小学奥数几何五大模型相似模型.docx
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小学奥数几何五大模型相似模型
...
任意四边形、梯形与相似模型
模型四相似三角形模型
(一)金字塔模型
(
二)
沙漏模型
A
E
F
D
A
D
F
E
B
G
C
B
G
C
①AD
AE
DE
AF;
AB
AC
BC
AG
②S△ADE:
S△ABCAF2:
AG2。
所谓的相似三角形,就是形状相同,大小不同的三角形
(只要其形状不改变,不论大小怎样
改变它们都相似),与相似三角形相关的常用的性质及定理如下:
⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例,并且这个比例等于它们的相似比;
⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方;
⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
三角形中位线定理:
三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半。
相似三角形模型,给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具。
在小学奥数里,出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形。
【例1】如图,已知在平行四边形ABCD中,AB16,AD10,BE4,那么FC的长度是多少?
DC
F
A
B
E
【解析】图中有一个沙漏,也有金字塔,但我们用沙漏就能解决问题,
因为AB平行于CD,
所以BF:
FCBE:
CD4:
16
1:
4,所以FC10
4
8.
4
1
..
...
【例2】如图,测量小玻璃管口径的量具ABC,AB的长为15厘米,AC被分为60等份。
如果小玻璃管口DE正好对着量具上20等份处(DE平行AB),那么小玻璃管口径
DE是多大?
B
E
A
D
C
0
10
20
30
40
50
60
【解析】有一个金字塔模型,所以DE:
AB
DC:
AC,DE:
15
40:
60,所以DE
10厘米。
【例3】如图,DE平行BC,若AD:
DB2:
3,那么S△ADE:
S△ECB________。
A
D
E
B
C
【解析】根
据
金
字塔
模
型
AD:
ABAE:
AC
DE:
BC
2:
(2
3)2:
5,
S△ADE:
S△ABC
22:
52
4
:
25,
设
S△ADE
4
份,则
S△ABC
25份,S△BEC
25
53
份,所以
S:
S
4
。
:
1
△ADE△
EC
B
【例
4】如图,
△ABC中,DE,FG,BC互相平行,ADDF
FB,
则S△ADE:
S四边形DEGF:
S四边形FGCB
。
A
D
E
F
G
B
C
【解析】设S△ADE
1份,根据面积比等于相似比的平方,
所以S△ADE:
S△AFGAD2:
AF2
1:
4,S△ADE:
S△ABCAD2:
AB2
1:
9
,因此
S△AFG4份,S△ABC9份,
进而有S四边形DEGF3份,S四边形FGCB
5份,所以S△ADE:
S四边形DEGF:
S四边形FGCB
1:
3:
5
..
...
【巩固】如图,DE平行BC,且AD2,AB5,AE4,求AC的长。
A
DE
B
C
【解析】由金字塔模型得AD:
ABAE:
ACDE:
BC2:
5,所以AC42510
【巩固】如图,
△ABC
中,
,
,
,PQ,
互相平行,
ADDFFMMPPB
,
DEFGMN
BC
则S△ADE
:
S四边形DEGF
:
S四边形FGNM
:
S四边形MNQP
:
S四边形PQCB
。
A
D
E
F
G
M
N
P
Q
B
C
【解析】设S△ADE
1份,S△ADE:
S△AFG
AD2:
AF2
1:
4
,因此S△AFG
4份,进而有
S四边形DEGF
3
份,同理有
S四边形FGNM
5份,
四边形
7份,四边形
PQCB
9份.
S
MNQP
S
所以有
△
ADE
:
四边形
DEGF
:
四边形
FGNM
:
四边形
MNQP
:
四边形
PQCB
1:
3:
5:
7:
9
S
S
S
S
S
【总结】继续拓展,我们得到一个规律:
平行线等分线段后,
所分出来的图形的面积成等差
数列。
【例5】已知△ABC中,DE平行BC,若AD:
DB2:
3,且S梯形DBCE比S△ADE大8.5cm2,
求S△ABC。
A
DE
B
C
【解析】根据金字塔模型AD:
ABDE:
BC2:
(23)2:
5,
S△ADE:
S△ABC
22:
52
4:
25,
设
S梯形DBC2E5
4
份,S梯形DBCE比
S△ABC12.5cm2
S△AD
4
份,则
S△ABC
25
份,
E
S△ADE
大
17份,恰好是8.5cm2
,所以
【例6】如图:
MN平行BC,S△MPN:
S△BCP4:
9,AM4cm,求BM的长度
..
...
A
M
N
P
B
C
【解析】在沙漏模型中,因为S△MPN:
S△BCP
4:
9,所以MN:
BC
2:
3
,在金字塔模型中有:
AM:
AB
MN:
BC
2:
3,因为AM
4cm,AB
4
23
6cm,所以
BM
642cm
【巩固】如图,已知
DE平行BC,BO:
EO
3:
2,那么AD:
AB
________。
A
D
E
B
O
C
【解析】由沙漏模型得BO:
EO
BC:
DE3:
2,再由金字塔模型得
AD:
AB
DE:
BC
2:
3.
【例
7】如图,ABC中,AE
1
1
AC,ED与BC平行,
EOD的面积是1
AB,AD
4
4
平方厘米。
那么
AED的面积是
平方厘米。
A
E
D
O
B
C
【解析】因为AE
1AB,AD
1AC,ED与BC平行,
4
4
根据相似模型可知
ED:
BC1:
4,EO:
OC1:
4
,SCOD
4SEOD4平方厘米,
则SCDE41
5平方厘米,
又因为SAED:
SCDE
AD:
DC
1:
3,所以SAED
5
1
5
(平方厘米).
3
3
【例
8】在图中的正方形中,
A,B,C分别是所在边的中点,
CDO的面积是
ABO面
积的几倍?
C
F
C
B
O
B
O
A
D
E
A
D
【解析】连接BC,易知OA
∥EF,根据相似三角形性质,可知
OB:
ODAE:
AD,且
..
...
OA:
BEDA:
DE1:
2,所以
CDO的面积等于CBO的面积;由
1
1
3OA,所以SCDOSCBO3SABO,即CDO的面积是
OABE
AC可得CO
24
ABO面积的3倍。
【例9】如图,线段AB与BC垂直,已知ADEC
4,BD
BE6,那么图中阴影部分
面积是多少?
A
A
D
D
O
BECBEC
A
D
O
BEC
【解析】解法一:
这个图是个对称图形,且各边长度已经给出,不妨连接这个图形的对称轴看看.
作辅助线
BO
,则图形关于
BO
对称,有
SADOS
,
SDBO
SEBO
,且
CEO
S
:
S
DBO
4:
62:
3
ADO
.
设ADO的面积为2份,则DBO的面积为3份,直角三角形ABE的面积为8份.
因为SABE610230,而阴影部分的面积为4份,所以阴影部分的面积为
308415
.
解法二:
连接
DE、AC.由于ADEC4
,BD
BE
6
,所以DE∥AC,根
据相似三角形性质,可知DE:
ACBD:
BA
6:
10
3:
5,
根据梯形蝴蝶定理,SDOE:
SDOA:
SCOE:
SCOA
32:
35
:
3
5:
52
9:
15:
15:
25,
所以S阴影:
S梯形ADEC
15
15
:
91515
25
15:
32,即S阴影
15
S梯形ADEC;
32
又S梯形ADEC
110
10
1
6
6=32,所以S阴影
15S梯形ADEC
15.
2
2
32
【例
10】
(2008年第二届两岸四地”华罗庚金杯”少年数学精英邀请赛
)如图,四边形
ABCD和EFGH都是平行四边形,四边形
ABCD的面积是16,BG:
GC
3:
1,则
四边形EFGH的面积
________.
A
E
D
F
H
B
G
C
【解析】因为FGHE
为平行四边形,所以
EC//AG,所以AGCE为平行四边形.
..
...
BG:
GC
3:
1,那么GC:
BC
1:
4,所以SAGCE
1
SABCD
1
164.
4
4
又AE
GC,所以AE:
BG
GC:
BG
1:
3,根据沙漏模型,
FG:
AF
BG:
AE3:
1,所以SFGHE
3
3
43.
SAGCE
4
4
【例
11】
已知三角形ABC的面积为a,AF:
FC2:
1
,E是BD的中点,且EF∥BC,
交CD于G,求阴影部分的面积.
A
D
E
F
G
B
C
【解析】已知
AF:
,且
EF
∥
BC
,利用相似三角形性质可知
FC2:
1
EF:
BC
A:
FA2C,:
所以EF
2
4:
9
.
BC,且SAEF:
SABC
3
1
又因为E是BD的中点,所以
EG是三角形
DBC的中位线,那么
EG
BC,
2
EG:
EF
1
2
3:
4,所以
GF:
EF1:
4,可得
S
:
S
1:
8
:
3
CFG
AFE
,所以
2
S
:
S
1:
18
a
.
CFG
ABC
,那么SCFG
18
【例
12】
已知正方形
ABCD,过C的直线分别交
AB、AD的延长线于点
E、F,且
AE
10cm,AF15cm,求正方形ABCD的边长.
A
B
E
DC
F
【解析】方法一:
本题有两个金字塔模型,根据这两个模型有
BC:
AF
CE:
EF,
DC:
AE
CF:
EF,设正方形的边长为
xcm,所以有BC
DC
CE
CF
1,
即x
x
AF
AE
EF
EF
1,解得x6,所以正方形的边长为
6cm.
15
10
x
15x,解得x
方法二:
或根据一个金字塔列方程即
6
10
15
【例
13】
如图,三角形ABC是一块锐角三角形余料,边
BC
120毫米,高AD
80毫
米,要把它加工成正方形零件,使正方形的一边在
BC上,其余两个顶点分别在
AB、AC上,这个正方形零件的边长是多少?
..
...
A
P
N
B
H
DG
C
【解析】观察图中有金字塔模型
5个,用与已知边有关系的两个金字塔模型,所以有
PN
AP,PH
BP,设正方形的边长为x毫米,PN
PH
AP
BP
1,即
BC
AB
AD
AB
BC
AD
AB
AB
x
x
,解得x
48,即正方形的边长为48毫米.
120
1
80
【巩固】如图,在△ABC中,有长方形DEFG,G、F在BC上,D、E分别在AB、AC
上,AH是△ABC边BC的高,交DE于M,DG:
DE
1:
2
,BC
12
厘米,
AH
8厘米,求长方形的长和宽.
A
D
M
E
B
G
H
F
C
【解析】观察图中有金字塔模型
5个,用与已知边有关系的两个金字塔模型,所以
DE
AD,DG
BD
,所以有DE
DG
AD
BD
1,设DGx,则DE
x2,
BC
AB
AH
AB
BC
AH
AB
AB
所以有
2x
x
1
,解得x
24,2x
48,因此长方形的长和宽分别是
48厘米,
12
8
7
7
7
24厘米.
7
【例
14】
图中ABCD是边长为12cm的正方形,从G到正方形顶点C、D连成一个三角
形,已知这个三角形在
AB上截得的EF长度为4cm,那么三角形
GDC的面积是
多少?
G
G
A
EFB
A
EFB
N
D
C
D
MC
【解析】根据题中条件,可以直接判断出
EF与DC平行,从而三角形GEF与三角形GDC相
似,这样,就可以采用相似三角形性质来解决问题.
做GM垂直DC于M,交AB于N.
因为EF∥DC,所以三角形GEF与三角形GDC相似,且相似比为
EF:
DC4:
121:
3,
所以GN:
GM1:
3,又因为MNGMGN12,所以GM18cm,
..
...
所以三角形GDC的面积为11218108cm
2.
2
【例
15】
如图,将一个边长为
2的正方形两边长分别延长
1和3,割出图中的阴影部分,
求阴影部分的面积是多少?
E
M
B
N
O
F
【解析】根据相似三角形的对应边成比例有:
NF
3
3
;EM
1
1
,
5,
1
2
2
2
3
2
则NF
5,EM
9
3
S阴
1
9
5
1
2
2
2
30
5
3
【例
16】
(2008年101
中学考题)图中的大小正方形的边长均为整数
(厘米),它们的面
积之和等于52平方厘米,则阴影部分的面积是
.
A
B
C
D
G
H
F
E
【解析】设大、小正方形的边长分别为
m厘米、n厘米(m
2
2
52,所以
n),则mn
m
8.若m
5,则m
2
2
2
50
52
,不合题意,所以m只能为
6或7.检
n
52
验可知只有m
6、n
4满足题意,所以大、小正方形的边长分别为
6
厘米和4
厘米.根据相似三角形性质,
BG:
GF
AB:
FE
6:
4
3:
2
,而BG
GF6,得
BG
3.6(厘米),所以阴影部分的面积为:
1
6
3.6
10.8(平方厘米).
2
【例
17】
如图,O是矩形一条对角线的中点,
图中已经标出两个三角形的面积为
3和4,
那么阴影部分的一块直角三角形的面积是多少?
D
A
D
A
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