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许超教师讲座
巧用二次函数双根式
二次函数是中考数学中的重点难点,而涉及二次函数的题目必然离不开其解析式的求解,我们常见的二次函数解析式表达方式有一般式、顶点式、双根式三种,其中一般式是基础,后两个都是由一般式推导得出,也就是说一般式可以解决有关二次函数解析式求解方面的所有问题,而后两种表达方式的主要作用就是帮助我们减少计算量。
前两天看到一个题目,很灵活的运用了双根式求解二次函数解析式,在这里跟大家分享一下。
已知y=x与y=1/x两函数,有一直线y=a(a>0)与两函数图像分别交于A、B两点,另有一点P(2,0),有一抛物线过A、B、P三点,同时此抛物线经过平移后可以得到y=9/5x2,求a的值。
见到这个题目的时候很多学生都会想到设出A、B两点的坐标,然后将三个点代入二次项系数等于9/5的解析式中求解方程,但是实际操作起来会发现计算量奇大,而且会出现三次项。
那这个题该如何求解呢?
首先我们会发现A、B两点的纵坐标是相等的,图像大致可以如下图所示:
我们可以将y=a这条直线当做x轴,那样A(a,a)、B(1/a,a)两点就是抛物线与x轴的两个交点,也就可以运用双根式y=A(x-a)(x-1/a)了。
而此抛物线经过平移可得到y=9/5x2,我们知道抛物线平移过程中形状不变,也就是二次项系数不变,即A=9/5,这样我们可以先求出下图中的抛物线解析式,
此解析式可以表示为y=9/5(x-a)(x-1/a),而题目中的抛物线可以看做此抛物线向上平移了a个单位得到,即为y=9/5(x-a)(x-1/a)+a,这个抛物线是经过P点的,我们可以将P点坐标代入,即可就出a的值,a=3或者6/13。
二次函数是中考数学中的重点难点,而涉及二次函数的题目必然离不开其解析式的求解,我们常见的二次函数解析式表达方式有一般式、顶点式、双根式三种,其中一般式是基础,后两个都是由一般式推导得出,也就是说一般式可以解决有关二次函数解析式求解方面的所有问题,而后两种表达方式的主要作用就是帮助我们减少计算量。
之前的一篇文章《巧用二次函数双根式》中通过一道题目讲解了二次函数双根式的一种技巧性运用,现在我们再来看那道题目,给大家再讲解另外一种双根式的应用。
首先让我们来回顾一下题目:
已知y=x与y=1/x两函数,有一直线y=a(a>0)与两函数图像分别交于A、B两点,另有一点P(2,0),有一抛物线过A、B、P三点,同时此抛物线经过平移后可以得到y=9/5x2 ,求a的值。
首先看这个图:
我们知道A、B两点的纵坐标相等,那么它们必然是关于抛物线对称轴对称的,那么我们可以通过这两点的横坐标得到抛物线的对称轴为:
x=a/2+1/2a,(中点坐标公式可得),而我们又知道P点的坐标为(2,0),那么我们就可以通过对称轴及P点坐标得到抛物线与x轴的另一交点Q的坐标为(a+1/a-2,0),这样我们就得到了抛物线与x轴的两个交点P与Q的坐标,两点坐标代入双根式,并另二次项系数为9/5(原因详见上一篇文章),同时代入A点坐标即可解得a的值。
这个解法除了运用了双根式意外,更重要的是运用了抛物线的对称性,这一性质貌似很简单,但是却经常被学生遗忘,当我们在题目中看到有两点的纵坐标相等的时候,一定要立刻联想到抛物线的对称性,运用对称轴来解决问题。
其实我们把这两种解法整理一下结果,可以得到这样的一个结论:
若抛物线过点A(x1,k)与点B(x2,k),那么我们可以设此抛物线的解析式为:
y=a(x-x1)(x-x2)+k,这是双根式的一个变形,可以很好的减少我们的计算量,同学们不妨记录下来。
理解起来可能会有一些困难,不知道我这样写大家能否明白?
长方形如何切割拼接成正方形
昨天上课的时候学生问了这个问题,其实这是初中数学里面很经典的一个几何问题,要想将一个长方形拼接成为一个正方形,首先需要考虑到的是这两个图形的面积应该是相等的。
假如长方形的边长分别为a、b,那么面积就是a*b,同样正方形的边长如果是d的话,那么就有d*d=a*b。
要解决这个问题的关键点在于如何通过尺规作图找到正方形的边长。
让我们回忆一下涉及d*d=a*b这个式子的知识点有哪些呢?
我首先想到了摄影定理,那也就是需要构造直角三角形了。
如下图:
延长BC到E,使CE=CD=a,然后以BE为直径做圆,再延长CD交圆于F点,那么就得到了一个以a+b长度为斜边的直角三角形,同时根据摄影定理,可以知道CF=d,即为我们要做的正方形的边长。
接下来我们就可以利用这个边长来找我们的正方形了,如下图:
以CF为边长,B为圆心做圆,交AD于G点,同时延长BG,并作CH垂直于BG。
接下来我们将三角形BCH向上平移至三角形GIJ的位置,同时三角形ABG向左平移至三角形CDJ的位置。
因为是平移,所以平移前后两三角形全等,也就是有BH=GI,即有BG=HI=d,同时这两个三角形均有一个公共三角形GHK,所以四边形HKJI的面积与BGKC相等。
这样我们就得到了我们想要的正方形CHIJ
关于路径最短问题
初中数学中的路径最短问题在初一一般就会涉及到,但是在中考数学中仍然在频繁考察,灵活应变才能在中考数学中取得一个理想的分数。
下面我们就来详细说一说路径最短问题,其最基础的模型又可称为“将军饮马”问题,如下图:
由A点出发到达直线L,再抵达B点,过A做直线L的对称点A1,链接A1B交L于O点,AO-OB为路径最短。
原理很简单,直线L为AA1的中垂线,根据中垂线或者轴对称的性质可知,L上任意一点到线段AA1两端点距离相等,即有OA=OA1;O1A=O1A1,然后利用两点之间线段最短原则,可得最短路径。
注意这里的两点之间线段最短,也可以利用三角形两边之和大于第三边这一性质来解释。
接下来还有这样的问题,如果在直线L上取线段PQ=1,求使四边形APQB周长最小的线段PQ的位置,如下图:
要求这个四边形周长最短,由于AB、PQ的长度均为确定值,故可转化为求AP+BQ的最短问题,可以将A向右平移一个单位得到A1点,这样APQA1就构成了一个平行四边形,即有AP=A1Q,上述问题就变成了求A1Q+BQ的最短问题,也就构成了最一开始的那个基本模型,通过做A1关于L的对称点A2,即可得到Q点,同时也就得到了可以解决这个问题的PQ线段。
下面我们再换一个问题,在直线L上求一点C,使BC-AC的值最大,如下图:
我们连接BA并延长交直线L于C点,此点即为所求,注意这里不再运用轴对称的相关性质了,而是运用了三角形两边之差小于第三边,如BC1-AC1必然小于BA的长,而只有当三点共线的时候才会使两段线段差值达到最大,也就等于BA的长。
虽然后面两个问题看起来并不困难,但是最近总是有很多学生不能很好地通过第一个基本模型来解决后面的问题。
我们学习知识最重要的不是做会一道题目,而是要理解每道题目背后最本质的东西,如通过第一个模型我们可以知道求路径最短的类似问题可以运用轴对称以及三角形三边关系的性质来解决,但是如果不能灵活运用这两个知识点来解决其他问题的话,那么“将军饮马”问题对于我们来说依旧只是一个很简单的题目罢了,要做到触类旁通才是我们学习的目的。
例如这个轴对称,当O点变为线段PQ的时候,就要想到怎样将一个线段长回归为一个点的问题;同样,三角形三边关系不仅有两边之和大于第三边,更加不要忘记还有一个两边之差小于第三边,这样我们在遇到第三个问题的时候才不会手忙脚乱。
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