新沪科版初中数学八年级上册专题三角形的有关计算与证明精品doc.docx
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专题:
三角形的有关计算与证明
三角形的有关计算和证明是中考的必考内容之一,这类试题解法比较灵活,通常以全等三角形、等腰三角形、等边三角形和直角三角形的性质和判定为考查重点,以计算题、证明题的形式出现,解答这类问题时,不仅要熟练掌握有关的公式定理,更要注意它们之间的相互联系.
例如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,E为AC边的中点,过点A作AD⊥AB交BE的延长线于点D.CG平分∠ACB交BD于点G,F为AB边上一点,连接CF,且∠ACF=∠CBG.
求证:
(1)AF=CG;
(2)CF=2DE.
【思路点拨】
(1)要证明AF=CG,可以利用“ASA”证明△ACF≌△CBG来得到;
(2)要证明CF=2DE,由
(1)得CF=BG,则只要证明BG=2DE,又利用△AED≌△CEG可得DG=2DE,故证明DG=BG即可.
【解答】证明:
(1)∵∠ACB=90°,CG平分∠ACB,AC=BC.
∴∠BCG=∠CAB=45°.
又∵∠ACF=∠CBG,AC=BC,
∴△ACF≌△CBG(ASA),
∴CF=BG,AF=CG.
(2)延长CG交AB于点H.
∵AC=BC,CG平分∠ACB,
∴CH⊥AB,H为AB中点.
又∵AD⊥AB,∴CH∥AD,
∴G为BD中点,∠D=∠EGC.
∵E为AC中点,∴AE=EC.
又∵∠AED=∠CEG,
∴△AED≌△CEG(AAS),
∴DE=EG,∴DG=2DE,∴BG=DG=2DE.
由
(1)得CF=BG,∴CF=2DE.
方法归纳:
解答与线段或角相等的有关问题时,通常将它转化为全等三角形问题来求解.
1.如图,四边形ABCD是矩形,把矩形沿对角线AC折叠,点B落在点E处,CE与AD相交于点O.
(1)求证:
△AOE≌△COD;
(2)若∠OCD=30°,AB=
求△AOC的面积.
2.如图,已知正方形ABCD,把边DC绕D点顺时针旋转30°到DC′处,连接AC′,BC′,CC′.写出图中所有的等腰三角形,并写出推理过程.
3.如图,在△ABC中,∠ABC=45°,CD⊥AB,BE⊥AC,垂足分别为D、E,F为BC中点,BE与DF、DC分别交于点G、H,∠ABE=∠CBE.
(1)线段BH与AC相等吗?
若相等给予证明,若不相等请说明理由;
(2)求证:
BG2-GE2=EA2.
4.在等边△ABC中,点E是AB上的动点,点E与点A、B不重合,点D在CB的延长线上,且EC=ED.
(1)当BE=AE时,求证:
BD=AE;
(2)当BE≠AE时,“BD=AE”还成立吗?
若你认为不成立,请直接写出BD与AE数量关系式,若你认为成立,请给予证明.
5.如图,△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,AD⊥BC,垂足是D,AE平分∠BAD,交BC于点E.在△ABC外有一点F,使FA⊥AE,FC⊥BC.
(1)求证:
BE=CF;
(2)在AB上取一点M,使BM=2DE,连接MC,交AD于点N,连接ME.
求证:
①ME⊥BC;②DE=DN.
参考答案
1.
(1)证明:
由折叠的性质可得:
AE=AB,∠E=∠B=90°.
∵四边形ABCD是矩形,∴CD=AB,∠D=90°.
∴AE=CD,∠E=∠D=90°.
在△AOE和△COD中,
∴△AOE≌△COD(AAS).
(2)在Rt△OCD中,∠OCD=30°,∴OC=2OD.
∵AB=CD=
,OD2+CD2=OC2,
∴OD2+(
)2=4OD2,解得OD=1.
∴OC=2.
由折叠知:
∠BCA=∠ACO.
∵AD∥BC,∴∠OAC=∠BCA,
∴∠OAC=∠ACO,∴OA=OC=2,
∴S△AOC=
·OA·CD=
×2×
=
.
2.图中的所有的等腰三角形有:
△DCC′,△DAC′,△ABC′,△BCC′,理由如下:
∵正方形ABCD,
∴CD=AD=AB=BC,
∠ADC=∠DAB=∠ABC=∠BCD=90°.
∵边DC绕D点顺时针旋转30°到DC′处,
∴DC′=DC=AD=AB,
∠DCC′=∠DC′C=
(180°-30°)=75°,
即△DCC′是等腰三角形.
∵∠ADC=90°,∠CDC′=30°,∴∠ADC′=60°.
∵DC′=AD,∴△DAC′为等边三角形.
∴AC′=AD=AB,∠DAC′=∠DC′A=60°,
∴△ABC′为等腰三角形,∠BAC′=90°-60°=30°,
∴∠ABC′=∠AC′B=
(180°-30°)=75°,
∴∠C′BC=90°-75°=15°,
∠C′CB=90°-75°=15°,
∴∠C′BC=∠C′CB,
∴△BCC′是等腰三角形.
3.
(1)BH=AC.
证明:
∵∠BDC=∠BEC=∠CDA=90°,
∠ABC=45°,
∴∠BCD=45°=∠ABC,∴DB=DC.
又∵∠BHD=∠CHE,∴∠DBH=∠DCA.
∴△DBH≌△DCA,∴BH=AC.
(2)证明:
连接GC.则GC2-GE2=EC2.
∵F为BC中点,DB=DC,∴DF垂直平分BC,
∴BG=GC.
∴BG2-GE2=EC2.
∵∠ABE=∠CBE,∠CEB=∠AEB,BE=BE,
∴△BCE≌△BAE.
∴EC=EA,
∴BG2-GE2=EA2.
4.
(1)证明:
如图1,在等边△ABC中,∠ABC=∠ACB=60°.
∵BE=AE,∴∠ACE=∠ECB=30°.
又∵CE=DE,∴∠D=∠ECD=30°.
∴∠DEB=30°,∴BE=BD,∴BD=AE.
(2)BD=AE还成立.
证明:
如图2,过点E作EF∥AC交BC于F,
易证△EFB为等边三角形,
∴EF=FB=BE.∴∠EFB=∠EBF.
∴∠CFE=∠EBD.
∵CE=DE,∴∠ECD=∠D.
∴△ECF≌△EDB,∴CF=BD.
∵AB=BC,AB-BE=BC-BF,即AE=CF.
∴AE=BD.
5.证明:
(1)∵∠BAC=90°,AB=AC,
∴∠B=∠ACB=45°.
∵FC⊥BC,∴∠BCF=90°.
∴∠ACF=90°-45°=45°,∴∠B=∠ACF.
∵∠BAC=90°,FA⊥AE,
∴∠BAE+∠CAE=90°,∠CAF+∠CAE=90°,
∴∠BAE=∠CAF.
在△ABE和△ACF中,
∴△ABE≌△ACF(ASA).
∴BE=CF.
(2)①如图,过点E作EH⊥AB于H,则△BEH是等腰直角三角形.
∴HE=BH,∠BEH=45°.
∵AE平分∠BAD,AD⊥BC,
∴DE=HE,∴DE=BH=HE.
∵BM=2DE,∴HE=HM,
∴△HEM是等腰直角三角形,∴∠MEH=45°,
∴∠BEM=45°+45°=90°,∴ME⊥BC.
②由题意,得∠CAE=45°+
×45°=67.5°,
∴∠CEA=180°-45°-67.5°=67.5°,
∴∠CAE=∠CEA=67.5°,∴AC=CE.
在Rt△ACM和Rt△ECM中,
∴Rt△ACM≌Rt△ECM(HL),
∴∠ACM=∠ECM=
×45°=22.5°.
又∵∠DAE=
×45°=22.5°,
∴∠DAE=∠ECM.
∵∠BAC=90°,AB=AC,AD⊥BC,
∴AD=CD=
BC.
在△ADE和△CDN中,
∴△ADE≌△CDN(ASA),
∴DE=DN.
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