(A)
(D)Eb5)
(D)第四象限
(-3,+∞)(B)(0>1](C)[l∙+α□)
2.若复数Z=注.则在复平面内N对应的点位于
I-TI
(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限
3.在厶ABC中.若α=6,A=60o,3=75°,则C=
(A)4(B)2√2(C)2√3(D)2^
4.设且兀y≠0,则下列不等式中一定成立的是
(A)丄>丄(B)InlJrl>ln∣y丨
(C)2-工<2-,CD)j∙2>^2
5.已知直线TJryJr2=0与圆τ÷j∕2+2jc~2yjra=0有公共点,则实数"的取值范围为
(A)(—8.θ](B)[θ∙+oo)(C)[0,2)(D)(—8,2)
6・设三个向b.c互不共线•则∙+b+c=(Γ是^以Iah∖b∖,ICl为边长的三角
形存在"的
(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件
(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件
7.紫砂壶是中国特冇的手工制造陶土工艺品,其制作始于明朝正徳年间.紫砂壶的壶型众
多•经典的有西施壶.掇球壶、石瓢壶.潘壶等•其中.石瓢壶的壶体可以近似看成一
个圆台(即圆锥用平行于底面的平面截去一个锥体得到的)・下图给出了一个石瓢壶的
相关数据(单位cm),那么该壶的容量约为
(A)IOOcm5
(B)200cm3
(C)300cm3
(D)400cn√
&已知函数∕Q)=√TTΓ+4若存在区间OM].使得函数/Q)在区间DZ上的
值域为[α+l,6+l],则实数〃的取值范围为
(A)(-l,+oo)(B)(一1.0](C)(一+,+8)(D)(—斗,0]
44
第JI卷(非选择题共110分)
二、填空题:
本大题共6小题■每小题5分,共3。
分.
9.在(l-a∙)5的展开式中,的系数为.
10.已知向^α=(-4,6),〃=(2・工)满足a∕∕b,其中jγ∈R,那么Ibl=「・
11.在公差为d(√≠0)的等差数列中,心=一1,且“2,S,如2成等比数列,
则d=.
12.
某四棱锥的三视图如图所示.则该四棱锥的四个侧面中,直角三角形有「个.
13.
对于双曲线,给出下列三个条件:
↑K
①离心率为2;
③实轴长为8,且焦点在工轴上.
写出符合其中两个条件的一个双曲线的标准方程—•俯视图
14.某商贸公司售卖某种水果.经市场调研可知:
在未来20天内,这种水果每箱的销售利
润厂(单位:
元)•与时间/(1≤Z≤2O.疋N∙单位:
天)之间的函数关系式为厂=t'+10∙4
且H销售量y(单位:
箱)与时间Z之间的函数关系式为y≈∖20-2t.
1第4天的销售利润为_元;
2在未來的这20天中.公司决定每销售1箱该水果就捐赠∕w(7w∈N∙)元给“梢准扶
贫”对象.为保证销售积极性.要求捐赠之后每天的利润随时间/的增大而增大,则切
的最小值是.
三、解答题:
本大题共6小题,共80分•解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤•
15.(本小题满分13分)
已知函数f(τ)=2cosα∙∙Sin(X-—)•
□
(I)求函数八工)的最小正周期;
Tr、
(II)求函数/Q)在区间[—㊁•0]上的最小值和最大值•
16.(本小题满分13分)
高铁和航空的飞速发展不仅方便了人们的出行,更带动了我国经济的巨大发展.据统计.在2018年这一年内从A市到E市乘坐高铁或飞机出行的成年人约为50万人次.为了解乘客出行的满意度•现从中随机抽取100人次作为样本,得到下表(单位:
人次):
满意度
老年人
中年人
青年人
乘坐高铁
乘坐飞机
乘坐高铁
乘坐飞机
乘坐高铁
乘坐飞机
10分(满意〉
12
1
20
2
20
1
5分(一般)
2
3
6
2
4
9
0分(不满意)
1
0
6
3
4
4
(I)在样本中任取1个,求这个出行人恰好不是青年人的概率;
(H)在2018年从A市到B市乘坐高铁的所有成年人中,随机选取2人次.记其中老年人出行的人次为X.以频率作为概率,求X的分布列和数学期望;
(III)如果甲将耍从八市岀发到*市.那么根据表格中的数据,你建议甲是乘坐高铁还是飞机?
并说明理由.
17.(本小题满分14分)
如图,在三棱柱ABC-AlBICl中,Bb丄平面人BC,AABC为正三角形,侧面
ABBIAi是边长为2的正方形,D为EC的中点.
(I)求证:
AiB//平面AClDi(Il)求二面角C-ACI-D的余弦值;
(In)试判断直线AlBl与平面ACID的位置关系.并加以证明.
18.(本小题满分13分)
已知椭圆W:
≡r+y=1的右焦点为F,过点F且斜率为k(Λ≠0)的直线/与椭圆W4
交于A,B两点.线段AB的中点为M.O为坐标原点.
(I)证明:
点M在,轴的右侧;
(U)设线段AB的垂直平分线与工轴、,轴分别相交于点C,D.若AODC与ACMF的面积相等.求直线Z的斜率
19.(本小题满分14分)
已知函数/(jr)=ej—-l.
(I)当α=0时,求曲线jr=∕(x)在点(0,/(0))处的切线方程;
(∏)Sa=IH寸,求函数/Cr)的单调区间;
(III)若√^(jr)≥-^-Λ∙2+久+〃对于Λ*∈R恒成立,求b~a的最大值.
20.(本小题满分13分)
设整数集合A={α1,a?
,…,αw>,其中1≤αto≤205,且对于任意
itj(1≤∕≤√≤100)f若,+jWA∙则aiΛ^ay∈A.
(I)请写岀一个满足条件的集合A;
(H)证明:
任意x∈{10h102»…,200},x∉A;
(In)若αm=205.求满足条件的集合八的个数•
北京市西城区2019-2020学年度第一学期期末试卷
一・选择题:
本大题共8小题,每小题5分,共40分•
注:
第14题第一问2分,第二问3分•
三、解答题:
本大题共6小瓯共80分•其他正确解答过程,请参照评分标准给分•
16・(本小题满分13分)
解:
(I)设事件:
“在样本中任取1个,这个出行人恰好不是青年人”为M,
1分
由表可得:
样本中出行的老年人、中年人、青年人人次分别为19,39,42,
2分
(II)由题意,X的所有可能取值为:
0,1,2.
因为在2018年从/市到B市乘坐高铁的所有成年人中,随机选取1人次,此人
(IlI)答案不唯一,言之有理即可・
如可以从满意度的均值来分析问题,参考答案如下:
连接DE.由D,E分别为BC和AC的中点,得DE"AiB.
又因为Z)EU平面AC{D,平面ACiDf所以AXBH平面ACλD.
(II)取QG的中点F,连接M・
因为△川?
C为正三角形,且D为BC中点,所以Q丄BC.
由D,F分别为BC和对G的中点,得DF"B
又因为BBi丄平面ABC,
所以QF丄平面ABC,
所以M丄AD,DUBC.
分别以QC,DFiZM为X轴,y轴,2轴,如图建立空间直角坐标系,…5分则X(O,O,√J),G(1,2,0),¢(1,0,0),D(0,0,0)∙B(-1QO),
所以Dq=(1,2,0),Λ4=(0,0,√3),G4=(-l,0,√3),Cq=(0,2,0),6分设平面ACjD的法向Sλ1=(x1,ypz∣),
由DA∙Λt=0,DCI•”]=0,得[^ZI~θ,iU+2χ=0,
令^=L得W1=(-2,1,0).
设平面AClC的法向⅛W2=(X2>^2»Z2),
由ca∙h2=o,cq∙∏2=o,得产厂°:
令z2=l,得λ2=(√3,0,1).
设二面角C-AC^D的平面角为0,则ICos&同—A坐,
Miimi5
由图可得二面角C-FCl-D为锐二面角,
所以二面角C-JCl-Z)的余弦值为诗•10分
(IIl)结论:
直线旳目与平面AClD相交.11分
证明:
因为AB=(-1,0,-VJ),AXBJIAB,且AiBl=AB,
所以X^=(-l,0-√3)・12分又因为平面ACiD的法向^w1=(-2,1,0),且4¾∙πl=2≠0,
所以丽与耳不垂直,
所以AiBi(Z平面AQD,且与平面ACXD不平行,
故直线人妨与平面力CrD相交.14分
18.(本小题满分13分)
解:
(I)由题意,得F(√3,0),直线人y=k(x-心(Ar≠O>,2分
设心』J,B(x29y2),
^=⅛(x-√3),
联立
rz消去八得(4於+1)〒一8尿3+(12/一4)=0,……3分
τ+∕=ι
4
显然so,宀笛
则点M的横坐标心=洱鱼=哉笛
所以点M在7轴的右侧.
(II)由(I)得点M的纵坐标ZV=HxM-历)=二
4k+1
所以线段初的垂直平分线方程为:
『+岳一知⅛⅜令“。
,得/)(0,謡);令…,得C(船,。
).
13屈3√⅞227以・|糾
7l4λ2+l,l4λ2+l"2(4^+l)2
因为△OQC与ZkCMF的面积相等,馳鹅糾貓册解得*•
13分
&所以当Z∖OQC与ACMF的面积相等时,直线/的斜率k=±=
4
19.(本小题满分14分)
解;(I)由/(x)=ex+∣x∖得Γ(x)=ejr+x,2分
所以/(0)=1,Γ(θ)=ι.
所以曲线P=f(x)在点(0,/(0))处的切线方程为x-y+↑=0.4分
(II)⅛/(x)=eτ-x+∣x2,得/(x)=er-l+x,
则/(0)=0.5分
当x〉0时,由e1-l>0,^>0,得f(x)=0,
所以函数f(x)在(0,+oo)上单调递增;7分
当XVO时,由ex-l<0,x<0,得/,(x)=er-l+x<0,
所以函数/(x)在(YO,0)上单调递减.
综上,函数/(.丫)的单调递增区间为(0,+8),单调递减区间为(-8,0).∙∙∙8分
(Ill)由∕ω≥∣√+x+Z),得cx-(a+l)x-b^0在XGR上恒成立.
设g(兀)=e"_(a+l)x_b>9分
则g(γ)=M-(α+l)・
⅛g,ω=ex-(-l).IO分
随着X变化,g'(x)与g(χ)的变化情况如下表所示:
X
(-oo5ln(σ+1))
ln(α+1)
(ln(α+1),+8)
0(力
—
0
+
g(x)
极小值
Z
所以g(x)在(YMn(G+1))上单调递减,在(ln(α+1),+∞)上单调递增.
所以函数g(x)的最小值为g(ln(α+1))=(λ+1)-(λ+1)ln(α+∖)-b.
由题意,得g(ln(α+l))M0,即6-α≤1-(α+l)ln(α+l).12分
设力(X)=I-XhIX(X>0),则∕*(X)=-InX-I.
因为当00:
当x>1时,-InX-I<0,
ee
所以力(X)在(Oj)上单调递增,在(-,+∞)上单调递减.
CC
所以当X=丄时,Λ‰=A(i)=l+i・
eee
I12
所以当4+1=—,b=a+↑-(a+↑)In(α+1)IR卩α=—一1,Z>=-l⅛,b-α有最
大值为1+丄.14分
e
20.(本小题满分13分)
解:
(I)答案不唯一.如/1={l,2,3,∙∙∙,100};3分
(∏)假设存在一个X。
∈{101,102,…,200}使得XOWAi4分
令Xo=IOO+5,其中SGN且IWsWIOO,
由题意,得CZIoo+tz,∈A,6分
由勺为正整数,得⅜)θ+4>⅜lθ,这与兔°。
为集合M中的最大元素矛盾,
所以任意xw{101,102,…,200},χ^A.8分
(In)设集合/∏{201,202,…,205}中有m(l≤w≤5)个元素,a^m=b1
由題意,得qVV…VqOo~mW200,200Vq3_屮]{。
“血?
<…Vqa),
由(II),得^ιoo-w=t≤100.
假设b>100-"7,贝O/)-100+/W>0.
因为b—100+TMWloO—100+5=5ClOO—加,
由题设条件,得α∣°o++%κw+,4,
因为fl1oo-w+%血仆WIOO+100=200,
所以由(II)可得久―+SowlWl°。
,
这与«100-W为A中不超过100的最大元素矛盾,
所以flιoo-w≤10θ-w,
又因为IWalVa2<…VaIoo•”,a*N,
所以aι=∕(l≤z≤100-wO.10分
任给集合{201,202,203,204}的加-1元子集8,令兔={1,2,…,100-加}UBU{205},
以下证明集合為符合题意:
对于任意i,J(1≤∕≤√≤100),则/+y≤200.
若i+jw&,则⅛∕+√≤100-w,
所以al=itai=jf从而ai+aj=i+jeΛQ,
故集合血符合题意,12分
所以满足条件的集合/的个数与集合{201,202,203,204}的子集个数相同,
故满足条件的集合/有24=16个.13分