6・已知等边8BC内接于圆t:
*+尸=1,且P是圆t上一点,则PAAPB^PC)的最大值是()
A.a/2B.1
C“D.2
7.已知函数fix)=sin2sin2(x+^,则沧)的最小值为()
A.|B.|
C适D边
匕4u・2
8.已知点P在椭圆r:
订+荒=l(“>b>0)上,点P在第一象限,点P关于原点。
的对称点为A,点P关于x轴的对称点为Q,设而=扌陀,直线AD与椭圆z■的另一个交点为B,若用丄PB,则椭圆r的离心率€=()
A.|B.芈
C鲁D誓
二、多项选择题:
本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.
9.某位教师2018年的家庭总收入为80000元,各种用途占比统计如图1折线图所示;2019年收入的各种用途占比统计如图2条形图所示,已知2019年的就医费用比2018年增加了4750元,则下列关于该教师家,庭收支的说法正确的是()
40%
4()%
35%
30%
\30%
ZD7O
20%
1
f\25%
X.
20%
1370
1V7D
5%
■IUtd
0
Q
储菩衣食住余行址医
储盖衣食正旅行"就底
图]图2
A.该教师2018年的家庭就医支出显著减少
B.该教师2019年的家庭就医总支岀为12750元
C.该教师2019年的家庭旅行支出占比显著增加
D.该教师2019年的家庭总收入为85000元
10.已知(“F+命”“>0)的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等,且展开式的各项系数之和为1024,则下列说法正确的是()
A.展开式中奇数项的二项式系数和为256
B.展开式中第6项的系数最大
C.展开式中存在常数项
D.展开式中含卫5项的系数为45
11.在棱长为1的正方体ABCD^AxBxCxDx中,点M在棱CC】上,则下列结论正确的是()
A.直线BM与平而ADDiAi平行
B.平而BM6截正方体所得的截而为三角形
C.异而直线AD与AG所成的角为扌
D・IMBI+IMDil的最小值为逅
y2y2
12.已知双曲线方一十=1(00)的左、右焦点分别为F】,Fi,O为坐标原点,P是双曲线上一点,且满
足旧用=210凡tanZPF2F1=2,则下列结论正确的是()
A.点P在双曲线的右支上
B.点(一扌,3)在双曲线的渐近线上
C.双曲线的离心率为逅
D.双曲线上任一点到两渐近线距离之和的最小值等于4
第I【卷
三、填空题:
本题共4小题,每小题5分,共20分・
13.已知向M«=(2,加),0=(1,—2),且a丄〃,则实数加的值是・
14.若sin(a+8)=g,tana=3tan^t贝ijsin(a—“)=.
x2—2a-,x^ch
15.已知函数M=\q(qO),若函数g(x)=/U)-3Ld有三个零点,则实数"的取值范用
8—x>a
是.
16.正方体的棱长为2,MN、E,F分别是AXBX.AD,BiCpCQ的中点,则过
EF且与MN平行的平而截正方体所得截而的而积为,CE和该截而所成角的正弦值为•(本
题第一空2分,第二空3分.)
四、解答题:
本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)已知在^ABC中,角儿B.C所对的边分别是4c从以下三个条件中选取一个解答该题.
①巴*==:
:
:
@4cos(B+C)+2cos2A=—3;厂“_b
“S/5cosAsin(A4-C)
(1)求角A的大小:
⑵若b+c=4g求AABC的而积.
注:
如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.
18.(12分)已知仏}是各项都为正数的数列,其前川项和为S”S〃为為与丄的等差中项.
(1)求证:
数列{&}为等差数列;
(_1)n
⑵设bn=——.求{仏}的前100项和7W
19.(12分)如图,在四棱锥P-ABCD中,底而ABCD是边长为2的菱形,ZDAB=60%ZADP=90°.平WiADP丄平而ABCD,点F为棱PD的中点.
(1)在棱是否存在一点E,使得AF〃平而PCE,并说明理由:
(2)当二而角D-FC-B的余弦值为乎时,求直线PB与平而ABCD所成的角.
20.(12分)已知抛物线r:
尸=2/八・(“>0)的焦点为F,P是抛物线r上一点,且在第一象限,满足序=⑵2屁
(1)求抛物线1■的方程:
(2)已知经过点A(3,—2)的直线交抛物线了于M,N两点,经过左点B(3,—6)和M的直线与抛物线厂交于另一点乙问直线N厶是否恒过泄点,如果过左点,求出该泄点,否则说明理由.
21.(12分)山东省2020年高考实施新的高考改革方案,考生的高考总成绩由3门统一髙考科目成绩和自主选择的3门普通髙中学业水平等级考试科目成绩组成,总分为750分•其中,统一髙考科目为语文、数学.外语,自主选择的3门普通髙中学业水平等级考试科目是从物理、化学.生物、历史、政治.地理6科中选择3门作为选考科目,语.数、外三科各占150分,选考科目成绩采用“赋分制”,即原始分数不直接用,而是按照学生分数在本科目考试的排名来划分等级并以此打分得到最后得分•根据髙考综合改革方案,将每门等级考试科目中考生的原始成绩从髙到低分为仏B+、B、C+、C、D+.D、E共8个等级.
参照正态分布原则,确左各等级人数所占比例分别为3%、7%.16%.24%、24%.16%.7%.3%.等级考试科目成绩汁入考生总成绩时,将A至E等级内的考生原始成绩,依照等比例转换法则,分别转换到91一100、81—90、71-80.61—70、51-60.41-50.31-40.21—30八个分数区间,得到考生的等级成绩.
举例说明:
某同学化学学科原始分为65分,该学科C+等级的原始分分布区间为58〜69,则该同学化学学科的
原始成绩属C+等级.而C+等级的转换分区间为61〜70,那么该同学化学学科的转换分为:
四舍五入后该同学化学学科赋分成绩为67.
(1)某校髙一年级共2000人,为给高一学生合理选科提供依据,对六个选考科目进行测试,其中物理考试原始成绩基本服从正态分布$〜N(60,122).
1若小明同学在这次考试中物理原始分为84分,等级为B+,其所在原始分分布区间为82〜93,求小明转换后的物理成绩:
2求物理原始分在区间(72.84)的人数.
(2)按髙考改革方案,若从全省考生中随机抽取4人,记X表示这4人中等级成绩在区间[61,80]的人数,求X的分布列和数学期望.
附:
若随机变虽:
§〜N%er),则P仪一6疋<“+/)=0・682,P(tu-2a3a)=0.997.
22.(12分)已知函数/(x)=(x—1)2+ax~a\nx
(1)若a^-2讨论・/(朗的单调性;
(2)若且对于函数7U)的图象上两点P\(X\,B(X2,fiX2))(Xi数_/U)的图象在X=A-«处的切线/〃P屮2•求证:
尹.
I.答案:
C
解析:
•・•集合A=lv
={xKW2},
B={yly=lgx,A>-j^'(—{aLx>—1},•••ACB={xl—loW2}=(—l,2]・故选C・
2.答案:
D
•:
"+1=0,即a——1.
故选D・
3・答案:
A
解析:
Vx>0,
由y=x+g$2,(a>0),
故"W2,所以x2是“W2的充分不必要条件.
故选A.
4・答案:
A
解析:
由总)=十二話可知函数的图象关于点(20)对称,故排除B,C,当xO时,ln(x-2)2>0,一2)3<0,函数的图象在x轴下方,故排除D,故选A.
5・答案:
D
解析:
V/(x)=3-2sinx>0在R上恒成立,
••JU)在R上为增函数,
又由2=log24故选D・
6・答案:
D
解析:
建立如图所示平面直角坐标系,
则A(l.O),B(—g芈),_乎),
设P(cos0.sin6).
则PA^PB+PC)
=(1—cos09—sin&)・(一1—2cos0.—2sin6)
=(1—cos0)(—1—2cos6)+2sin26
=2cos20—cos6—1+2sin20=1—cos0W2,当且仅当即P(—l,0)时,取等号・故选D・
7.答案:
A
解析:
.A^)=sin2x+sin2(.r+
5・,丄3.丄退.
=jsiirx+卩os・x+r^sinxcosx
3t1-cosZvp.c
=4+—4—+亍inZr
=]+苏in(2A:
_?
)j]_*=*.故选A.
&答案:
C
解析:
设P(xi,yi),则A(—ai,—yi),Q(x\,—y\),D^x\,一幼,使+邑=[
Ia2b2
设B(X2.ya),由y,两式相减,
•曲
=V]+V2
Xl+X2‘
则由用丄PBnka\・kpB=—1,
A2
可得一4-^3=—l=>rr=4b2=4(二彳以二缢丄二纟二半故选c.
9・答案:
ABD
解析:
设该教师家庭2019年收入为x元,则15%-x=80000X10%+4750,解得x=85000.可得:
该教师2018年的家庭就医支出显著减少,该教师2019年的家庭就医总支出为8000+4750=12750元,该教师2019年的家庭旅行支出占比没有变化,该教师2019年的家庭总收入为85000元.故选ABD.
10.答案:
BCD
解析:
因为侶+命”(“>0)的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等,
/.C^=C^=>/?
=10,
•••展开式的各项系数之和为1024,
•••(“+1尸=1024,
t/>0,=L
原二项式为:
(“+吉)",其展开式的通项公式为:
展开式中奇数项的二项式系数和为:
*X1024=512,故A错;
因为本题中二项式系数和项的系数一样,且展开式有11项,故展开式中第6项的系数最大,B对;令20-y=0=>r=8,即展开式中存在常数项,C对;
令20-|r=15=>r=2,Cfo=45,D对;
故选BCD.
11.答案:
ACD
解析:
如图所示:
易知平面BCC\B\〃平面ADAM】,
BMU平面BCCS故直线BM与平面ADD}AX平行,A正确;平面BMD{截正方体所得的截面为BMD\N为四边形,故B错误;连接BC“AD易知AD\〃BC—
故异面直线AD与A】G所成的角为ZAiGB,
AiB=AiCi=BCi,故ZAiCiB=j,故C正确;
延长DC到使CB'=1,易知M,
故IMBI+IMDlMDiB'=y/59
当M为CG中点时等号成立,故D正确.故选ACD.
12.答案:
ABC
解析:
连接PF】,由题意知IFiF2l=2IOPI=2c,
则PF】丄PF2,因为tanZPF2Fi=2t
所以霜=2,因此IPF4PF2I,故点P舟双曲线的右支上,A项正确;
由TIPF1I-IPF2I=2u,
所以IPFd=4glPF£=2a,
所以(4a)2+(2a)2=(2c)\
整理得c2=5tr,则e=V5>C正确;
所以双曲线的渐近线方程为v=±2a-,
易知点(一彩3)在双曲线的渐近线上,故B项正确;由于b2=5,所以"2=扌,
所以双曲线的方程为£=1,
设M(兀o,yo)为双曲线上任意一点,
因此由基本不等式得小+〃2三2逅忑=2,
当且仅当d|=〃2时取等号,
故双曲线上任一点到两渐近线距离之和的最小值等于2,故D项错误.故选ABC.
13.答案:
1
解析:
•:
a—b、.\ab=2—2/n=09二m=\.
14.答案:
|
解析:
根据sin(a+/?
)=|可得sinacos“+cosasin/?
=|①,
根据tana=3tan0可得sinacos0=3cosasinB②,
由①®得sinacos"=£cosasin尸=右,
所以sin(a—0)=sinacos0—cosa-sin.
15.答案:
(0,2)U[5,+8)
解析:
g・)=/U)-3WI有三个零点Oy=/(x)与y=3Lv啲图象有三个交点.因为么>0,所以当xWO时,x2—2x=—3x.得兀=—1或x=0,所以)=.心)与y=3Lrl的图象有两个交点,则当工>0时•,=九)与)=3出的图象有1个交点.当Q0时,令3x=8—x彳gx=2,所以0vx2符合题意;令3x="—2「得x=5t所以“25符合题意.综上,实数"的取值范围是(0,2)U[5,+oo).
16.答案:
2逗
解析:
如图,分别取CD,BC的中点H,G,
连接HE,HG、GE,HF.ME,NH.
易证ME統NH,所以四边形MEMV是平行四边形,所以MN〃HE,
又MNQ平面EFHG,H£U平面EFHG,
侨以MN//平面EFHG,
所以过EF且与MN平行的平面为平面EFHG、平面EFHG截正方体所得截面为矩形EFHG,EF=yj29FH=2,
所以所得截面的面积为2X^2=272・连接AC,交HG于I,则C/丄HG,又平面EFHG丄平面ABCD.
平面EFHGC平面ABCD=HG,
所以C7丄平面EFHG,连接E/,
则C7丄E7,ZCEI为直线CE和截面所成的角.在RtAC/E中,
CE7+22=£>,C/=*C=¥=誓.所以sinZC£7=^^=¥^.
17.解析:
若选①,
(1)根据正弦定理知,2/?
—c_2sinB—sinC_cosC
a~sinA—cosA*
即2sinB・cosA=cosC・sinA+sinC・cosA,
即2sinBcosA=sin(A+C),因为A+C=n—B9所以2sinB-cosA=sinB,又sinBHO,解得cosA=*.
又AG(O,7T),所以A=彳.
(2)因为cr=br-Vc2—2bccosA=(b+c)1—2bc—2bccosA,a=yj\4,b+c=4y/i,A=^9所以(y/T4)2=(4y[2)2-2bc-2bcX^得bc=6.
|]JT3*\/^
所以SgBc=^bGSinA=^X6XsinJ=^2・
若选②,
(1)由题意可得4cos(B+C)+2(2cos2A—1)=一3,
又cos(B+C)=—cosA,
所以一4cosA+2(2cos2A—1)=—3,
所以4cos2/l—4cosA4-1=0,
解得cos又AG(0,7T),所以A=*
(2)因为a2=b2+c2—2bccosA
=(b+c)?
—2bc—2bccosA,
a=y[\4,b+c=4也,A=彳,
所(V14)2=(4V2)2-2hc-2bcX^得bc=6.
所以S,,ABc=^bc-sinA=6Xsin扌
若选③,⑴由正孩定理及為
—sin(A+C),午sinAsinB
"羽cosAsin(A+C)'
又sin(A+C)=sm(7r—B)=sinB、
所以
sinA
yfScosA
sinB
sinB9
得tanA=-\/3.
⑵因为"2=,+c2—2bccosA
=(b+c)?
—2bc—2bccosA,a=y[\4,b+c=4也,A=^9
n
3=2・
所(V14)2=(4V2)2-2hc-2bcX^得bc=J所以S^ABc=^hc-sinA=6Xsin
18.解析:
(1)证明:
由题意知2Sn=an+\
Un即2SnUn—Cln—1,①当”=1时,由①式可得S]=l,.人,?
事2曰丁,有Uh=Sii—Sn\«代入①式得25/r(Sn—SJZ\)—(Sn—S„i)2=l,
整理得Sr-Sl,i=l.S$2).
•••{&}是首项为1,公差为1的等差数列.
⑵由⑴可得陪=1+n—1=71,
VM是各项都为正数,•••&=&,
/.an=Sn—Sn1=心_寸h—1(心2),又t/|=Sr=h也适合上式••心=如_心_1・
X巳十呗+戸),
Tioo=-1+(血+1)-2§+近)+(^/100-1+^1OO-2)+(VToO+a/1OO-1)=VTo6=10.
•••{%}的前]00项和71()0=10.
19.解析:
(1)在棱AB上存在点E,使得AF〃平面PCE,点E为棱的中点.理由如下:
取PC的中点0连接EQ、FQ,由题意,FQ//DC且FQ=*CD,
AE//CD且AE=#D,故AE//FQ且AE=FQ・
所以,四边形AEQF为平行四边形•
所以,AF//EQ.
又EQU平面PCE,AFQ平面PCE,
所以AF〃平面PCE
(2)由题意知AABD为正三角形,
所以ED丄亦即ED丄CD
又ZADP=90°,所以PD丄AD9
且平面ADP丄平面ABCD,
平面ADPC平面ABCD=AD9
所以PD丄平面ABCD.故以D为坐标原点建立如图空间直角坐标系,
设FD=a(a>0),则由题意知
D(OAO),F(O・O,“),(7(0,2,0),B©1,0)t走=(0,2,—“),西=(迈,一1、0),设平面FBC的一个法向呈为m=(x.y,z),
wi-FC=O
则由|_
jn-CB=O
令x=l,则y=\[3tZ=学,所以取771=(1,、伶,乎),显然可取平面DFC的一个法向量/?
=(1.0.0),由题意:
罟=lcos〈加,it)1=1
所以“=羽・
由于PD丄平面ABCD.
所以PB在平面ABCD内的射影为BD,
所以ZPBD为直线PB与平面ABCD所成的角,
PD
易知在RtAPBD中,3"80=而=匕=晶从而ZPBD=60°,
所以直线PB与平面ABCD所成的角为60°.
20.解析:
(1)尸=2宀(“>0)的焦点为老,°),而帀=(2,2萌),所以点P($+2,2®,又点P在抛物线y2=2px上,所以(2萌F=2卩($+2),
即尸+4“一12=0,(p+6)(p—2)=0,
而〃>0,故p=2,则拋物覆的方程为y2=4x.
(2)由题意知,直线AM.BM,N厶的斜率均存在.设M(xo,yo)tNgyj)>Ux2.)吩,则〉6=4m),)7=4ai,迅=4q,
直线MN的斜率为
将A(3,—2),B(3.—6)分别代入①,②两式,
求得a-^82.64,小明转换后的物理成绩为83分;
②因为物理考试原始分基本服从正态分布M60J22),
所以P(72<<84)=P(60<<84)-P(60<<72)
=北(36=^(0.954-0.682)=0.136.
所以物理原始分在区间(72,84)的人数为2000X0.136=272(人);
(2)由题意得,随机抽取1人,其等级成绩在区间[61,80]内的概率为刍随机抽取4人,则X〜B(4,|),
P(X=0尸£卜悬’
P(X=l)=C|.|.g}=g|,
P(X=2)=Q.(|)2(|)2=器
P(X=3)=Q•(务•(卽姥,
P(X=4)=(|}=^.
X的分布列为
X
()
1
2
3
4
p
81
216
216
96
16
625
625
625
625
625
9Q
数学期望E(X)=4X§=§・
22.解析:
(1)易得,函数几r)的定义域为(0,+8),
令f(x)=0,得x=l或兀=—号.
1当“20时,0f(x)v0,函数Xx)单调递减;
X>1时,f(.¥)>0>函数・心)单调递增.
此时,./U)的减区间为(0J),增区间为(1,4-00).
2当一2vx0时,一号f(x)<0,函数./U)单调递减;
01时,f(A)>0,函数/(X)单调递增.
此时,金)的减区间为(一号,1),增区间为(0,—分,(1,4-00).
2(丫一1)2
3当a=-2时,工>0时,f(A)=-•V>0,函数几r)单调递增;此时,・/U)的减区间为(0,4-00).
综上,当“20时tfix)的减区间为(0」),增区间为(1,+8);当一2<“<0时,.心)的减区间为(一号,1),増区间为(0,—另,(1,+8);
当a=-2时,./U)增区间为(0,+8).
(2)证明:
由题意及导数的几何意义,
得f血尸“出戸也皿
X2—X\
[(X2~1尸+心2—"Inx?
]—[(xj—l)2+t/x)—t/Inx\]
a'2—X1
aln-x\
加
Xi+X2
由
(1)中f(X)得f'I,■「'J=(xi+X2-2)+“
易知,导函数f(尤)=2仗一1)+"—纸>0)在(0,+8)上为増函数,所以,要证刖<遁仝,只要证ff导),
.v2
Mn—a
nnA12a
即_<—,
XI—X\x\+xi
血r.a-22(x2-ai)
AlXl十兀2
因为X2>Xl>0t不妨令,=亍,
rU2(/—1)
则g(/)=ln+1'(r>l)・
(/-I)2
i4(t—]F
所以Q(心厂帀芦i為所以g(/)在/G(l,+8)上为增函数,所以g(/)>g(