广东广州市第四十七中学届高三数学份高考模拟.docx
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广东广州市第四十七中学届高三数学份高考模拟
广州市第四十七中学2017届高三数学12月份高考模拟试题
满分150分.时120分钟.
一、选择题:
本大题共10小题,每小题5分,满分50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.设集合
,集合
,则
等于
A.
B.
C.
D.
2.已知复数
的实部为
,且
,则复数
的虚部是
A.
B.
C.
D.
3.已知命题
:
,
,那么
是
A.
,
B.
,
C.
,
D.
,
4.为了解一片速生林的生长情况,随机测量了其中100株树木的底部周长(单位:
cm).根据所得数据画出样本的频率分布直方图(如右),那么在这100株树木中,底部周长小于110cm的株数是
A.30B.60
C.70D.80
5.函数
,
则
A.
为偶函数,且在
上单调递减;
B.
为偶函数,且在
上单调递增;
C.
为奇函数,且在
上单调递增;
D.
为奇函数,且在
上单调递减.
6.设等比数列
的前
项和为
,则“
”是“
”的
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
7.已知幂函数
,当
时,恒有
,则
的取值范围是
A.
B.
C.
D.
8.设
、
是不同的直线,
、
、
是不同的平面,有以下四个命题:
①若
则
②若
,
,则
③若
,则
④若
,则
其中真命题的序号是
A.①④B.②③C.②④D.①③
9.直线
与不等式组
表示平面区域的公共点有
A.0个B.1个C.2个D.无数个
10.已知平面上的线段
及点
,在
上任取一点
,线段
长度的最小值称为点
到线段
的距离,记作
.设
是长为2的线段,点集
所表示图形的面积为.
A.
B.
C.
D.
二、填空题:
本大共5小题.考生作答4小题,每小题5分,满分20分.
(一)必做题(11~13题)
11.已知向量
满足
则向量
与
的夹角为.
12.已知圆
经过点
和
且圆心
在直线
上,则圆
的方程为.
13.将集合{
|
且
}中的元素按上小下大,
左小右大的原则排成如图的三角形数表,将数表中位于
第
行第
列的数记为
(
),则
=.
(二)选做题(14~15题,考生只能从中选做一题)
14.(坐标系与参数方程)在极坐标系中,设曲线
与
的交点分别为
,则线段
的垂直平分线的极坐标方程为.
15.(几何证明选讲)如图,圆
的直径
,
直线
与圆O相切于点
,
于D,
若
,设
,则
______.
三、解答题:
本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16.(本题满分12分)
在平面直角坐标系
中,以
为始边,角
的终边与单位圆
的交点
在第一象限,
已知
.
(1)若
求
的值.
(2)若
点横坐标为
求
.
17.(本题满分12分)
市民李生居住在甲地,工作在乙地,他的小孩就读的小学在丙地,三地之间的道路情况如图所示.假设工作日不走其它道路,只在图示的道路中往返,每次在路口选择道路是随机的.同一条道路去程与回程是否堵车互不影响.假设李生早上需要先开车送小孩去丙地小学,再返回经甲地赶去乙地上班,
(1)写出李生可能走的所有路线;(比如DDA表示走D路从甲到丙,再走D路回到甲,然后走A路到达乙);
(2)假设从甲到乙方向的道路B和从丙到甲方向的
道路D道路拥堵,其它方向均通畅,但李生不知道
相关信息,那么从出发到回到上班地没有遇到过拥堵的概率是多少?
.
18.(本题满分14分)
如图,在四棱柱
中,已知底面
是边长为
的正方形,侧棱
垂直于底面
,且
.
(1)点
在侧棱
上,若
,
求证:
平面
;
(2)求三棱锥
的体积
.
19.(本题满分14分)
已知椭圆
和抛物线
有公共焦点
的中心和
的顶点都在坐标原点,直线
过点
.
(1)写出抛物线
的标准方程;
(2)若坐标原点
关于直线
的对称点
在抛物线
上,直线
与椭圆
有公共点,求椭圆
的长轴长的最小值.
20.(本题满分14分)
环保刻不容缓,或许人类最后一滴水将是自己的泪水.某地水资源极为紧张,且受工业污染严重,预计
年后该地将无洁净的水可用.当地决定重新选址建设新城区,同时对旧城区进行拆除.已知旧城区的住房总面积为
,每年拆除的数量相同;新城区计划第一年建设住房面积
,前四年每年以
的增长率建设新住房,从第五年开始,每年都比上一年增加
.设第
)年新城区的住房总面积为
,该地的住房总面积为
.
(1)求
的通项公式;
(2)若每年拆除
,比较
与
的大小.
21.(本题满分14分)
已知函数
,
,
是常数.
(1)求
的单调区间;
(2)若
有极大值,求
的取值范围.
参考答案
一、填空题BDBCACBDBD
二、填空题
11.
12.
13.
14.
(或
)15.
三、解答题
16.⑴解法1、
由题可知:
,
,……1分
,
……2分
,得
……3分
∴
,
……4分
解法2、
由题可知:
,
……1分
,
……2分
∵
,∴
……3分
,得
……4分
解法3、
设
,(列关于x、y的方程组2分,解方程组求得x、y的值1分,求正切1分)
⑵解法1、
由⑴
,记
,
∴
,
(每式1分)……6分
∵
,得
(列式计算各1分)……8分
(列式计算各1分)……10分
∴
(列式计算各1分)……12分
解法2、
由题意得:
的直线方程为
……6分
则
即
(列式计算各1分)……8分
则点
到直线
的距离为
(列式计算各1分)……10分
又
,∴
(每式1分)…12分
解法3、
即
(每式1分)……6分
即:
,
,……7分
,
,
……9分
(模长、角的余弦各1分)
∴
……10分
则
(列式计算各1分)……12分
解法4、根据坐标的几何意义求面积(求B点的坐标2分,求三角形边长2分,求某个内角的余弦与正弦各1分,面积表达式1分,结果1分)
17.⑴李生可能走的所有路线分别是:
DDA,DDB,DDC,DEA,DEB,DEC,EEA,EEB,EEC,EDA,EDB,EDC(1-2个1分,3-5个2分,5-7个3分,7-11个4分,)……5分
共12种情况……6分
⑵从出发到回到上班地没有遇到过拥堵的走法有:
DEA,DEC,EEA,EEC……7分
共4种情况,……8分
所以从出发到回到上班地没有遇到过拥堵的概率
(文字说明1分)……12分
18.⑴解法1、
依题意,
,
,在
中,
……1分
同理可知,
,
(每式1分)……3分
所以
,……4分
则
,……5分
同理可证,
,……6分
由于
,
平面
,
平面
,……7分
所以,
平面
.……8分
解法2、
由
(或
)和
证明
平面
(证明任何一个线线垂直关系给5分,第二个线线垂直关系给1分)
⑵解法1、
如图1,易知三棱锥
的体积等于四棱柱的体积减去四个体积相等的三棱锥的体积,即
(文字说明1分)……11分
……13分
……14分
解法2、
依题意知,三棱锥
的各棱长分别是
,
(每式1分)……10分
如图2,设
的中点为
,连接
,
则
,
,且
,
于是
平面
,……12分
设
的中点为
,连接
,则
,且
,
则三角形
的面积为
,……13分
所以,三棱锥
的体积
.……14分
19.⑴由题意,抛物线
的焦点
,则
……2分
所以方程为:
.……3分
⑵解法1、
设
,则
中点为
,……4分
因为
两点关于直线
对称,所以
(每方程1分)……6分
即
,解之得
,……7分
将其代入抛物线方程,得:
,所以
(列式计算各1分)……9分
联立
,消去
,得:
……11分
由
,得
,……12分
注意到
,即
,所以
,即
,……13分
因此,椭圆
长轴长的最小值为
..……14分
解法2、
设
,因为
两点关于直线
对称,则
,……5分
即
,解之得
.……6分
即
根据对称性,不妨设点
在第四象限,且直线与抛物线交于
如图.则
于是直线
方程为
(讨论、斜率与方程各1分)……9分
联立
,消去
,得:
……11分
由
,得
,……12分
注意到
,即
,所以
,即
,……13分
因此,椭圆
长轴长的最小值为
.……14分
20.⑴设第
年新城区的住房建设面积为
,则当
时,
;……1分
当
时,
.……2分
所以,当
时,
……3分
当
时,
(列式1分)……5分
故
……6分
⑵
时,
,
,显然有
……7分
时,
,
,此时
.……8分
时,
,
(每式1分)……10分
.……11分
所以,
时,
;
时,
.
时,显然
……13分
(对1-2种情况给1分,全对给2分)
故当
时,
;当
时,
.……14分
21.⑴
……1分
设
,其判别式
……2分
①当
时,
,
在定义域
上是增函数;……3分
当
时,由
解得:
(每个根1分)……5分
②当
时,
,
;又
,
,故
,即
在定义域
上有两个零点
在区间
上,
,
,
,
为
上的增函数
在区间
上,
,
,
,
为
上的增函数
在区间
上,
,
,
为
上的增函数.…6分
③当
时,
,在区间
上,
,
,
;在区间
上,
,
,
,……7分
④当
时,函数
的定义域是
,
,
在
上有零点
,在
上有零点
;在区间
和
上,
,
在
和
上为增函数;在区间
和
上,
,
在
和
上位减函数.……8分
综上:
当
时,函数
的递增区间是
;当
时,
的递增区间是
和
递减区间是
;当
时,
的递减区间是
;递增区间是
;当
时,
的递减区间
和
递增区间是
和
.……9分
⑵当
时,
的定义域是
,当
时,
的定义域是
,
,令
,则
(每个导数1分)……11分
在区间
上,
,
是增函数且
;
在区间
上,
,
是减函数且
;
当
时,
.……12分
故当
时,
,
无极大值;
当
时,
,方程
在区间
和
上分别有一解
,此时函数
在
处取得极大值;……13分
当
时,方程
在区间
上有
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