《三角形的内角和》教案 第2课时 探究版.docx
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《三角形的内角和》教案第2课时探究版
《三角形的内角和》教案第2课时探究版
教学目标
知识与技能
掌握三角形外角的两条性质;
过程与方法
1.进一步熟悉和掌握证明的步骤、格式、方法、技巧.
2.灵活运用三角形的外角和两条性质解决相关问题.
3.进一步培养学生的逻辑思维能力和推理能力,培养学生的几何意识.
情感、态度
通过在数学活动中进行教学,使学生能自主地“做数学”,特别是培养有条理的想象和探索能力,从而做到强化基础,激发学习兴趣.
教学重点
熟悉和掌握证明的步骤、格式、方法、技巧.
教学难点
运用三角形的外角和两条性质解决相关问题.
教学过程
一、问题导入
在证明三角形内角和定理时,用到了把△ABC的一边BC延长得到∠ACD,这个角叫做什么角呢?
下面我们就给这种角命名,并且来研究它的性质.
设计意图:
引出三角形外角的概念,并对其进行研究,激发学生学习兴趣.
二、探究新知
1.三角形的外角定义:
三角形的一边与另一边的延长线所组成的角,叫做三角形的外角,结合图形指明外角的特征有三:
(1)顶点在三角形的一个顶点上.
(2)一条边是三角形的一边.
(3)另一条边是三角形某条边的延长线.
2.两个推论及其应用
由学生探讨三角形外角的性质:
问题1:
如图,△ABC中,∠A=70°,∠B=60°,∠ACD是△ABC的一个外角,能由∠A、∠B求出∠ACD吗?
如果能,∠ACD与∠A、∠B有什么关系?
问题2:
任意一个△ABC的一个外角∠ACD与∠A、∠B的大小会有什么关系呢?
由学生归纳得出:
推论1:
三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.
推论2:
三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.
我们通过三角形的内角和定理直接推导出两个新定理,像这样,由一个基本事实或定理直接推出的定理,叫做这个基本事实或定理的推论(corollary).推论可以当做定理使用.
设计意图:
通过三角形内角和定理直接推导三角形外角的两个推论,引导学生从内和外、相等和不等的不同角度对三角形作更全面的思考.
三、典例精讲
例已知,如图,在三角形ABC中,AD平分外角∠EAC,∠B=∠C.求证:
AD∥BC
分析:
要证明AD∥BC,只需证明“同位角相等”,即需证明∠DAE=∠B.
证明:
∵∠EAC=∠B+∠C(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和)
∠B=∠C(已知)
∴∠B=
∠EAC(等式的性质)
∵AD平分∠EAC(已知)
∴∠DAE=
∠EAC(角平分线的定义)
∴∠DAE=∠B(等量代换)
∴AD∥BC(同位角相等,两直线平行)
想一想,还有没有其他的证明方法呢?
这个题还可以用“内错角相等,两直线平行”来证.
证明:
∵∠EAC=∠B+∠C(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和)
∠B=∠C(已知)
∴∠C=
∠EAC(等式的性质)
∵AD平分∠EAC(已知)
∴∠DAC=
∠EAC(角平分线的定义)
∴∠DAC=∠C(等量代换)
∴AD∥BC(内错角相等,两直线平行)
还可以用“同旁内角互补,两直线平行”来证.
证明:
∵∠EAC=∠B+∠C(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和)
∠B=∠C(已知)
∴∠C=
∠EAC(等式的性质)
∵AD平分∠EAC(已知)
∴∠DAC=
∠EAC
∴∠DAC=∠C(等量代换)
∵∠B+∠BAC+∠C=180°
∴∠B+∠BAC+∠DAC=180°
即:
∠B+∠DAB=180°
∴AD∥BC(同旁内角互补,两直线平行)
例已知:
∠BAF,∠CBD,∠ACE是△ABC的三个外角.
求证:
∠BAF+∠CBD+∠ACE=360°.
证明:
∵∠BAF是△ABC的一个外角(已知),
∴∠BAF=∠2+∠3(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和).
同理,∠CBD=∠1+∠3,∠ACE=∠1+∠2.
∴∠BAF+∠CBD+∠ACE=2(∠1+∠2+∠3)(等式的基本性质).
∵∠1+∠2+∠3=180°(三角形的内角和定理),
∴∠BAF+∠CBD+∠ACE=2×180°=360°(等量代换).
设计意图:
通过例题,使学生熟练两个推论的内容,并能灵活运用来解决问题.
四、课堂练习
1.已知:
如图,在三角形ABC中,∠1是它的一个外角,E为边AC上一点,延长BC到D,连接DE.求证:
∠1>∠2.
证明:
∵∠1是△ABC的一个外角(已知)
∴∠1>∠ACB(三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角)
∵∠ACB是△CDE的一个外角(已知)
∴∠ACB>∠2(三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角)
∴∠1>∠2(不等式的性质)
2.如图,求证:
(1)∠BDC>∠A.
(2)∠BDC=∠B+∠C+∠A.
如果点D在线段BC的另一侧,结论会怎样?
[分析]通过学生的探索活动,使学生进一步了解辅助线的作法及重要性,理解掌握三角形的内角和定理及推论.
证法一:
(1)连接AD,并延长AD,如图,则∠1是△ABD的一个外角,∠2是△ACD的一个外角.
∴∠1>∠3.
∠2>∠4(三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角)
∴∠1+∠2>∠3+∠4(不等式的性质)
即:
∠BDC>∠BAC.
(2)连结AD,并延长AD,如图.
则∠1是△ABD的一个外角,∠2是△ACD的一个外角.
∴∠1=∠3+∠B
∠2=∠4+∠C(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和)
∴∠1+∠2=∠3+∠4+∠B+∠C(等式的性质)即:
∠BDC=∠B+∠C+∠BAC
证法二:
(1)延长BD交AC于E(或延长CD交AB于E),如图.
则∠BDC是△CDE的一个外角.
∴∠BDC>∠DEC.(三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角)
∵∠DEC是△ABE的一个外角(已作)
∴∠DEC>∠A(三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角)
∴∠BDC>∠A(不等式的性质)
(2)延长BD交AC于E,则∠BDC是△DCE的一个外角.
∴∠BDC=∠C+∠DEC(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和)
∵∠DEC是△ABE的一个外角
∴∠DEC=∠A+∠B(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和)
∴∠BDC=∠B+∠C+∠BAC(等量代换)
设计意图:
让学生接触各种类型的几何证明题,提高逻辑推理能力,培养学生的证明思路,特别是不等关系的证明题,因为学生接触较少,因此更需要加强练习.学生对于几何图形中的不等关系的证明比较陌生,因此有必要在证明第2小题中,要引导学生找到一个过渡角∠ACB,由∠1>∠ACB,∠ACB>∠2,再由不等关系的传递性得出∠1>∠2.
五、课堂小结
由学生自行归纳本节课所学知识:
推论1:
三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.
推论2:
三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.
设计意图:
复习巩固所学知识,理清思路,培养学生的归纳概括能力.学生对于三角形外角的两个推论以及它们的应用有一定的了解.
六、布置作业
一.选择题
1.以下命题中正确的是()
A.三角形的三个内角与三个外角的和为540°
B.三角形的外角大于它的内角
C.三角形的外角都比锐角大
D.三角形中的内角中没有小于60°的
2.下列说法正确的有()
①三角形的外角大于它的内角;②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和;③三角形的外角中至少有两个钝角;④三角形的外角都是钝角.
A.1个B.2个C.3个D.4个
3.如果一个三角形的一个内角大于相邻的外角,这个三角形是()
A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.等边三角形
二.填空题
4.直接根据图示填空:
(1)∠α=_________
(2)∠α=_________(3)∠α=_________;
(4)∠α=_________(5)∠α=_________(6)∠α=_________
(1)
(2)(3)
(4)(5)(6)
5.在△ABC中,∠A等于和它相邻的外角的四分之一,这个外角等于等于∠B的两倍,那么∠A=______,∠B=_______,∠C=_______.
6.如图,比较∠A,∠BEC,∠BDC的大小关系为_______________________.
三.解答题
7.如图,求证:
∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°
8.如图,D在BC延长线上一点,∠ABC.∠ACD平分线交于E.
求证:
∠E=
∠A
【答案】
1.A2.B3.B4.
(1)100°
(2)35°(3)60°(4)70°(5)30°(6)70°
5.36°72°72°11.∠A<∠BEC<∠BDC
6.提示:
连接BC,证明∠FBC+∠FCB=∠D+∠E
7.提示:
∠E=∠ECD-∠EBC=
(∠ACD-∠ABC)=
∠A
七、课堂检测
一、选择题:
1.三角形的一个外角等于和它相邻的内角,则这个三角形是()
A.锐角三角形B.钝角三角形;
C.直角三角形D.等腰直角三角形
2.下列说法正确的是()
A.三角形的每一个外角都大于和它相邻的一个内角
B.三角形的一个外角可以等于和它相邻的一个内角
C.三角形的外角和等于180°
D.三角形中至少有一个外角小于和它相邻的内角
3.如图1,∠1=∠2.∠3=∠4,则∠5是∠1的()
A.2倍B.3倍C.4倍D.6倍
(1)
(2)(3)
二、填空题
4.在△ABC中,∠A=50°,∠B=70°,则∠C的外角等于________.
5.五角形的五个内角的和是________.
6.如图3,∠BAC_______∠BEC.
三、计算题
7.如图,△ABC中,∠B=∠C,外角∠DAC=100°,求∠B、∠C的度数.
8.如图,△ABC中,∠A=80°,∠B、∠C的角平分线相交于点O,∠ACD=30°,求∠DOB的度数.
四、如图,E是BC延长线上的点,∠1=∠2.求证:
∠BAC>∠B
五、如图,△ABC的两外角平分线交于点P,易证∠P=90°-
∠A;△ABC两内角的平分线交于点Q,易证∠BQC=90°+
∠A;那么△ABC的内角平分线BM与外角平分CM的夹角∠M=_____∠A.
【答案】
一、1.C2.B3.C
二、4.120°5.180°6.<
三、7.∵∠DAC=∠B+∠C∠B=∠C
∴∠DAC=2∠B=2∠C
∴∠B=∠C=
∠DAC=
×100°=50°
8.∵BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB
∴∠ABO=∠CBO∠BCD=∠ACD=30°
又∵∠A=80°
∴∠ABC=180°-∠A-∠ACD-∠BCD=180°-80°-30°-30°=40°
∴∠CBO=
∠ABC=
×40°=20°
∴∠DOB=∠CBO+∠BCD=20°+30°=50°
四、∵CD平分∠ACB
∴∠ACD=∠DCB=2∠B
又∵∠A=90°
∴∠B+∠ACB=90°
∴∠B+∠ACD+∠DCB=90°
∴∠B+2∠B+2∠B=90°
∴∠B=18°
∴∠ADC=∠B+∠DCB=∠B+2∠B=3∠B=3×18°=54°
五、
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