn?
0,所以0?
limn?
0,故:
limn=0
n?
?
3n?
?
3x?
?
333
12?
22n2n111
?
?
由于
n3n36nn111112?
22n21
又因为:
lim?
所以:
limn?
?
6n?
?
nn3n3
因为:
所以:
因为:
1?
n
11
?
1?
,并且lim?
1,故由夹逼原理得
n?
?
nn
n?
1
6:
解:
由于
7:
解:
8:
9:
习题三无穷小与无穷大、极限运算法则及两个重要极限
基本理论层次
1:
解:
习题1.2
3.求下列极限
?
limn?
?
n?
0
?
?
1?
为无穷小量。
?
n
3.求下列函数的极限x3?
2xlim2;x?
?
x?
1
1
3x?
1?
lim解:
?
lim3?
0x?
?
x?
2xx3x2?
x3?
2x?
lim2不存在。
x?
?
x?
1
limtan5x;x?
02x
解:
原式=limsin5x1?
x?
02xcos5x
5sin5x1?
lim?
?
limx?
025xx?
0cos5x
5?
limtanx?
sinxx?
0x
1?
1sinx解:
原式=lim?
2x?
0xx
sinx11?
cosx?
lim?
?
x?
0xcosxx2
sinx11?
cosx?
lim?
lim?
limx?
0xx?
0cosxx?
0x2
x2sin2
?
1?
1?
lim2x?
0x
xsin21?
lim?
x?
02x2
2
1?
limtanx?
0?
x2;
解:
原式=limlimtanx?
0x?
0?
x2?
1?
0?
01
limx
x?
0;
1
?
2x?
2解:
原式=lim[)x?
0]?
e?
2
?
x?
4?
lim?
?
xx?
1?
2x?
1;
2x?
11?
解:
原式=lim?
1?
?
x5?
?
令t?
x?
1,则x?
?
5t?
1;x?
?
时t5
?
10t?
3?
1?
原式?
lim?
1?
?
tt?
?
?
1lim?
1?
?
tt?
?
e?
10limt10?
1?
?
lim?
1?
?
tt?
?
31?
cosmx;x?
0x
2sinmx2)mx2
2?
limmx?
02sinlim;x?
?
x?
1
解:
?
limx?
1x?
1?
lim?
limx?
?
x3?
2xx?
?
x2x?
?
1x2?
2x2?
12?
0x2
不存在。
?
xlim?
?
x?
1
3?
?
1?
limx?
1?
1?
x1?
x?
?
1?
x?
x23?
解:
原式=lim?
?
3?
x?
11?
x?
?
?
2?
x?
x2
?
limx?
1
?
limx?
1
?
?
limx?
x?
11?
x?
x2
?
?
1lim?
x?
?
1?
?
sinx?
xsin?
.x?
?
x
解:
原式?
limsinx?
limx?
?
x?
?
x
xsin1?
0?
1?
1
x2?
ax?
b?
5,求a、b..设limx?
11?
x
解:
由题意limx?
ax?
b?
lim1?
x?
0x?
1x?
12
?
1?
a?
b?
0
?
b?
?
x2?
ax?
bx2?
ax?
?
5?
lim?
?
limx?
1x?
11?
x1?
x
?
lim?
x?
11?
x
?
?
lim?
x?
1
?
a?
?
7
?
a?
?
7,b?
6
?
sin3x,x?
0?
5.若f?
?
ax在点x?
0处连续,求a的值.
?
x?
0?
1,
解:
有题意limf?
fx?
0
即limsin3x3sin3x?
1?
lim?
?
1x?
0x?
0aax3x
3sin3x?
lim?
lim?
1x?
0ax?
03x
3?
?
1?
1a
?
a?
3
习题1.4
2.求曲线y?
x2?
2x?
1在点的切线方程,并作出函数的图像及其切线.解:
曲线y?
x2?
2x?
1在点的切线的斜率为
k?
y?
|x?
?
1?
?
|x?
?
1?
?
|x?
?
1?
0
?
切线方程为y=0
3?
?
x,3.判断函数f?
?
2?
?
x,
3x?
0x?
0在x?
0处是否连续?
是否可导?
f?
limx?
f解:
?
lim?
?
x?
0x?
0
f?
limx?
f且lim?
?
x?
0x?
02
导数定义的利用
例若lim
?
x?
0
f?
f
?
x
12
?
k,则lim
?
x?
0
f?
f
?
x
等于
A.2kB.kC.kD.以上都不是
分析:
本题考查的是对导数定义的理解,根据导数定义直接求解即可解:
由于lim
?
x?
0
f?
f
?
x2?
?
x2?
?
x
?
2
?
2k,应选A
?
lim
f?
f
?
x?
0
?
2?
lim
f?
f
?
x?
0
求曲线方程的斜率和方程
例已知曲线y?
x?
1x
上一点A,用斜率定义求:
2
5
点A的切线的斜率点A处的切线方程
分析:
求曲线在A处的斜率kA,即求lim解:
?
y?
f?
f
12?
?
x
12
?
?
x2
f?
f
?
x
?
x?
0
?
2?
?
xx
lim
?
x?
0
?
y
x?
x?
?
lim?
x?
02?
x?
x?
x?
?
?
?
13
lim?
?
1?
?
?
x?
024?
?
切线方程为y?
即3x?
4y?
4?
0
52
?
34
说明:
上述求导方法也是用定义求运动物体S?
S在时刻t0处的瞬时速度的步骤.
判断分段函数的在段点处的导数
?
12
?
?
2
例已知函数f?
?
,判断f在x?
1处是否可导?
?
1?
?
2
分析:
对分段函数在“分界点”处的导数问题,要根据定义来判断是否可导.
1
?
y?
x
?
lim?
x?
0
?
2
?
1?
?
x
?
1
?
1
2
解:
lim
?
x?
0
lim?
?
x?
0
?
y?
x
?
lim
?
x?
0
1?
12?
?
?
2?
2?
?
?
x
?
12
∴f在x?
1处不可导.
f?
f
?
x
说明:
函数在某一点的导数,是指一个极限值,即lim
?
x?
0
,当?
x?
0;
包括?
x?
0;?
x?
0,判定分段函数在“分界处”的导数是否存在时,要验证其左、右极限是否存在且相等,如果存在且相等,才能判定这点存在导数,否则不存在导数.
?
?
利用导数定义的求解
例设函数f在点x0处可导,试求下列各极限的值.
1.lim2.lim
f?
f
?
x2h
k?
0
;
.
?
x?
0
f?
f
h?
0
3.若f?
?
2,则lim
f?
f
2k12
等于
A.-1B.-C.-1D.
分析:
在导数的定义中,增量?
x的形式是多种多样的,但不论?
x选择哪种形式,?
y也必须选择相对应的形式.利用函数f在点x0处可导的条件,可以将已给定的极限式班等变形转化为导数定义的结构形式.
解:
1.原式=lim
?
x?
0
f?
f
?
?
?
lim
?
x?
0
f?
f
?
?
x
2h
?
?
f?
2.原式=lim
f?
f?
f?
f
h?
0
?
f?
ff?
f?
1?
lim?
lim
?
h?
02?
h?
h?
h?
0?
12
?
?
f?
?
ff?
.
?
2,
3.?
f?
?
lim∴lim
k?
0
f?
x0f
?
k
k?
0
f?
f
2k
lim
k?
0
?
?
12
f?
1212
ff
?
k
?
2?
?
1.故选A.
说明:
概念是分析解决问题的重要依据,只有熟练掌握概念的本质属性,把握其内涵与
外延,才能灵活地应用概念进行解题,不能准确分析和把握给定的极限式与导数的关系,盲目套用导数的定义是使思维受阻的主要原因.解决这类问题的关键就是等价变形,使问题转化.
利用定义求导数
例1.求函数y?
x在x?
1处的导数;
2
2.求函数y?
x?
ax?
b的导数.
分析:
根据导数的概念求函数的导数是求导数的基本方法,确定函数y?
f在x?
x0
处的导数有两种方法,应用导数定义法和导函数的函数值法.
解:
1.解法一:
?
y?
?
y?
xlim
?
x?
0
?
?
x?
1,
?
?
?
x?
1?
x1?
?
x?
1
?
?
12
1?
?
x?
1,?
y?
x?
1
12.
?
解法二:
?
y?
?
y?
x
x?
?
x?
?
x
x
1x?
?
x?
x
x?
?
x?
x,
?
?
lim
?
x?
0
?
y?
x
?
lim
?
x?
0
1x?
?
x?
12
x
?
2
1x
.
∴y?
?
12
x
?
y?
x?
1
?
.
2.?
y?
[?
a?
b]?
?
2x?
?
x?
?
a?
?
xx?
?
y?
xlim
?
x?
0
22
22
?
?
?
x?
?
x
2
x,
?
y?
x
?
lim?
2x?
a,?
y?
?
2x?
a.
?
x?
0
说明:
求导其本质是求极限,在求极限的过程中,力求使所求极限的结构形式转化为已知极限的形式,即导数的定义,这是能够顺利求导的关键,因此必须深刻理解导数的概念.
证明函数的在一点处连续
例证明:
若函数f在点x0处可导,则函数f在点x0处连续.
分析:
从已知和要证明的问题中去寻求转化的方法和策略,要证明f在点x0处连续,必须证明limf?
f.由于函数f在点x0处可导,因此,根据函数在点x0处
x?
x0
可导的定义,逐步实现两个转化,一个是趋向的转化,另一个是形式的转化.
解:
证法一:
设x?
x0?
?
x,则当x?
x0时,?
x?
0,
limf?
limf
x?
x0
x?
x0
?
lim
x?
x0
?
f?
f?
f?
?
lim
?
f?
f?
?
?
x?
f?
x?
x0?
?
x?
?
f?
f
?
x
?
lim?
x?
limf
?
x?
0
?
x?
0
?
lim
?
x?
0
?
f?
?
0?
f?
f.
∴函数f在点x0处连续.
证法二:
∵函数f在点x0处可导,∴在点x0处有
lim[f?
f]?
lim?
y
?
x?
0
x?
x0
?
y?
?
y?
?
limx?
?
lim?
lim?
xx?
0?
x?
0?
x?
x?
0?
?
x?
?
f?
?
0?
0
∴limf?
f.∴函数f在点x0处连续.
x?
x0
说明:
对于同一个问题,可以从不
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