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不定积分公式大全
Ch4、不定积分§1、不定积分的概念与性质
1、原函数与不定积分定义1:
若F(x)f(x),则称F(x)为f(x)的原函数。
①连续函数一定有原函数;②若F(x)为f(x)的原函数,则F(x)C也为f(x)的原函数;事实上,F(x)C’F’(x)f(x)③f(x)的任意两个原函数仅相差一个常数。
事实上,由F1(x)F1(x)’F1’(x)F2’(x)f(x)f(x)0,得F1(x)F2(x)C故F(x)C表示了f(x)的所有原函数,其中F(x)为f(x)的一个原函数。
定义2:
f(x)的所有原函数称为f(x)的不定积分,记为f(x)dx,积分号,f(x)被积函数,x积分变量。
显然f(x)dxF(x)C
例1、求下列函数的不定积分①kdxkxC11xC②xdx1
lnxC11
2、基本积分表(共24个基本积分公式)
3、不定积分的性质①f(x)g(x)dx
②kf(x)dxf(x)dxg(x)dx(k0)kf(x)dx
例2、求下列不定积分①dx
x2x2dx1
(2)1x
(2)1C1
xC
②
dxx
x
12
dx
1
(2)1
x
(12)1
C2xC
53③221xx1
④xexdx
2x
dx5arcsinx3arctanxC
e
x
dx
12
dxx
ex
lne
12
lnxC
⑤cscxcscxcotxdxcsc2xdxcscxcotxdxcotxcscxC⑥
dxsin
2
xcos
2
x
sin
2
xcos
2
2
x
sin
2
xcos
2
x
dx
cscxdx
2
sec
2
xdxcotxtanxC
⑦cot2xdx⑧
x
4
csc
4
x1dxcotxxC
1x
2
x111x
2
dx
12
x12
1x13
dxxxarctanxC
3
§2、不定积分的换元法
一、第一类换元法(凑微分法)1、fax
bdx
1a
faxbdaxb,即dx
1a
daxb
例1、求不定积分
①sin5xdx
7
15
sin5xd5x5xu
12
15
sinudu
11
15
cos(5x)C
116
②12xdx③④
dxax
2
2
7
12xd(12x)
271
12x71
C
12x8
C
1
a1xa
dxa
2
1
x
arctanCaa
(20)
dxax
2
2
1
dxaxa
2
xarcsinC
a
(23)
2、fxx
n
n1
dx
dxn
fx
n
n
即x
n1
dxdx
n
例2、求不定积分
①xxdx
2
1
1x2
2
1d1x
2
12
1
1
2
1
1x
2
112
C
13
1x
2
32
C
2
②x2exdx③
1x
2
3
13
e
x
3
dx
3
1e
3
x
3
C
11dxd2xx
cos
1x
dxcos
1
11
dsinCxxx
④
cos
x
x
2cos
xdx2sinxC
1
dx2dxx
3、
1x
dxdlnx,edxde,sinxdxdcosx,cosxdxdsinx,sec
xx2
xdxdtanx,
secxtanxdxdsecx,
11x
22
dxdarctanx,
1x
2
dxdarcsinx,
2
xax
2
dxdax,
2
例3、求不定积分
①tanxdx②cotxdx③secxdx④cscxdx⑤⑥
1xlnx
cosxsin
cosx
x
sinx
dxdx
dcosxcosxsinx
lncosxClnsecxC
(16)(17)
dsinx
lnsinxClncosxCdxdx
secxsecxtanxsecxtanxcscxcscxcotxcscxcotxdlnxlnx
dsecxtanxsecxtanxdcscxcotxcscxcotx
lnsecxtanxClncscxcotxC
(18)(19)
dx
lnlnxC
lntanx1C
dx
cos
2
x1tan
x
d1e1e
x
x
dtanx1tanx1
x
⑦⑧⑨⑩
e
xx
1edx1e
dx
ln1eC
x
x
x
1ee
1e
x
xln1e
x
C
e
x2x
1e
x
dx
de1e
2
xx2
arctaneC
x
e
2
1x
x
dxe
1x
2
d
x
2
e
1x
2
C
3
例4、求不定积分
①
dxxa
2
2
11d(xa)1dx2axaxa2axa12a
lnxaxa
2
1
d(xa)
xa
(21)(22)
C
②
xx21x
2
2
x1x3
1x
2
dx
x31dx1x2
x
1
2
2
dx1x1
2
2
3
1x
1
dx
2
x
12
ln1x
2
3arctan
dx
2
xC
③
x4x2x5
2
dx
1
2x
2x262x5
2
2
dx2x5x2x5x12
C
2
2
3
x1
4
④sin2xdx
2
1cos2x
212
1
lnx2x5
2
111dxx
222
3
arctan
1214x
14
sin2xC
cos2xd2x
116
cos8x
⑤sin5xcos3xdx⑥
cotxlnsinx
dx
dx
sin
8xsin2xdx
cos2xC
lnsinx1sinx⑦2
1sinxcosx
sin
cosxdx
sin
2
sec
lnsinxlnlnsinxC
xlnsinx
dcosx1
xdxtanxC2
cosxcosx
dsinxdlnsinx
⑧
dxcosxsinx
1
dx2sinx4
1
cscx
42dx
4
lncscxcotxC
442
二、第二类换元法1、三角代换
例1、a2x2dx
解:
令xasint(或acost),则
ax
2
2
acost,dxacostdt
2
原式=acostacostdta
1cos2t
2
a1
dtdt
22
2
cos2td2t
4
a
2
2
12
t
2
a
2
4
sin2tC
xa
12
a
2
2
2
arcsin
2
xa
a
2
4
2
xa
axa
22
C
aarcsinxaxC
例2、
dxax
2
2
dxaxa
2
arcsin
xa
C
解:
令xasint
原式=例3、
dxax
2
2
acostdtacost
dttCarcsin
xa
C
解:
令xatant(或acott),则a2x2asect,dxasec2tdt
原式=
asectdtasect
2
sectdtlnsecttantCln
2
xaa
22
xCa
(24)
lnx例4、
dxxx4
2
xa
2
C
解:
令xatant(或acott),则x242sect,dx2sec2tdt原式=例5、
asectdtasect
2
sectdtlnsecttantCln
xaa
22
xCa
dxxa
2
2
解:
令xasect(或acsct),则
xa
2
2
atant,dxasecttantdt
x
sectdtlnsecttantCln
a
xaa
2
2
原式=
asecttantdt
atant
c
(25)
lnxx2a2C
5
例6、x9
x2dx
解:
令xasect,则x293tant,dx3secttantdt原式=3tant
3sect
23secttantdt3tan2tdt3sect13tanttC23x933arccosCxx93arccos23xC
a2x2xasint小结:
f(x)中含有x2a2可考虑用代换xatant
xasect22xa
2、无理代换
例7、dx
13x1
解:
令x1t,则xt31,dx3t2dt
原式=
3tdt1t323t111t2t21Cdt3t1dt3tln1t1t23
2x123x13ln1x1C
例8、dx
x13x解:
令xt,则xt6,dx6t5dt原式=6tdt
t1t3526
6t221t1dt61dt6tarctantC21t66xarctanxC
例9、
解:
令1x1xxdx1x
xt,则x1
t12,dx2tdtt212
6
原式=
2tdt
t1t
2
t1
2
2
2t11t12dt21dt2tlnC2t212t1t1
2
xx
ln
xx
xx
C
例10、
dxe
x
2tdtt1
2
解:
令ext,则xlnt21,dx
原式
Cln
e1e
xx
t
1
2tt1
2
dt2
dtt1
2
2
12
ln
t1t1
11
C
4、倒代换
例11、
dxxx41t
6
1
t
7
6
解:
令x,则
xx1
6
6
14t
dx
dtt
2
124
x
66
原式
14
tdt14t
6
124
6
d4t14t1
6
6
124
ln4t1C
6
ln
x4
C
lnx
124
lnx4C
§3、分部积分法
分部积分公式:
UVUVUV,UVUVUV
UVdx
例1、xcosxdx
UVdx
UVdx
,故UdVUV
VdU
(前后相乘)(前后交换)
xdsin
xxsinx
sin
xdxxsinxcosxC
例2、xexdx
xde
x
xe
x
e
x
dxxe
x
eC
x
7
例3、lnxdxxlnxxdlnxxlnxx或解:
令lnxt,xet
1x
dxxlnxxC
原式tdettetetdttetetCxlnxxC例4、arcsinxdx
xarcsinx
1
xdarcsinxxarcsinxd1xx
xxx
22
dx
xarcsinx
2
22
xarcsin
C
x
或解:
令arcsinxt,xsint
原式tdsinttsintsintdttsintcostCxarcsinxx2C例5、exsinxdx
sinxde
x
x
esinx
x
x
ecosxdxesinx
x
xx
cosxde
e
x
x
esinxecosx
e
dcosxe
x
sin
xcosx
sinxdx
故exsinxdx例6、
xcos
2
12
e
x
sinxcosxC
x
dx
xd
tanxxtanx
tan
xdxxtanxlnsecxC
例7、lnxx2dx
xlnxxlnx
xx
2
x
1xx
2
xx
2
2
dxxlnx
x
2
xx
2
dx
2
xC
§4、两种典型积分
一、有理函数的积分
有理函数R(x)式,然后积分。
8
P(x)Q(x)
anxan1xbmx
m
nn1m1
a1xa0b1xb0
bm1x
可用待定系数法化为部分分
例1、将解:
x3x5x6
2
化为部分分式,并计算
x3
Ax2
Bx3
x3x5x6
2
dx
x3x5x6
2
x2x3
A5
B6dx5
ABx3A2B
x2x3
AB1
3A2B3
故
x3x5x6
2
dxx2
6
dxx3
5ln(x2)6ln(x3)C
或解:
I
1
2x
1212
2x511
2
5x6
2
dx
1
2
dx5x6x5x6
2
2
11
2
x
dx
2
5x6
例2、
lnx5x6
11
11
dx2x3x2lnx3x2
C
lnx5x6
2
112
dx
dxx(x1)
2
11dx2x(x1)(x1)2
x(x1)x1x
x1
dxlnCx1x1
1
dx
x
1
x2
x
2
111
x1x(x1)2
1
dx
x
2
1x
2
例3、
x1x1
4
2
1x
2
dx
12
x
arctan
1xC
2
例4、
dxx1
4
12
11222x1x11x
dxdx4
12x12
x2
x
2
x
dx12
x2
x1
1
1dx
1x2
21x2
x
1
11xx
111xxarctanln2
1222221xx2xx1
dx
x
2x
C2x
2
C2
22
x11x1arctanln
22222xx1
二、三角函数有理式的积分
9
对三角函数有理式积分IRsinx,cosxdx,令utan,则x2arctaun,
2
2
2u1u
故IRsinx,cosx,dxdu,2221u2,1u2
1u1u1u
x
2u1u
2
2
2
三角函1u2du,
数有理式积分即变成了有理函数积分。
例5、
dx35cosx
x2
,cosx
1u1u
22
解:
令utan
则x2arctanu,dx
21u
2
du
原式例6、
35
11u1u
22
21u
2
du
4u
du
2
122
ln
2u2u
C
14
2tanln2tan
x2Cx2
dx
2sinxcosx5
x2
,sinx
2
22
解:
令utan
则x2arctanu
2u1u
2
cosx
1u1u
22
dx
21u
2
du
原式
2
12u1u
2
1u1u
5
1u
2
du
3u
du
2
2u2
1
3
1
du
3
2
1
u
39
1x
u3arct1
1313arctCarctC355555
3
1sinx1cosx
1
dx
2u
221u
du22
1u1u
例7、
1
1u2uu(u1)
2
2
2
du
1u
2
121u12du2du2u1u2
uuu(1u)
1u
2lnuln1u
2
C
cot
x2
2lnsin
x2
C
10
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