53简单的轴对称图象2.docx

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53简单的轴对称图象2

课时课题：

第五章第3节简单的轴对称图象第2课时

课型：

新授课

授课人：

台儿庄区涧头集镇第一中学张同军

教学目标：

1.经历探索简单图形轴对称性的过程，进一步体验轴对称的特征，发展空间观念.

2.探索并了解线段垂直平分线的有关性质．

3.会用尺规作线段的垂直平分线.

4.会应用线段垂直平分线的性质及尺规作图解决一些实际问题．

教学重点与难点：

重点：

线段垂直平分线的有关性质．

难点：

用尺规作线段的垂直平分线，并用之解决一些实际问题．

教法及学法指导：

在上一节课中，学生学习了等腰三角形的对称性，进一步了解了轴对称现象，学生已经经历了一些折纸活动，解决了一些简单的现实问题，具备了动手操作的基本技能，感受到了从数学活动中积累数学经验的过程；同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力，鉴于以上各点，我对本节课主要采用“引导——合作探究教学法”，借助于多媒体课件，通过问题启发学生建立数学模型，应用与拓展的模式展开教学.

七年级的学生学习主动性强，对新知事物满怀探求的欲望，但思维不够缜密，知识迁移能力不强，推理能力还需进一步培养，老师要给学生充分的自由和空间，让他们在合作中学到新知识，在交流中不断进步.因此在本节课的教学中主要指导学生自主探究——合作交流——主动总结——自我提高.让学生在合作中交流中获取新知识,培养学生良好的学习品质.

课前准备：

教师：

制作教学课件.

学生：

中等硬度的透明纸片，作图工具.

教学过程：

一、创设情景，快乐启航

师：

请同学们看下面的问题：

如图，在一条河的岸边有两个仓库A、B，现在要在靠近A、B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，你知道码头应建在什么位置吗?

（多媒体展示）

生1：

分别从A,B向河岸作垂线，连接两个垂足，所得线段的中点就是码头的位置.

生2：

我认为应该先连接AB，再从AB的中点向河岸作垂线，垂足就是码头的位置.

生3：

我认为应该先连接AB，再作AB垂线，这条垂线与河岸的交点就是码头的位置.

师：

你认为谁的说法正确哪？

生：

各抒己见，意见不一.

师：

看来大家的意见各不一样，要想知道到底谁是正确的，就让我们一起开始今天的学习吧！

（板书课题）

【设计意图】通过生活中的实际问题引入新课，让学生在自我解决问题的过程中发现障碍，激发学生的学习兴趣，为进入新课做好准备.

教学建议：

1.本问题的解决有一定的难度，要让学生自己思考，让学生在争论中发现自己想法是否正确.

2.教师不必明确答案，要留给学生思考的余地和悬念，让学生带着问题进入下面的学习.

二、自主探究，发现新知

（一）线段对称轴的确定

师：

要想解决上面的问题，就让我们先从一个简单的问题开始吧！

请在你准备的纸片上画一条线段AB，然后对折AB，使点A，B重合，折痕与AB的交点为O.请你亲自动手操作，并把你的发现告诉大家！

（生动手操作观察后）

生1：

我发现这条线段除了两个端点重合外，折痕两旁的其他部分也重合，所以线段是一个轴对称图形，这条折痕就是线段的对称轴.

生2：

我发现点O是线段AB的中点.

生3：

我发现折痕还与线段AB垂直.

师：

他们的总结很到位，其中点O是线段AB的中点很好理解，可折痕与线段AB垂直的原因是什么哪？

生1：

我是通过三角板验证的.

生2：

我是通过量角器量取角度后验证的.

生3：

通过试验手段得到的结论，都是不严密的，我是这样验证的（边说边演示手中的折纸如下），由折叠可知∠1=∠2，又因为∠1+∠2=180°，所以∠1=∠2=90°，所以折痕与线段AB垂直.

师：

这几位同学的解释非常到位，你能总结出线段的对称性及其对称轴的性质吗？

生1：

线段是轴对称图形，垂直并且平分线段的直线是它的对称轴.

生2：

刚才这位同学总结的很好，不过还不够严密，因为线段还有一条对称轴，它就是线段AB所在的直线，因为线段上所有的点都在这条直线上，那么这条线段上每一个点关于这条直线的对称点都是它本身，所以线段所在的直线也是它的一条对称轴，刚才这位同学的说法应该这样修改：

‘线段是轴对称图形，垂直并且平分线段的直线是它的一条对称轴’.

师：

太棒了！

让我们为他鼓掌吧！

生：

热烈鼓掌.

【设计意图】让学生通过亲自动手折纸，自己发现结论，并及时引导学生对发现的结论进行证明，进一步培养了学生严谨思维、推理论证、及时验证的好习惯，也为后续教学做好准备.

教学建议：

1.要留给学生充足的时间进行活动，这一问题如果能顺利解决，下面线段垂直平分线性质的教学也会迎刃而解.

2.学生的推理可能不够严谨，教师要及时给以点拨，规范学生的语言，培养学生严谨说理的意识和能力.

3.线段的另一条对称轴比较抽象，学生不易理解，也不要求学生掌握，如果学生没有对第一个同学的结论提出异议，教师不必刻意提出.

（二）线段垂直平分线的概念和性质

师：

根据以上的学习，线段的对称轴与这条线段有哪些关系哪？

生：

线段的对称轴与这条线段垂直，并且平分这条线段.

师：

你知道像这样的直线的名称吗？

生：

像这样的直线叫做这条线段的垂直平分线，简称中垂线.

师：

如果线段与其中垂线的交点为O，通过上面的学习可以知道AO=BO,如果点C是线段垂直平分线上的另外一点，那么AC=BC吗？

为什么？

（展示下图）

生1：

相等，我通过手中的纸片，用刻度尺量取后发现它们相等.

生2：

我是通过折叠纸片，从他们互相重合发现它们相等的.

生3：

我认为可以通过三角形全等证明他们相等，在△AOC和△BOC中，因为AO=BO，∠AOC=∠BOC=90°，OC=OC，所以△AOC≌△BOC，所以AC=BC.

师:

如果改变点C的位置，那么AC还等于BC吗？

生：

AC仍然等于BC.

师：

由此你能得到线段垂直平分线的性质吗？

生：

线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.

【设计意图】线段垂直平分线的性质比较重要，要让学生自己发现结论，以便加深学生的理解和记忆，同时要让学生说明自己发现的正确性，逐步培养学生的说理能力.

教学建议：

1.学生发现性质的途径可能是多样的，教师要及时给以鼓励，对于学生表述不完善的地方，要给以正确的梳理.

2.对于性质的证明很有必要性，如果学生只是通过量取或折叠重合的方法加以说明，教师要引导学生在理论上加以证明.

3.教师要注意利用多媒体演示，以加强学生对线段垂直平分线的性质的理解.

（三）用尺规作线段的垂直平分线

师：

现在你知道本课开始部分，码头应该建在什么地方了吗？

他们哪位同学的说法是正确的哪？

生：

码头的位置应该建在线段AB的中垂线与河岸的交点处，第三位同学的说法是正确的.

（回顾前文，扫清学生的疑虑，同时让学生感受所学知识的用途，及时培养学生学习数学的兴趣）

师：

很高兴大家能够学以致用，可你能够只用尺规就作出线段的垂直平分线吗？

（展示问题）

已知：

线段AB.

求作：

AB的垂直平分线.

师：

请你试着画出图形，并把你的作法展示给大家.

生1：

我是这样作的：

（展示作法如下）

作法：

（1）分别以点A和B为圆心，任意长为半径作弧，两弧交于点C和D.

（2）作直线CD.

直线CD就是线段AB的垂直平分线.

生2：

我的作法和他一样，可是我却画不出线段CD.（展示如下）

师：

谁知道第二位同学的问题出在什么地方吗？

生：

他在以点A和B为圆心作弧时，圆的半径太短了？

师：

那么圆的半径要有多长才可以哪？

生：

圆的半径要大于

的长才可以，否则它们就没有交点了.

师：

那么刚才第一位同学的作法有什么不妥之处吗？

应该怎样修改哪？

生：

作法中的“以任意长为半径作弧”不妥，应该修改为“以大于

的长为半径作弧”.

师：

非常好！

请刚才没有完成的同学，根据我们刚刚得到的方法再试一试吧！

如果仍然有困难，一定要向别人请教呦！

生：

再一次作图，进一步体验线段垂直平分线的作法.

师：

我们刚刚学会了如何用尺规作线段的垂直平分线，可是你能说明为什么所作的直线就是已知线段的垂直平分线吗？

生1：

如图，设AB与CD的交点为O，由作图过程可知AC=BC，又因为OA=OB,OC=OC,由SSS可知△AOC≌△BOC,所以∠AOC=∠BOC=90°,所以CD是AB的垂直平分线.

生2：

他证明三角形全等时不正确，因为我们还不知道OA是否等于OB,我没有找到证明△AOC和△BOC全等的理由.

生3：

如图，我们只要再连接DA、DB就可以了，因为在△ADC和△BDC中，AC=BC,AD=BD,CD=CD,由SSS可知△ADC≌△BDC,得到∠ACD=∠BCD，不需要再证明△AOC和△BOC全等,由等腰三角形的“三线合一”就可知道CD是AB的垂直平分线.

【设计意图】尺规作图能培养学生严谨的学习习惯、严密的逻辑思维和空间想象能力，线段垂直平分线的作法中画弧时容易出错，要让学生明确作图的原理.

教学建议：

1.作线段的垂直平分线时，有些学生无法完成作图，要让学生在亲自动手中发现发现原因，明白半径大于

的必要性.

2.作图的证明难度较大，学生易出现用未知证明未知的错误，教师要及时加以指证，如果学生想不到证明方法，教师要给以合理的引导，不可直接给出结果，这样不利于学生思维能力的培养.

三、典例剖析，归纳提升

师：

通过刚才的学习，我们已经知道线段的垂直平分线是线段的一条对称轴，还学会了用尺规作一条线段的垂直平分线.下面就让我们利用这些知识解决问题吧！

（展示例题，下发导学案）

例：

利用尺规作出如图所示的△ABC的重心O．（保留作图痕迹，不写作法）

师：

什么是三角形的重心？

生：

三角形的重心就是三角形三条中线的交点.

师：

怎样才能画出三角形的中线哪？

生：

先画出各边的垂直平分线，确定各边的中点，然后就可以画出中线了.

师：

下面就请你根据我们刚才的分析把三角形的重心画出来吧，记得要展示给大家看呦！

生：

画图，并展示如下：

师：

上面的例题同学们解决的很好，通过以上的解题你发现利用尺规作线段的垂直平分线，能帮助我们解决哪些问题哪？

生1：

我们可以通过作线段的垂直平分线得到直角，从而可以得到直角三角形.

生2：

我们可以通过作线段的垂直平分线得到线段的中点.

生3：

我们可以通过作线段的垂直平分线解决一些和线段的中点或直角有关的实际问题.

【设计意图】本题是对尺规做线段中垂线的间接应用，教师要注意引导学生寻找作图的思路，并适时总结所学知识的广泛用途，培养学生及时总结的好习惯.

四、当堂检测，巩固提高

师：

同学们的表现很棒，下面就让我们检测一下今天的学习效果吧！

请独立完成以下各题.（出示检测题）

1．如图，BC是△ABC的一条边，DE是BC的垂直平分线，垂足为D，并交AC于点E，已知BC=10cm,BE=6cm,那么DB=____，EC=____.

2．如图，已知△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线DE交AC于D，垂足为E，若AB=5cm，△BCD的周长为8cm，那么BC的长是cm．

3．已知，如图，在△ABC中，边AC的垂直平分线DE交AC于E，交BC于D，若AE=3cm，△ABD的周长为13cm，求△ABC的周长．

第3题图

4．如图，A、B、C三点表示三个城镇的位置，由于城镇的发展，手机用户人口增多，现在三镇要联合建造一个手机信号发射塔，使发射塔到三镇的距离相等．你能找出它的位置吗（用P点表示）？

并简要说明理由．

生：

独立解答

师：

评析并给出答案：

1.5cm6cm2.40

3.解：

因为DE是边AC的垂直平分线，

所以AD=CD，AE=EC，

因为AE=3cm，△ABD的周长为13cm，

所以AC=AE+EC=3+3=6cm，

所以△ABD的周长=AB+AD+BD=AB+CD+BD=AB+BC=13cm，

所以△ABC的周长=AB+BC+AC=13+6=19cm．

4.连接AB，BC，

做AB，BC的垂直平分线，交点即是P点，

根据垂直平分线的性质得出，发射塔到三镇的距离相等．

【设计意图】及时反馈，了解学生对本节课知识的掌握情况，让学生在独立自主解答问题的过程中，进一步巩固所学的知识，教师要及时巡视，根据学生的完成情况有针对性的进行讲解，第1题是线段垂直平分线性质的直接应用，2，3两题是线段垂直平分线与三角形周长的综合题，这三题难度不大，第4题是线段垂直平分线的有关作图，难度较大，教师要根据情况加以引导.

五、归纳总结、形成体系

师：

通过本节课的学习你都学到了哪些知识？

掌握了哪些数学方法？

你还有什么疑难问题要和大家一起探讨吗？

生：

畅所欲言，谈收获与感受．并总结出本节课的主要内容：

1.线段是轴对称图形，对称轴是它的垂直平分线.

2.线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等.

【设计意图】让学生在总结的过程中理清思路、整理经验，对本节课所学的知识结构有一个清晰的认识，对线段的对称性及线段垂直平分线的性质有一个新的感悟,形成知识的正向迁移.从而构建出合理的知识体系，养成良好的学习习惯.

六、作业布置

课本第124页第1题，第125页第3题.

七、板书设计

5.3简单的轴对称图形

（2）

1.线段的对称性

2.线段垂直平分线的性质

用尺规作线段的垂直平分线

例题

学生练习

八、教学反思

在本节课的教学中：

1.注意结合教学内容，从现实生活中创设问题情境，激发学生学习的兴趣；2.注重引导学生动手操作，在亲自的实践中发现结论，学到知识；3.精心挑选例题和练习，进行有针对性的训练.

本堂课的不足之处是：

1.在折纸验证环节，留给学生的时间较少，个别学生没能掌握折纸的方法.

2.尺规作图部分处理不够细致，部分学生掌握不好.

3.时间安排不太合理.