人教版七年级上数学第三章一元一次方程 导学案.docx

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人教版七年级上数学第三章一元一次方程导学案

最新人教版七年级上数学第三章一元一次方程导学案

  第三章：

一元一次方程

  课题3.1.1从算式到方程

  一．目标

  1、能根据题意用字母表示未知数，然后分析出等量关系,再根据等量关系列出方程；

  2、体会找等量关系，会用方程表示简单实际问题。

  二．预习热身

  根据条件列出式子

  ①比a大5的数：

；

  ②b的一半与8的差：

；

  ③x的3倍减去5：

；

  ④a的3倍与b的2倍的商：

；

  ⑤汽车每小时行驶v千米，行驶t小时后的路程为千米；⑥某建筑队一天完成一件工程的1，x天完成这件工程的；

  12

  ⑦某商品原价为a元，打七五折后售价为元；

  ⑧某商品每件x元,买a件共要花元；

  ⑨某商品原价为a元，降价20%后售价为元；

  ⑩某商品原价为a元，升价20%后售价为元。

  三．活动探究

  活动1.根据条件列出等式：

  ①比a大5的数等于8：

；

  ②b的一半与7的差为6：

；

  ③x的2倍比10大3：

；

  ④比a的3倍小2的数等于a与b的和：

；

  ⑤某数x的30%比它的2倍少34：

。

  像上面这种含有未知数的等式叫做方程。

列方程时要先设字母表示未知数，再根据问题中的相等关系列出方程。

  活动2．

  例1根据下面实际问题中的数量关系，设未知数列出方程：

（1）用一根长为24cm的铁丝围成一个正方形，正方形的边长为多少？

（2）一台计算机已使用1700小时，预计每月再使用150小时，经过多少月这台计算机的使用时间达到规定的检修时间2450小时？

  （3）某校女生人数占全体学生数的52%，比男生多80人，这个学校有多少学生？

  解：

（1）设正方形的边长为xcm，列方程得：

。

（2）设x月后这台计算机的使用时间达到规定的检修时间2450小时；

  列方程得：

。

  （3）设这个学校学生数为x，则女生数为，

  1

  男生数为，依题意得方程：

。

  四．盘点提升

  上面的分析过程可以表示如下：

  实际问题设未知数列方程方程

  分析实际问题中的数量关系，利用其中的相等关系列出方程，是用数学解决实际问题的一种方法。

  五．达标检测

  1.课本80页练习（做在课本上）

  2.练习本每本0.8元，小明拿了10元钱买了若干本，还找回4.4元。

问：

小明买了几本练习本？

（设未知数列出方程）

  3.长方形的周长为24cm，长比宽多2cm，求长和宽分别是多少。

（设未知数列出方程）

  【总结反思】：

  课题3.1.1一元一次方程

  一．目标

  1、理解什么是一元一次方程；

  2、理解什么是方程的解及解方程，学会检验一个数值是不是方程的解的方法。

  二．预习热身

  1.什么是方程?

  答：

叫做方程。

  2.判断下列是不是方程,是打“√”，不是打“×”：

  2

  ①x3（）②3+4=7（）③2x136y（）

  ④1

  x6（）⑤2x810（）⑥2x31（）

  三．活动探究

  活动1.一元一次方程的概念

  观察下面方程的特点

（1）4x=24

（2）1700+150x=2450（3）0.52x-（1-0.52x）=80

  小结：

上面各方程，它们都含有个未知数（元），未知数的次数都是，这样的方程叫做一元一次方程。

  活动2.方程的解

  如何求出使方程左右两边相等的未知数的值？

如方程x3=4中，x=？

方程2x31中的x呢？

请用小学所学过的逆运算尝试解决上面的问题。

  解方程就是求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值，这个值就是方程的解。

  例检验2和-3是否为方程2x33x1的解。

  解：

当x=2时，左边==，右边==，

  ∵左边右边（填＝或≠）

  ∴x=2方程的解（填是或不是）

  当x=3时，左边==，右边==，

  ∵左边右边（填＝或≠）

  ∴x=3方程的解（填是或不是）

  四．盘点提升

  1.这节课我们学习了什么内容？

  2．什么是方程的解？

如何检验一个数是否是方程的解？

  五．达标检测

  1.判断下列是不是一元一次方程,是打“√”，不是打“×”：

  ①x3=4（）②2x31（）③2x136y（）④x

  20（）⑤2x810（）⑥3+4x=7x（）

  2.检验3和-1是否为方程x12（x1）的解。

  3

  3.x=1是下列方程（）的解：

  （A）1x2（B）2x143x

  （C）3（x1）4）（D）x45x2

  4、已知方程（1a）x22x32是关于x的一元一次方程，则a=。

  六．拓展训练

  x5

  21．检验2和3是否为方程1x2的解。

  2.老师要求把一篇有2000字的文章输入电脑，小明输入了700字，剩下的让小华输入，小华平均每分钟能输入50个字，问：

小华要多少分钟才能完成？

（请设未知数列出方程，并尝试求出方程的解）

  【总结反思】：

  课题3.1.2等式的性质

  一．目标

  掌握等式的两条性质，并能运用这两条性质解方程。

  二．预习热身

  1．什么是等式？

  用等号来表示相等关系的式子叫等式。

  例如：

m+n=n+m，x+2x=3x，3×3+1=5×2，3x+1=5y这样的式子，都是等式。

  2.方程是__________的等式，为了讨论解方程，我们先来研究等式有什么性质？

  三．活动探究

  活动1．探索等式性质

（1）观察课本81页图3．1-1，由它你能发现什么规律？

  从左往右看，发现如果在平衡的天平的两边都加上同样的量，天平还_________；

  从右往左看，是在平衡的天平的两边都减去同样的量，结果天平还是___________；

  等式就像平衡的天平，它具有与上面的事实同样的性质。

  等的性质1：

等式两边都加（或减）同一个数（或式子），结果________；

  怎样用式子的形式表示这个性质？

  如果ab，那么ac

  注：

运用性质1时，•应注意等号两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式才能保持所得结果仍是等式，否则就会破坏相等关系。

  4

（2）观察课本图3．1-2，由它你能发现什么规律？

  可以发现，如果把平衡的天平两边的量都乘以（或除以）同一个量，天平还________；等式性质2：

等式两边乘同一个数，或除以同一个不等于0的数，结果仍_________；怎样用式子的形式表示这个性质？

  注：

运用性质2时，应注意等式两边都乘以（或除以）同一个数，•才能保持所得结果仍是等式，但不能除以0，因为0不能作除数。

  活动2.等式的性质的应用

  例2利用等式的性质解下列方程：

（1）x+7=26

（2）-5x=20（3）-1

  3x-5=4

  分析：

-5x=20中-5x表示-5乘x，其中-5是这个式子-5x的系数，式子x•的系数为1，-x的系数为-1，如何把方程-5x=20转化为x=a形式呢？

即把-5x的系数变为1，应把方程两边同除以______。

方程-1

  3x-5=4的左边的-5要去掉，同时还要把-1

  3x的系数化为1，如何去掉-5呢？

根据两个互为相反数的

  和为______，所以应把方程两边都加上____。

  解：

（1）根据等式性质____，两边同______，得：

  5x20

（2）根据等式性质____，两边都除以____，得于是x=_____55

  11（3）根据等式性质______，两边都加上_____，得-x-5+5=4+5化简，得-x=933

  11再根据等式性质____，两边同除以-（即乘以-3），得-x·（-3）=9×（-3）33

  于是x=_____

  请同学们自己代入原方程检验。

  四．盘点提升

  1．根据等式的两条性质，对等式进行变形必须等式两边同时进行，即：

•同时加或减，同时乘或除，不能漏掉一边；

  2．等式变形时，两边加、减、乘、除的数或式必须相同；

  3．利用性质2进行等式变形时，须注意除以的同一个数不能是0。

  五．达标检测

  1．课本第83页练习（做在练习本上）

  六．拓展训练

  1.回答下列问题：

（1）从a+b=b+c，能否得到a=c，为什么？

（2）从a-b=c-b，能否得到a=c，为什么？

  （3）从ab=bc能否得到a=c，为什么？

  ac（4）从=，能否得到a=c，为什么？

bb

  5

  （5）从xy=1，能否得到x=1

  y，为什么？

  2.利用等式的性质解下列方程并检验

（1）-3x=15

（2）

  【总结反思】：

  课题3.2解一元一次方程

（1）

  ──合并同类项

  一．目标

  1.会列一元一次方程解决实际问题；

  2.并会合并同类项解一元一次方程。

  二．预习热身

  1．等式性质1：

  2：

  2．解方程：

（1）x-9=8

（2）3x+1=4

  三．活动探究

  活动1．某校三年级共购买计算机140台，去年购买数量是前年的2倍，•今年购买数量又是去年的

  2倍，前年这个学校购买了多少台计算机？

  分析：

设前年这个学校购买了x台计算机，已知去年购买数量是前年的2倍，那么去年购买___台，

  又知今年购买数量是去年的2倍，则今年购买了______（即____）台；

  题目中的相等关系为：

三年共购买计算机140台，即

  前年购买量＋去年购买量＋今年购买量＝140

  列方程：

_____________如何解这个方程呢？

  根据分配律，x+2x+4x=（______）x=7x；

  这样就可以把含x的项合并为一项，合并时要注意x的系数是1，不是0；

  下面的框图表示了解这个方程的具体过程：

  ↓合并同类项

  1

  6

  23x-1=5

  由上可知，前年这个学校购买了20台计算机．

  上面解方程中“合并”起了化简作用，把含有未知数的项合并为一项，从而达到把方程转化为ax=b的形式，其中a、b是常数。

  活动2.自己试着完成

  例1解方程

（1）2x-

  四．盘点提升

  列一元一次方程解决实际问题的一般步骤中，找等量关系是关键也是难点，本节课的两个问题的相等关系都是：

“各部分量的和＝总量”；这是一个基本的相等关系。

  合并就是把类型相同的项系数相加合并为一项，也就是逆用乘法分配律，合并时，注意x或-x的系数分别是1，-1，而不是0。

  五．达标检测

  1．课本第88页练习第1题。

  2．某班学生共60人，外出参加种树活动，根据任务的不同，要分成三个小组且使甲、乙、丙三个小组人数之比是2：

3：

5，求各小组人数。

  思路：

这里甲、乙、丙三个小组人数之比是2：

3：

5，就是说把总数60•人分成___份，甲组人数占___份，乙组人数占___份，丙组人数占___份，如果知道每一份是多少，•那么甲、乙、丙各组人数都可以求得，所以本题应设每一份为x人。

  关键：

本题中相等关系是什么？

____________________________________

  解：

设每一份为x人，则甲组人数为__人，乙组人数为___人，丙组为___人，•列方程：

_______________

  合并，得________

  系数化为1，得x=___

  所以2x=____，3x=_____，5x=______

  答：

甲组_____人，乙组___人，丙组______人。

  （请同学们检验一下，答案是否合理，即这三组人数的比是否是2：

3：

5，•且这三组人数之和是否等于60）

  六．拓展训练

  1.足球的表面是由若干个黑色五边形和白色六边形皮块围成的，黑白皮块的数目比为3：

5，一个足球的表面一共有32个皮块，黑色皮块和白色皮块各有多少？

  解：

设每份为_____个，则黑色皮块有_____个，白色皮块有_______个

  列方程_________

  合并，得_________

  系数化为1，得x=_____

  黑色皮块为___×___=____（个），白色皮块有____×___=____（个）

  112.某学生读一本书，第一天读了全书的多2页，第二天读了全书的少1•页，•还剩23页没读，问32

  全书共有多少页？

（设未知数，列方程，不求解）

  解：

设全书共有____页，那么第一天读了（）页，第二天读了（）页。

  本问题的相等关系是：

_____________+_______________+_____________=全书页数；

  列方程：

_______________________。

  7

  52x6-8

（2）7x2.5x3x1.5x15463

  3.课本第88页练习第2题。

  【总结反思】：

  课题3.2解一元一次方程

（2）

  ──移项

  一．目标

  1.会寻找问题中的等量关系，运用方程解决实际问题；

  2.理解“移项法则”的依据，会用移项法则解方程。

  二．预习热身

  解方程：

（1）3x-2x=7

（2）

  三．活动探究

  活动1.把一些图书分给某班学生阅读，如果每人分3本，则剩余20本；如果每人分4本，则还缺25本，这个班有多少学生？

  分析：

设这个班有x名学生，根据第一种分法，分析已知量和未知量间的关系。

（1）每人分3本，那么共分出______本；共分出3x本和剩余的20本，可知道这批书共有________本；

  根据第二种分法，分析已知量与未知量之间的关系。

（2）每人分4本，那么需要分出_______本；需要分出4x本和还缺少25本那么这批书共有________本；

  这批书的总数是一个定值（不变量）,表示它的两个式子应相等；

  根据这一相等关系，列方程：

__________________

  本题还可以画示意图，帮助我们分析：

  14x+12x=3

  注意变化中的不变量，寻找隐含的相等关系，从本题列方程的过程，可以发现：

“表示同一个量的两个不同式子相等”。

  8

  分析：

方程3x+20=4x-25的两边都含有x的项（3x与4x），•也都含有不含字母的常数项（20与-25）怎样才能使它转化为x=a（常数）的形式呢？

  要使方程右边不含x的项，根据等式性质1，两边都减去4x，同样，把方程两边都减去20，方程左边就不含常数项20，即

  3x+20-4x-20=4x-25-4x-20

  即3x-4x=-25-20

  将它与原来方程比较，相当于把原方程左边的+20

  变为-20后移到方程右边，把原方程右边的4x变为-4x后移到左边。

  像上面那样，把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项。

  方程中的任何一项都可以在改变符号后，从方程的一边移到另一边，即可以把方程等号右边的项改变符号后移到等号的左边，•也可以把方程左边的项改变符号后移到方程的右边，注意要先变号后移项，别忘了变号。

  ↓移项

  ↓合并同类项

  ↓系数化为1

  由此可知这个班共有45个学生。

  活动2.自己动手做一做

  例3解方程

（1）3x+7=32-2x

（2）x3

  四．盘点提升

  上面解方程中“移项”的作用很重要：

“移项”使方程中含x的项归到方程的同一边（左边），不含x的项即常数项归到方程的另一边（右边），这样就可以通过“合并”把方程转化为x=a形式。

在解方程时，要弄清什么时候要移项，移哪些项，目的是什么？

  解方程时经常要“合并同类项”和“移项”，前面提到的古老的代数书中的“对消”和“还原”，指的就是“合并”和“移项”。

  五．达标检测

  1.下列移项对不对？

如果不对，错在哪里？

应当怎样改正？

（1）从3x+6=0得3x=6；

（2）从2x=x-1得到2x-x=1；

  （3）从2+x-3=2x+1得到2-3-1=2x-x；2.解方程：

（1）6x-7=4x-5

（2）

  932x112x-6=34x

  （3）3x+5=4x+1（4）9-3y=5y+5

  【总结反思】：

  课题3.2解一元一次方程（3）

  ──合并同类项与移项

  一．目标

  1.学会探索数列中的规律，建立等量关系；

  2.探索并发现实际问题中的等量关系，并列出方程。

  二．预习热身

  解下列方程：

（1）9x—5x=8

（2）4x－6x－x=－15（3）

  三．活动探究

  活动1.前几节课，我们讨论了用一元一次方程解决一些实际问题，其实许多数列、游戏活动中也蕴

  10

  x23x27

  含着方程知识。

  例3：

有一列数，按一定规律排列成1，－3，9，－27，81，－243„„其中某三个相邻数的和是－1701，这三个数各是多少？

引导学生观察这列数有什么规律？

  （从符号和绝对值两方面）

  学生讨论后发现：

后面一个数是前一个数的－3倍。

师生共同分析，完成解答过程：

  解：

设这三个相邻数中的第一个数为x,则第2个数为－3x，第3个数为－3×（－3x）=9x

  根据这三个数的和是－1710，得

  x－3x＋9x=－1710

  合并同类项，得

  7x=－1710

  系数化为1，得

  x=－243

  所以－3x=729

  9x=－2187

  答：

这三个数是－243、729、－2187

  引导学生讨论以上列方程解决实际问题的关键。

  学生讨论、分析，探索规律，找出相等关系，如有学生提出不同的设未知数的方法，同样给予鼓励。

  活动2.

  1.课本P92第13题

  2.小明和小红做游戏，小明拿出一张日历：

“我用笔圈出了2×2的一个正方形，它们数字的和是76，你知道我圈出的是哪几个数字吗？

”你能帮小红解决吗？

  四．盘点提升

  1.你是怎样分析数列中的规律的？

  2.你学会判明方程的解是否合理吗？

  3.试用自己的话概括“用一元一次方程分析和解决实际问题”的一般过程

  五．达标检测

  1.三个连续的奇数的和是27，求这三个奇数。

  2.在某月内，李老师要参加三天的学习培训，现在知道这三天的日期的数字之和是39；

（1）培训时间是连续的三天，你知道这几天分别是当月的哪几号吗？

（2）若培训时间是连续三周的周六，那这几天又分是当月的哪几号？

  （学生练习，教师点评。

）

  11

  【总结反思】：

  课题3.2解一元一次方程（4）

  ──合并同类项与移项

  一．目标

  1.经历由实际问题抽象为方程模型的过程，进一步体会模型化的思想；

  2.通过探究实际问题与一元一次方程的关系，感受数学的应用价值，提高分析问题，解决问题的能力。

  二．预习热身

  解下列方程：

（1）5x83x2

（2）x3x1.24.85x

  三．活动探究

  活动1.某制药厂制造一批药品，如用旧工艺，则废水排量要比环保限制的最大量还多200t；如用新工艺，则废水排量比环保限制的最大量少100t。

新、旧工艺的排水量之比为2:

5，两种工艺的排水量各是多少?

  分析:

因为新、旧工艺的废水排水量之比为2:

5，所以可设它们分别为2xt和5xt，再根据它们与环保限制的最大量之间的关系列方程。

  解：

设新、旧工艺的废水排量分别为2xt和5xt，

  根据废水排量与环保限制的最大量之间的关系，

  得5x-200=

  移项，得

  合并同类项，得

  系数化为1，得x=

  所以2x=,5x=

  答：

新、旧工艺产生的废水排量分别为。

  活动2.一个周末，王老师等3名教师带着若干名学生外出考察旅游（旅费统一支付），联系了标价相同的两家旅游公司，经洽谈，甲公司给出的优惠条件是：

教师全部付费，学生按七五折付费;乙公司给的优惠条件是：

全部师生按八折付费，请你参谋参谋，选择哪家公司较省钱？

  12

  四．盘点提升

  五．达标检测（学生练习，教师巡视，指导）

  1.课本P90练习第2题

  2.课本P91第8题

  【总结反思】：

  13

  课题3.3解一元一次方程

（二）

  ----去括号

  一．目标：

  1、了解“去括号”是解方程的重要步骤；

  2、准确而熟练地运用去括号法则解带有括号的方程；

  3、能找出条件中的相等关系，会列一元一次方程解答应用题。

  二．预习热身

  1、叙述去括号法则，化简下列各式：

（1）（3）

  前几节学习的是不带括号的一类方程的解法，本节课是学习带有括号的方程的解法，如果去掉括号，就与前面的方程一样了，所以我们要先去括号。

  要去括号，就要根据去括号法则，及乘法分配律，特别是当括号前是“－”号，去括号时，各项都要变号，若括号前有数字，则要乘遍括号内所有项，不能漏乘并注意符号。

  三．活动探究

  活动１：

（１）你会解方程

  解：

去括号，得，

  移项得，

  合并同类项，得，

  系数化为1，得。

  （２）解方程。

吗？

这个方程有什么特点？

=；

（2）=；=；2、解方程：

2x+5=5x-7

  解：

去括号，得，

  移项，得，

  合并同类项，得，

  系数化为1，得。

  去括号应注意什么？

（１），

  （２），

  （３）:

解下列方程

  １２x-（x+10）=5X+2（X-1）２3X-7（X-1）=3-2（X+3）

  活动２：

一艘船从甲码头到乙码头顺流行驶，用了2小时；从乙码头返回甲码头逆流行驶，用了2.5小时。

已知水流的速度是3千米/时，求船在静水中的平均速度。

  14

  （教师引导学生寻找相等关系，列出方程。

）

  顺水行速=船速度+水流速度

  逆水行速=船速度-水流速度

  船速度指水不动（静水中）的速度.

  一般情况下可以认为这艘船往返的路程相等，由此可填空：

  顺流速度________顺流时间________逆流速度_________逆流时间解：

设船在静水中的平均速度为

  为千米/时，

  根据相等，得方程

  去括号，得

  移项，得

  合并同类项，得

  系数化为1，得

  答：

船在静水中的平均速度为千米/时。

  解方程的步骤：