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高等数学基础形考作业1参考答案
【高等数学基础】形考作业1参考答案
第1章函数
第2章极限与连续
(一)单项选择题
⒈下列各函数对中,(C)中的两个函数相等.
A.
2
f(x)(x),g(x)xB.
2
f(x)x,g(x)x
C.
3
f(x)lnx,g(x)3lnxD.f(x)x1,
g(
x)
2
x
x
1
1
分析:
判断函数相等的两个条件
(1)对应法则相同
(2)定义域相同
A、
2
f(x)(x)x,定义域x|x0;g(x)x,定义域为R
定义域不同,所以函数不相等;
B、
2
f(x)xx,g(x)x对应法则不同,所以函数不相等;
C、
3
f(x)lnx3lnx,定义域为x|x0,g(x)3lnx,定义域为x|x0
所以两个函数相等
D、f(x)x1,定义域为R;
21
x
g(x)x1
x1
,定义域为x|xR,x1
定义域不同,所以两函数不等。
故选C
⒉设函数f(x)的定义域为(,),则函数f(x)f(x)的图形关于(C)对称.
A.坐标原点B.x轴
C.y轴D.yx
分析:
奇函数,f(x)f(x),关于原点对称;
偶函数,f(x)f(x),关于y轴对称
yfx与它的反函数
1
yfx关于yx对称,
奇函数与偶函数的前提是定义域关于原点对称
设gxfxfx,则gxfxfxgx
所以gxfxfx为偶函数,即图形关于y轴对称
故选C
⒊下列函数中为奇函数是(B).
2
A.yln(1x)B.yxcosx
C.
xax
a
yyln(1x)D.
2
分析:
A、
22
yxln(1x)ln1xyx,为偶函数
B、yxxcosxxcosxyx,为奇函数
或者x为奇函数,cosx为偶函数,奇偶函数乘积仍为奇函数
C、
xx
aa
yxyx,所以为偶函数
2
D、yxln(1x),非奇非偶函数
故选B
⒋下列函数中为基本初等函数是(C).
A.yx1B.yx
C.
2
yxD.
y
1
1,
x
x
0
0
分析:
六种基本初等函数
(1)yc(常值)———常值函数
(2)yx,为常数——幂函数
x
(3)yaa0,a1———指数函数
(4)ylogxa0,a1———对数函数
a
(5)ysinx,ycosx,ytanx,ycotx——三角函数
yarcsinx,1,1,
(6)yarccosx,1,1,
——反三角函数
yarctanx,yarccotx
分段函数不是基本初等函数,故D选项不对
对照比较选C
⒌下列极限存计算不正确的是(D).
2
x
A.lim1
2
x2
x
B.limln(1x)0
x0
sinx
C.lim0
x
x
1
D.limxsin0
xx
分析:
A、已知
1
lim0n0
n
x
x
2
x
2
2
x
x
11
limlimlim1
22
2
x2x2110
xxx
2
22
x
xx
B、
limln(1x)ln(10)0,初等函数在期定义域内是连续的
x0
C、
sinx1
limlimsinx0
xx
xx
x时,
1
x
是无穷小量,sinx是有界函数,无
穷小量×有界函数仍是无穷小量
D、
1
limxsinlim
x
xx
sin
1
1
x
,令
1
t0,x
x
,则原式
sint
lim1
t0
t
x
故选D
⒍当x0时,变量(C)是无穷小量.
A.
sin
x
x
B.
1
x
C.
x
1
sinln(x2)D.
x
分析;limfx0,则称fx为xa时的无穷小量
xa
A、
sinx
lim1
,重要极限
x0
x
B、
1
lim
xx
0
,无穷大量
C、
1
limxsin0,无穷小量x×有界函数
x0
x
sin
1
x
仍为无穷小量
D、
limln(x2)=ln0+2ln2
x0
故选C
⒎若函数f(x)在点
x满足(A),则f(x)在点x0连续。
0
A.limf(x)f(x0)
xx
0
B.f(x)在点x0的某个邻域内有定义
C.limf(x)f(x0)
xx
0
D.limf(x)limf(x)
xxxx
00
分析:
连续的定义:
极限存在且等于此点的函数值,则在此点连续即
lim
xx
0
fxfx
0
连续的充分必要条件limfxfxlimfxlimfxfx
00
xxxxxx
000
故选A
(二)填空题
2
x9
⒈函数f(x)ln(1x)的定义域是x|x3.
x3
分析:
求定义域一般遵循的原则
(1)偶次根号下的量0
(2)分母的值不等于0
(3)对数符号下量(真值)为正
(4)反三角中反正弦、反余弦符号内的量,绝对值小于等于1
(5)正切符号内的量不能取0,1,2
kk
2
然后求满足上述条件的集合的交集,即为定义域
2
x9
f(x)ln(1x)要求
x3
290
x
xx
3或3
x30得x3
求交集-3-13
x-11x0
定义域为x|x3
2-x.⒉已知函数f(xxx,则f(x)x
2
1)
分析:
法一,令tx1得xt1
22
2
则
f(t)t1t1tt则fxxx
法二,f(x1)x(x1)x11x1所以f(t)t1t
⒊
1
x
lim
(1).
x2x
分析:
重要极限
lim1
x
1
x
x
e
,等价式
1
lim1xxe
x0
推广lim
xa
1
fx则lim
(1)
fx
xa
fx
e
1
fx
limfx则0lim(1fx)e
xaxa
112
x
lim
(1)lim
(1)
xx
2x2x
x
11
22
e
1
x
(1x),x0
⒋若函数f(x),在x0处连续,则ke.
xk,x0
分析:
分段函数在分段点
x处连续
0
limfxlimfxfx
0
xxxx
00
limfxlimxk0kk
x0x0
1
limfxlim1xe
x
x0x0
所以ke
⒌函数
x1,x0
y的间断点是x0.
sinx,x0
分析:
间断点即定义域不存在的点或不连续的点
初等函数在其定义域范围内都是连续的
分段函数主要考虑分段点的连续性(利用连续的充分必要条件)
limfxlimx1011
x0x0
limfxlimsinx0
x0x0
不等,所以x0为其间断点
⒍若fxA
lim()
xx
0
,则当
xx时,f(x)A称为
0
xx时的无穷小量.
0
分析:
lim(f(x)A)limf(x)limAAA0
xxxxxx
000
所以f(x)A为xx0时的无穷小量
(三)计算题
⒈设函数
f(x)
x
e
x
x
x
0
0
求:
f
(2),f(0),f
(1).
解:
f22,f00,
1
f1ee
⒉求函数
ylg
2x1
x
的定义域.
解:
ylg
2x1
x
有意义,要求
2x1
x
x0
0
解得10
x或x,则定义域为
2
x0
x|x0或x
1
2
⒊在半径为R的半圆内内接一梯形,梯形的一个底边与半圆的直径重合,另一底边的两个端
点在半圆上,试将梯形的面积表示成其高的函数.
解:
D
A
R
OhE
B
C
设梯形ABCD即为题中要求的梯形,设高为h,即OE=h,下底CD=2R
直角三角形AOE中,利用勾股定理得
2222
AEOAOERh,则上底=
22
2AE2Rh
故
h
2222
S2R2RhhRRh
2
⒋求
sin3x
lim
xsin2
0x
.
解:
sin3xsin3x
3x
sin3x3x3x3
limlimlim
sin2xsin2x
x0x0x0
sin2x2x2
2x2x
=
133
122
⒌求
2
x
lim
x1sin(x
1
1)
.
解:
2
x1(x1)(x1)x111
limlimlim2
sin(x1)
x1sin(x1)x1sin(x1)x11
x1
⒍求
lim
x0
tan
x
3x
.
解:
tan3xsin3x1sin3x11
limlimlim3133
x0x0x0
xxcos3x3xcos3x1
⒎求
2
1x
lim
xsinx
0
1
.
解:
2222
1x1(1x1)(1x1)x
limlimlim
x0x02x02
sinx(1x1)sinx(1x1)sinx
x0
lim0
sin111
xx02
(1x1)
x
⒏求
x1
x
lim().
xx3
解:
111
xx1
1
(1)[
(1)]
1
xxxxee
1
xx
lim()lim()limlim
33x3
x3x1x
(1)xx[(11)]
xe
3
3
xxx
3
4
⒐求
2
x6x
lim
2
x
4x5x
8
4
.
解:
2
x4x2
x6x8x2422
limlimlim
2
x4x4x4
x5x4x4x1x1413
⒑设函数
(x
2
2)
x
1
f(x)x,1x1
x1,x1
讨论f(x)的连续性,并写出其连续区间.
解:
分别对分段点x1,x1处讨论连续性
(1)
limfxlimx1
x1x1
limfxlimx1110x1x1
所以
limfxlimfx,即fx在x1处不连续
x1x1
(2)
22
limfxlimx2121
x1x1
limfxlimx1
x1x1
f11
所以
limfxlimfxf1即fx在x1处连续
x1x1
由
(1)
(2)得fx在除点x1外均连续
故fx的连续区间为,11,
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