加速度放大系数理论解的分析过程3质点.docx
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加速度放大系数理论解的分析过程3质点
分析过程
1说明
为分析上柔下刚结构在不同刚度比情况下的地震作用规律,以期求出此种结构形式上部木结构简化分析方法,采用振型分解反应谱法对一定数量的算例进行了比较、归纳总结,在有限的样本容量下得到了一些结论。
在计算分析时,做如下假定:
1、阻尼比的取值,统一取取5%;场地土类型为中国抗震规范规定的
类(及上海地区场地土类型);地震影响系数最大值统一取0.24。
2、分析为线弹性分析,计算方法采用中国抗震规范规定的振型分解反应谱法。
对于二层结构,底层刚度、质量分别用K1,m1表示,二层刚度质量分别用符号K2,m2表示。
且本文中将K1/(m1+m2)与K2/m2的比值定义为刚度质量综合比。
2二层结构
先从简单的二层结构进行分析,并总结其可能存在的规律。
参数取下值。
底层质量取10.5t,二层质量取3.5t。
2.1当二层的刚度=2.0kN/mm时
当二层的侧移刚度是2.0kN/mm,而底层的刚度不断变化时,采用振型分解反应谱法得到二层的层间剪力见下表2.1.1所示。
其中,仅考虑二层木结构时,为单自由度体系,其基底剪力按基底剪力法计算:
T=0.26s,Gk=9.8X3.5=34.3kN,基底剪力F=0.24X34.3=8.23kN,放大系数为振型分解法得到的二层层间剪力与此基底剪力的比值。
表2.1.1
底层刚度
刚度质量综合比
二层层间剪力
放大系数
0.125
0.02
2.89
0.3513
0.25
0.03
3.99
0.4849
0.5
0.06
5.57
0.6762
1
0.13
7.91
0.9614
1.5
0.19
9.50
1.1540
2
0.25
9.95
1.2089
4
0.50
11.64
1.4142
6
0.75
12.71
1.5442
8
1.00
13.02
1.5811
9
1.13
12.96
1.5746
10
1.25
12.83
1.5584
20
2.50
11.01
1.3377
30
3.75
10.07
1.2236
40
5.00
9.59
1.1648
50
6.25
9.30
1.1294
90
11.25
8.80
1.0694
图2.1.1二层层间剪力、放大系数随刚度变化曲线
由表1、表2可知,放大系数在底层刚度为8kN/mm、刚度比为4、刚度质量综合比为1.0时,产生最大值1.58。
底层刚度为20kN/mm、刚度比为10、刚度质量综合比为2.5时,放大系数为1.34。
2.2当二层的刚度=4.0kN/mm、16kN/mm时
当二层的侧移刚度是4.0kN/mm时,而底层的刚度不断变化时,采用振型分解反应谱法得到二层的层间剪力见下表2.2.1所示。
其中,仅考虑二层木结构时,为单自由度体系,其基底剪力按基底剪力法计算:
T=0.19s,Gk=9.8X3.5=34.3kN,基底剪力F=0.24X34.3=8.23kN,放大系数为振型分解法得到的二层层间剪力与此基底剪力的比值。
表2.2.1二层刚度为4.0kN/mm时
底层侧移刚度(kN/mm)
刚度质量综合比
剪力
放大系数
0.25
0.02
3.95
0.48
0.50
0.03
5.45
0.66
1.00
0.06
7.60
0.92
2.00
0.13
9.06
1.10
3.00
0.19
9.50
1.15
4.00
0.25
9.95
1.21
8.00
0.50
11.64
1.41
12.00
0.75
12.71
1.54
16.00
1.00
13.02
1.58
18.00
1.13
12.96
1.57
20.00
1.25
12.83
1.56
40.00
2.50
11.00
1.34
60.00
3.75
10.04
1.22
80.00
5.00
9.56
1.16
100.00
6.25
9.28
1.13
180.00
11.25
8.80
1.07
图2.2.1二层刚度为4.0kN/mm时
由上表可以看出,放大系数与2.1节得到的数据完全相同。
当二层的侧移刚度取16.0kN/mm时,而底层的刚度不断变化时,采用振型分解反应谱法得到二层的层间剪力见下表2.2.2所示。
其中,仅考虑二层木结构时,为单自由度体系,其基底剪力按基底剪力法计算:
T=0.09s,Gk=9.8X3.5=34.3kN,基底剪力F=0.232X34.3=7.96kN,
底层侧移刚度
刚度质量综合比
二层层间剪力
放大系数
1
0.015625
7.37
0.93
2
0.03125
8.43
1.06
4
0.0625
8.63
1.08
8
0.125
9.05
1.14
12
0.1875
9.48
1.19
16
0.25
9.92
1.25
32
0.5
11.54
1.45
48
0.75
12.53
1.57
64
1
12.79
1.61
72
1.125
12.73
1.60
80
1.25
12.60
1.58
160
2.5
10.82
1.36
240
3.75
9.81
1.23
320
5
9.31
1.17
400
6.25
9.02
1.13
720
11.25
8.51
1.07
由上表中数据,可以看出,放大系数与2.1节得到的数据略有差距,当刚度质量综合比为1时,放大系数为1.61>1.58。
产生这个现象的原因是顶层木结构的周期为0.09s,已不再位于地震影响系数的水平段。
因此,在考虑放大系数时,还需考虑地震影响系数不同来进行修正。
2.3当将底层的质量增大,即改变质量比时,对结果的影响
前面计算基于底层质量M=10.5t。
如果底层为剪力墙结构,考虑4X6面积的外墙三面为200厚墙体,层高3m,则质量增加量为:
0.5*3*(6+6+4)*0.2*25=120kN=12t,则将底层质量增大为22.5t后重新计算。
2.3.1底层质量22.5t时计算结果
计算数据文件为2层-8-m2。
由计算结果可见,最大值的出现在刚度质量综合比等于1时。
表2.3.1
底层刚度
刚度质量综合比
二层剪力
放大系数
0.5
0.008
4.07
0.4944
1
0.017
5.60
0.6800
2
0.034
7.75
0.9419
4
0.067
8.75
1.0623
8
0.135
9.33
1.1330
16
0.269
10.69
1.2986
32
0.538
13.90
1.6891
48
0.808
16.39
1.9906
56
0.942
16.86
2.0478
60
1.010
16.90
2.0527
64
1.077
16.83
2.0449
72
1.212
16.47
2.0002
80
1.346
15.90
1.9313
120
2.019
13.25
1.6090
160
2.692
11.75
1.4273
200
3.365
10.90
1.3246
360
6.058
9.57
1.1626
1000
16.827
8.67
1.0538
1600
26.923
8.50
1.0330
上面的数据中,当底层刚度为60时,此时刚度质量综合比约为1,放大系数最大,为2.05;与质量m1=10.5得到的剪力相比增大了:
16.9/13.0=1.3倍。
2.4二层结构放大系数的理论解析解
对两层结构,底层质点质量刚度分别为m1,k1,顶层质点质量和刚度分别为m2,k2;并有如下定义:
可得:
其中,
为二层结构的自振圆频率。
定义结构的第一振型向量为:
(1,
)
其中,
当仅考虑第一振型时,由国家抗震规范振型分解反应谱法,顶层质点的地震力:
,
顶层地震力相对于直接座落于基础上的放大系数:
,即前面我们所描述的放大系数。
值得一提的是,此式成立的前提是两者的地震影响系数相等,当不同时,还需考虑影响系数差异对放大系数的影响。
2.5理论解与振型分解法计算结果比较
2.10.1下面选取了二层结构,质量为10.5t和3.5t,二层刚度为4的振型分解法计算放大系数与理论解间进行比较。
数据如下。
质量比
刚度质量综合比
放大系数
理论解
振型分解
计算结果
0.25
0.016
1.01
0.48
0.25
0.031
1.02
0.66
0.25
0.063
1.05
0.92
0.25
0.125
1.10
1.10
0.25
0.188
1.14
1.15
0.25
0.250
1.19
1.21
0.25
0.500
1.37
1.41
0.25
0.750
1.47
1.54
0.25
1.000
1.50
1.58
0.25
1.125
1.49
1.57
0.25
1.250
1.48
1.56
0.25
2.500
1.30
1.34
0.25
3.750
1.21
1.22
0.25
5.000
1.15
1.16
0.25
6.250
1.12
1.13
0.25
11.250
1.07
1.07
比较图
2.10.2将二层结构质量为22.5t和3.5t,二层刚度为8的振型分解法计算放大系数与理论解间进行比较。
数据如下。
质量比
刚度质量综合比
放大系数
理论解
振型分解
计算结果
0.1346
0.0
1.01
0.49
0.1346
0.0
1.01
0.68
0.1346
0.0
1.03
0.94
0.1346
0.1
1.06
1.06
0.1346
0.1
1.13
1.13
0.1346
0.3
1.27
1.30
0.1346
0.5
1.58
1.69
0.1346
0.8
1.82
1.99
0.1346
0.9
1.86
2.05
0.1346
1.0
1.86
2.05
0.1346
1.1
1.86
2.04
0.1346
1.2
1.82
2.00
0.1346
1.3
1.78
1.93
0.1346
2.0
1.54
1.61
0.1346
2.7
1.39
1.43
0.1346
3.4
1.30
1.32
0.1346
6.1
1.16
1.16
0.1346
16.8
1.05
1.05
0.1346
26.9
1.03
1.03
结论:
有上表和上图可看出:
理论解在刚度质量综合比小于2.5时小于准确解。
但当大于2.5时,与准确解逐渐接近。
因此,在已知质量比、刚度比的前提下,若各周期对应的地震影响系数相等,那么就可应用该理论公式求解放大系数。
2.6采用二层结构的放大系数理论解分析质量比不同对放大系数的影响
当刚度质量综合比一定,而质量比不同时,放大系数的变化见下表2.6.1
质量比
刚度质量综合比
放大系数理论解
0.05
1.000
2.74
0.1
1.000
2.08
0.15
1.000
1.79
0.2
1.000
1.62
0.25
1.000
1.50
0.3
1.000
1.41
0.35
1.000
1.35
0.4
1.000
1.29
0.45
1.000
1.25
0.5
1.000
1.21
0.55
1.000
1.17
0.6
1.000
1.15
0.65
1.000
1.12
0.7
1.000
1.10
0.75
1.000
1.08
0.8
1.000
1.06
质量比
刚度质量综合比
放大系数理论解
0.05
2.500
1.56
0.1
2.500
1.47
0.15
2.500
1.40
0.2
2.500
1.35
0.25
2.500
1.30
0.3
2.500
1.26
0.35
2.500
1.23
0.4
2.500
1.20
0.45
2.500
1.17
0.5
2.500
1.15
0.55
2.500
1.13
0.6
2.500
1.11
0.65
2.500
1.09
0.7
2.500
1.08
0.75
2.500
1.06
0.8
2.500
1.05
表格中,质量比的定义为m2/(m1+m2),当刚度质量综合比等于1时,放大系数最大。
当刚度质量综合比等于2.5时,上下二层质点的振动耦连关系已开始减弱(这一点从振型向量可以看出),该比值可以定义为采用考虑放大系数计算顶层木结构的分界点。
对于底层质量10.5t,二层质量3.5t的结构,刚度质量综合比为2.5时,对应的下上刚度比为10,这也是上海轻木规范中取用的刚度比分界点。
3三层结构
依照同样的方法,对三层结构进行了分析。
分析时,底层质量分别计算了10.5t、22.5t两种情况。
二层质量为3.5t,三层质量为1.1t。
为轻木混凝土结构振动台试验的模型质量。
3.1计算结果
以下是单独顶层两层的计算结果:
振型分解法
T
刚度
层数
第1振型
第2振型
α
重量(kN)
γ
F1(kN)
F2(kN)
V1(kN)
V2(kN)
V(Base)
0.300726
4
1
0.618034
1
0.24
34.3
1.17
5.96
2.28
15.59
0.87
15.6
0.114867
4
2
1
-0.61803
0.24
34.3
0.28
9.64
-1.41
9.64
-1.41
9.7
如果顶部两层可仅考虑第一振型的振动。
那么按照以下方法将其等效为单质点体系,质量记为meq,刚度记为Keq:
质量meq=0.85(m2+m3)=5.95t。
刚度K按照第一周期反推得到:
(需要确定Keq更为简化的计算方法)
该质点的刚度质量综合比:
顶部两层等效为单质点后,质量比为meq/(m1+meq)=0.85*(3.5+3.5)/[10.5+0.85*(3.5+3.5)]=0.3617。
刚度质量综合比的计算公式为K1/(m1+m2+m3)与Keq/meq的比值。
按照二层结构的放大系数理论解求得的结果与振型分解法计算比较,如下表及下图所示,可见数据吻合较好。
证明以上的等效方法是适用的。
质量比
刚度质量综合比
放大系数理论解
放大系数计算解
0.361702
0.033
1.02
0.459
0.361702
0.067
1.04
0.634
0.361702
0.134
1.08
0.885
0.361702
0.267
1.16
1.198
0.361702
0.535
1.27
1.295
0.361702
0.802
1.32
1.336
0.361702
1.070
1.33
1.339
0.361702
1.337
1.32
1.323
0.361702
1.605
1.29
1.300
0.361702
2.139
1.25
1.254
0.361702
2.674
1.21
1.216
0.361702
3.209
1.18
1.186
0.361702
5.348
1.11
1.117
0.361702
8.023
1.08
1.079
3.2三层结构分析结论
由计算比较发现。
当顶层为两质点时,如果仅考虑一阶振型足够。
那么顶层两质点体系的放大系数可以通过前面放大系数理论公式来计算。
这时,上层两质点的周期,取两质点的第一周期;质量的取值分下面两种情况:
1)当上层两质点体系为竖向规则结构时,质量可取上层质量总和的0.85倍(0.85是参考底部剪力法推导时的等效质量系数);比较结果如下:
假设从下到上的刚度质量分别为:
K1、K2、K3,m1,m2,m3
上图,K2=K3=4,m1=10.5t,m2=m3=3.5t
上图,K2=4,K3=2,m1=22.5t,m2=3.5t,m3=1.1t
上图,K2=4,K3=2,m1=10.5t,m2=3.5t,m3=1.1t
以上各图吻合很好,原因是因为上部两个质点体系近似为均匀结构体系。
2)但当上部结构体系不均匀时,等效质量的取值需进一步研究,以下是比较结果。
上图,K2=8,K3=2,m1=22.5t,m2=3.5t,m3=1.1t
上图,K2=8,K3=2,m1=10.5t,m2=3.5t,m3=1.1t
由上图可以看出,理论曲线与整体计算曲线相比数值偏小,相差超过10%。
原因是因为等效质量的取值偏大引起的。
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