专题04因式分解.docx
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专题04因式分解
专题04:
因式分解
04—1:
核心概念
C级突破
【实例分析】
计算下列各式:
(1)3x(x-1)=3x2-3x;
(2)m(a+b+c)=ma+mb+mc;
(3)(m+4)(m-4)=m2-16;(4)(y-3)2=y2-6y+9;
(5)a(a+1)(a-1)=a3-a;
根据上面的算式填空:
(1)3x2-3x=(3x)(x-1);
(2)m2-16=(m+4)(m-4);
(3)ma+mb+mc=(m)(a+b+c);(4)a3-a=(a)(a+1)(a-1);
(5)y2-6y+9=(y-3)2.
【概念总结】
议一议
由a(a+1)(a-1)得到a3-a的变形是什么运算?
由a3-a得到a(a+1)(a-1)的变形与这种运算有什么不同?
你还能再举一些类似的例子加以说明吗?
与同伴交流。
把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式分解因式。
想一想
分解因式与整式乘法有什么关系?
【同堂精练】
1.下列由左边到右边的变形,哪些是分解因式?
为什么?
(1)(a+3)(a-3)=a2-9×;
(2)m2-4=(m+2)(m-2)√;
(3)a2-b2+1=(a+b)(a-b)+1×;(4)2mR+2mr=2m(R+r)√;
(5)a(x+y)=ax+ay×;(6)10x2-5x=5x(2x-1)√;
(7)y2-4y+4=(y-2)2√;(8)t2-16+3t=(t+4)(t-4)+3t×;
2.下列各式从左到右的变形为分解因式的是(D)
(A)18x3y2=3x3y2·6(B)(m+2)(m-3)=m2-m-6
(C)x2+8x-9=(x+3)(x-3)+8x(D)m2-m-6=(m+2)(m-3)
3.在下列等式中,属于因式分解的是(C)
(A)a(x-y)+b(m+n)=ax+bm-ay+bn(B)a2-2ab+b2+1=(a-b)2+1
(C)-4a2+9b2=(-2a+3b)(2a+3b)(D)x2-7x-8=x(x-7)-8
04—2:
提公因式法
C1级突破
将下列代数式分解因式:
(1)ab+bc=a(b+c);
(2)3x2+x=x(3x+1);
(3)mb2+nb-b=b(mb+n-1);(4)2x2+6x3=2x2(1+3x);
多项式ab+bc的各项都含有相同的因式b,我们把多项式各项都含有的相同因式,叫做这个多项式各项的公因式。
如b就是ab+bc各项的公因式。
如果一个多项式的各项含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式,这种分解因式的方法叫做提公因式法。
题1.将下列各式分解因式:
(1)3x+x3;
(2)7x2-21x;(3)8a3b2-12ab3c+ab;(4)-24x3+12x2-28x.
解:
(1)3x+x3=x·3+x·x2=x(3+x2);
(2)7x2-21x=7x·x-7x·3=7x(x+3);
(3)8a3b2-12ab3c+ab=ab·8a2b-ab·12b2c+ab·1=ab(8a2b-12b2c+1);
(4)-24x3+12x2-28x=-(24x3-12x2+28x)=-(4x·6x2-4x·3x+4x·7)
=-4x(6x2-3x+7)
注意:
当多项式第一项的系数是负数时,通常先提出“-”号,使括号内第一项的系数成为正数,在提出“-”时,多项式的各项都要变号。
题2.把a(x-3)+2b(x-3)分解因式
解:
a(x-3)+2b(x-3)=(x-3)(a+2b)
题3.把下列各式分解因式:
(1)a(x-y)+b(y-x);
(2)6(m-n)3-12(n-m)2;
解:
(1)a(x-y)+b(y-x)
(2)6(m-n)3-12(n-m)2
=a(x-y)-b(x-y)=6(m-n)3-12〖-(n-m)〗2
=(x-y)(a-b)=6(m-n)3-12(m-n)2
=6(m-n)2(m-n-2)
(3)6(p+q)2-12(q+p);
C2级突破
题1.把下列各式分解因式:
(1)4kx-8ky;
(2)4m3-6m2;(3)-4a3b3+6a2b-2ab;
(4)-a2+ab-ac;(5)-3ma2+6ma3-12ma;
题2.把下列各式分解因式:
(1)x(a+b)+y(a+b);
(2)3a(x-y)-(x-y);(3)7(a-1)+x(a-1);
分析:
公因式为a+bx-ya-1
解:
(x+y)(a+b)(x-y)(3a-1)(a-1)(7+x)
(4)m(a2+b2)+n(a2+b2);(5)x(m+n)-y(n+m)+(m+n);
分析:
公因式为a2+b2m+n
解:
(a2+b2)(m+n)(m+n)(x-y+1)
(7)(2a+b)(2a-3b)-3a(2a+b);(8)x(x+y)(x-y)-x(x+y)2;
(2a+b)(-a-3b)-2xy(x+y)
题3.把下列各式分解因式
(1)a(m-2)+b(2-m);
(2)x(x-y)2-y(y-x)2;(3)2(y-x)2+3(x-y);
=(m-2)(a-b)=(x-y)3(x-y)(2x-3y+3)
(4)mn(m-n)-m(n-m)2;(5)a(x-y)-b(y-x)+c(x-y)
=m(m-n)(2n-m)(x-y)(a+b+c)
题4.把下列各式分解因式
(1)2(m-n)2-m(m-n);
(2)18(a-b)2-12b(b-a)2;
=(m-n)(m-2n)=6(a-b)2(3-2b)
C3级突破
题1.多项式-3x2y+6xy2-3xy提公因式-3xy后另一个多项式为(D)
(A)x+2y(B)x+2y-1(C)x-2y(D)x-2y+1
题2.下列各式的因式分解结果中,正确的是(B)
(A)a2b+7ab-b=b(a2+7a)(B)3x2y-3xy-6y=3y(x-2)(x+1)
(C)8xyz-6x2y2=2xyz(4-3xy)(D)-2a2+4ab-6ac=-2a(a+2b-3c)
题3.(-a)m+a(-a)m-1的值是(C)
(A)1(B)-1(C)0(D)(-1)m+1
题4.把3an+2+15an+1-45an分解因式是(B)
(A)3an(a2+15a-15)(B)3an(a2+5a-15)
(C)
(D)3an+1(a+5-15a)
题5.多项式-8m2n3+10m3n2+2m2n2被-2m2n2除,所得的商为(C)
(A)4n+5m-1(B)4n-5m+1(C)4n-5m-1(D)4n+5m
题6.若(p-q)2-(q-p)3=(q-p)2·E,则E是(C)
(A)1-q-p(B)q-p(C)1+p-q(D)1+q-p
题7.分解因式:
x(a-b)2n+y(b-a)2n+1=(b-a)2n(x+by-ay).
题8.多项式m(n-2)-m2(2-n)分解因式等于(C)
(A)(n-2)(m+m2)(B)(n-2)(m-m2)(C)m(n-2)(m+1)(D)m(n-2)(m-1)
题9.下列等式中一定正确的是()
(A)(a+b)n=(b+a)n(B)(a-b)n=(b-a)n
(C)(b-a)n=-(a-b)n(D)(-a-b)n=(a+b)n
04—3:
公式法
C1级突破
(1)a2-b2=(a+b)(a-b);
(2)x2-25=(x+5)(x-5);(3)9x2-y2=(3x+y)(3x-y);
事实上,把乘法公式(a+b)(a-b)=a2-b2.反过来,就得到a2-b2=(a+b)(a-b)
题1.把下列各式分解因式:
(1)25-16x2;
(2)9a2-
b2;
解:
(1)25-16x2=52-(4x)2=(5+4x)(5-4x)
(2)9a2-
b2=(3a)2-(
b)2=(3a+
b)(3a-
b).
题2.把下列各式分解因式:
9(m+n)2-(m-n)2;
解:
原式=〖3(m+n)〗2-(m-n)2
=(3m+3n+m-n)(3m+3n-m+n)
=(4m+2n)(2m+4n)
=4(2m+n)(m+2n)
题3.把下列完全平方式分解因式:
(1)x2+14x+49;
(2)3ax2+6axy+3ay2;(3)-x2-4y2+4xy;
解:
(1)x2+14x+49=x2+2×7x+72=(x+7)2;
(2)3ax2+6axy+3ay2=3a(x2+2xy+y2)=3a(x+y)2;
(3)-x2-4y2+4xy
=-(x2+4y2-4xy)=-(x2-4xy+4y2)=-(x2-2·x·2y+4y2)=-(x-2y)2。
题4.把下列各式分解因式:
(1)x2+8x+16;
(2)a4-14a2b3+49b6(3)9(2a-b)2-6(2a-b)+1
解:
(1)由于16可以看作42,于是有x2+8x+16=x2+8x+42=(x+4)2
(2)由幂的乘方公式,a4可以看作(a2)2,49b6可以看作(7b3)2,于是有
a4-14a2b3+49b6=(a2)2-2·a2·7b3+(7b3)2=(a2-7b3)2
(3)由积的乘方公式,9(2a-b)2可以看作【3(2a-b)】2,于是有
9(2a-b)2-6(2a-b)+1=【3(2a-b)】2-2·3(2a-b)·1+1
=【3(2a-b)-1】2=【6a-3b-1】2
C2级突破
题1.下列各式中,能用平方差公式分解因式的是(B)
(A)a2+b2(B)-a2+b2(C)-a2-b2(D)-(-a2)+b2
题2.下列等式中一定正确的是(A)
(A)(a+b)n=(b+a)n(B)(a-b)n=(b-a)n
(C)(b-a)n=-(a-b)n(D)(-a-b)n=(a+b)n
题3.把下列各式分解因式
(1)a2-81;
(2)1-16b2;(3)
a2-x2y2;
=(a+9)(a-9)=(1+4b)(a-4b)=(
a+xy)(
a-xy)
(4)0.25x2-121y2;(5)169x2-4y2;(6)9a2p2-b2q2;
=(0.5x+11y)(0.5x-11y)=(13x+2y)(13x-2y)=(3ap+bq)(3ap-bq)
题4.把下列各式分解因式
(1)x2-(a+b-c)2;
(2)(x+y)2-16(x-y)2;
(3)a2(a-b)2-b2(a+b)2;(4)(2x+y)2-(x+2y)2;
(5)49(a-b)2-16(a+b)2;(6)16-(2a+3b)2;
题5.把下列各式分解因式
(1)16a4+24a2b2+9b4;
(2)-2xy-x2-y2;
(3)
+xy+y2;(4)y2+y+
;
(5)a2b2-4ab+4;(6)25m2-80m+64;
题6.把下列各式分解因式
(1)4-12(x-y)+9(x-y)2;
(2)a2-2a(b+c)+(b+c)2;
(3)(x+y)2-14(x+y)+49;
04—4:
综合法
C级突破
题1.把下列各式分解因式:
2x3-8x。
解:
2x2-8x
=2x(x2-4)=2x(x2-22)=2x(x+2)(x-2)
注意:
当多项式的各项含有公因式时,通常先提出这个公因式,然后再进一步分解因式。
题2.把下列各式分解因式
(1)7x2-63;
(2)3ax2-3ay4;(3)a4-8a2b2+16b4;
(4)x2y-2xy2+y3;(5)2x2+2x+
;(6)-a+2a2-a3;
(7)(a2+4)2-16a2;(8)p4-1;
B级突破
题1.把下列各式分解因式
(1)a2-4a+4-c2
(2)(x+3y)2+(2x+6y)(3y-4x)+(4x-3y)2
解:
原式=(a-2)2-c2=(x+3y)2+2(x+3y)(3y-4x)+(3y-4x)2=(a-2+c)(a-2-c)=(-3x+6y)2=9(x-2y)2
(3)a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b);(4)(2004年河南省竞赛题)9x2-6x-y2+4y-3;
解:
原式=a2b-a2c+b2c-b2a+c2a-c2b解:
原式=(9x2-6x+1)-(y2-4y+4)
=a2(b-c)+(c2-b2)a+b2c-c2b=(3x-1)2-(y-2)2
=(b-c)〖a2-(c+b)a+bc〗
=(b-c)(a-b)(a-c)
(3x+y-3)(3x-y+1)
题2.把下列各式分解因式
(1)9m2-6m+2n-n2
(2)ab(c2+d2)+cd(a2+b2)
=(9m2-6m+1)-(n2-2n+1)=abc2+abd2+cda2+cdb2
=(3m-1)2-(n-1)2=(abc2+cda2)+(abd2+cdb2)=(3m+n-2)(3m-n)=ac(bc+da)+bd(ad+cb)
=(bc+da)(ac+bd)
(3)x4+4y4(4)a2+2ab+b2-2a-2b+1
=x4+4y2+4y4-4y2=(a+b)2-2(a+b)+1
=(x2+2y2)2-4y2=(a+b-1)2
=(x2+4y2)(x2-2y2)
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