生活中的圆周运动讲义.docx

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生活中的圆周运动讲义

小船渡河典型问题

例5：

已知某船在静水中的速度为v1＝4m/s，现让船渡过某条河，假设这条河的两岸是理想的平行线，河宽为d＝100m，水流速度为v2＝3m/s，方向与河岸平行，

（1）欲使船以最短时间渡河，航向怎样？

最短时间是多少？

船发生的位移有多大？

（2）欲使船以最小位移渡河，航向又怎样？

渡河所用时间是多少？

（3）若水流速度为v2＝5m/s，船在静水中的速度为v1＝4m/s不变，船能否垂直河岸渡河？

第三节　实验：

研究平抛运动

【基础知识】一、实验目的

1．用描迹法描出平抛物体的运动轨迹；2．根据运动轨迹求出平抛物体的初速度．

二、实验原理

1．用描迹法画出小球平抛运动的轨迹．

2．建立坐标系，测出轨迹上某点的坐标x、y，据x＝v0t，y＝

gt2得初速度v0＝x

.

三、实验器材

　斜槽、坐标纸、图钉、方木板、小球、刻度尺、重锤、细线、三角板、铅笔、铁架台．

四、实验步骤

1．安装调整斜槽

将坐标纸用图钉钉在竖直的木板的左上角（如图所示），用平衡法调整斜槽末端水平，直到将小球轻放在斜槽的平直部分的末端，能使小球在平直轨道上的任意位置静止即可．

2．调整木板，确定坐标原点

用悬挂在槽口的重垂线把木板调整到竖直方向，并使木板平面与小球运动轨迹所在平面平行靠近，把小球放在槽口处，用铅笔记下小球在槽口时球心在木板上的水平投影点O，用铅笔在纸上把这个点记下来，O点即为坐标原点，再利用重垂线画出通过O点的竖直线．

3．确定球的位置

使小球由斜槽某一位置无初速度滚下，离开水平槽后做平抛运动．先用眼睛粗略确定小球的运动轨迹，然后使小球从同一位置无初速度滚下，在粗略确定的位置附近用铅笔较准确地描出小球通过的位置，并在坐标纸上记下该点．用同样的方法确定轨迹上其他各点的位置．

4．建坐标系，描绘轨迹

取下坐标纸，以过O点的竖直线作为y轴，过O点的水平线作为x轴，最后将纸上记下的一系列点，用平滑曲线连起来，即得到小球平抛运动的轨迹．

五、数据处理

1．判断平抛运动的轨迹是不是抛物线

如图所示，在x轴上作出等距离的几个点A1、A2、A3、…，把线段OA1的长度记为l，则OA2＝2l，OA3＝3l，由A1、A2、A3、…向下作垂线，其与轨迹交点分别记为M1、M2、M3、…，若轨迹是一条抛物线，则各点的y坐标和x坐标之间应该具有y＝ax2的关系（a是待定常量），用刻度尺测量某点的x、y两个坐标值代入y＝ax2求出a.再测量其他几个点的x、y坐标值，代入y＝ax2，若在误差范围内都满足这个关系式，则这条曲线是一条抛物线．

2．计算平抛物体的初速度

（1）在轨迹曲线上任取几点（如A、B、C、D）．

（2）用刻度尺和三角板分别测出所取点的坐标x和y.

（3）根据平抛运动水平方向上是匀速直线运动（x＝v0t）及竖直方向上是自由落体运动（y＝

gt2），分别计算出小球的初速度v0，最后计算小球的初速度v0的平均值．

特别提醒：

（1）计算初速度时，要在平抛运动轨迹上选取距O点远些的点，以使结果更准确．

（2）利用以上方法确定v0时，要以坐标原点为出发点．

六、研究平抛运动时的注意事项和误差分析

1．误差分析

（1）斜槽末端没有调水平，小球离开斜槽后不做平抛运动．

（2）确定小球运动的位置时不准确．（3）量取轨迹上各点坐标时不准确．

2．注意事项

（1）实验中必须调整斜槽末端点的切线水平（检验是否水平的方法是：

将小球放在斜槽末端水平部分，将其向两边各轻轻拨动一次，看其是否会加速或减速运动）．

（2）方木板必须处于竖直平面内，固定时要用重垂线检查坐标纸竖线是否竖直．（3）小球每次必须从斜槽上同一位置滚下．（4）坐标原点不是槽口的端点，应是小球出槽口时球心在木板上的投影点．（5）小球开始滚下的位置高度要适中，以使小球平抛运动的轨迹由坐标纸的左上角一直到达右下角为宜．（6）在轨迹上选取离坐标原点O点较远的一些点来计算初速度．

【课堂讲练】

1.对器材的安装和实验操作的考查

例1：

在做“研究平抛运动”实验时，下列说法正确的是（　　）

A．安装有斜槽的木板时，一定要注意木板是否竖直

B．安装有斜槽的木板时，只要注意小球不和木板发生摩擦即可

C．每次实验都要把小球从同一位置由静止释放

D．实验的目的是描出小球的运动轨迹，分析平抛运动水平分运动的规律

2.根据运动轨迹求初速度

例2：

（北京育才中学高一检测）图为一小球做平抛运动的闪光照相照片的一部分，图中背景方格的边长均为5cm，如果取g＝10m/s2，那么：

（1）闪光频率是______Hz；

（2）小球运动中水平分速度的大小是______m/s；

（3）小球经过B点的速度大小是______m/s.

3.实验原理及方法的理解和迁移

例3：

某同学设计了一个研究平抛运动的实验．实验装置示意图如图甲所示，A是一块平面木板，在其上等间隔地开凿出一组平行的插槽（图甲中P0P′0、P1P′1…），槽间距离均为

d.把覆盖复写纸的白纸铺贴在硬板B上．实验时依次将B板插入A板的各插槽中，每次让小球从斜槽的同一位置由静止释放．每打完一点后，把B板插入后一槽中并同时向纸面内侧平移距离d.实验得到小球在白纸上打下的若干痕迹点．如图乙所示．

（1）实验前应对实验装置反复调节，直到__________．每次让球从同一位置由静止释放是为了__________．

（2）每次将B板向内侧平移距离d，是为了__________．（3）在图乙中绘出小球做平抛运动的轨迹．

【课时练习】

1．（锦州高一检测）安装实验装置的过程中，斜槽末端的切线必须是水平的，这样做的目的是（　　）

A．保证小球飞出时，速度既不太大，也不太小B．保证小球飞出时，初速度水平

C．保证小球在空中运动的时间每次都相等D．保证小球运动的轨迹是一条抛物线

2．下列哪些因素会使“研究平抛运动”实验的误差增大（　　）

A．小球与斜槽之间有摩擦B．安装斜槽时其末端不水平

C．建立坐标系时，以斜槽末端端口位置为坐标原点

D．根据曲线计算平抛运动的初速度时，在曲线上取作计算的点离原点O较远

3.如图所示，在研究平抛运动时，小球A沿轨道滑下，离开轨道末端（末端水平）时，撞开轻质接触式开关S，被电磁铁吸住的小球B同时自由下落．改变整个装置的高度H做同样的实验，发现当B球球心与处在轨道末端的A球的球心位于同一高度时，A、B两球总是同时落地，该实验现象说明了A球离开轨道后（　　）

A．水平方向的分运动是匀速直线运动

B．水平方向的分运动是匀加速直线运动

C．竖直方向的分运动是自由落体运动

D．竖直方向的分运动是匀速直线运动

4．如图所示，两个相同的弧形轨道M、N，分别用于发射小铁球P、Q，两轨道上端分别装有电磁铁C、D.调C、D高度，使AC＝BD，将小铁球P、Q分别吸在电磁铁C、D上，然后切断电源，P、Q从弧形轨道滚下，改变弧形轨道M的高度，再进行若干次实验，经过多次实验发现，P、Q两球总是在水平面相遇,上述实验说明（　　）

A．竖直方向的运动是自由落体运动

B．竖直方向的运动是匀速直线运动

C．水平方向的运动是匀速直线运动

D．水平方向的运动是变速直线运动

5．在做“研究平抛运动”实验时，除了木板、小球、斜槽、铅笔、图钉之外，下列器材中还需要的是__________．

A．游标卡尺　B．秒表C．坐标纸D．天平E．弹簧秤F．重垂线

实验中，下列说法正确的是__________．

A．应使小球每次从斜槽上相同的位置自由滑下B．斜槽轨道必须光滑

C．斜槽轨道末端可以不水平

D．要使描出的轨迹更好地反映真实运动，记录的点应适当多一些

E．为了比较准确地描出小球运动的轨迹，应该用一条曲线把所有的点连接起来

6.在“研究平抛运动”的实验中，用一张印有小方格的纸记录轨迹，小方格的边长L＝1.25cm，若小球在平抛运动途中的几个位置如图中a、b、c、d所示，则小球平抛的初速度的计算式为v0＝________（用L、g表示），其值是________．

7.请你由平抛运动原理设计测量弹射器弹丸出射初速度的实验方法，提供的实验器材：

弹射器（含弹丸，见示意图）；铁架台（带有夹具）；刻度尺．

（1）画出实验示意图；

（2）在安装弹射器时应注意：

__________；

（3）实验中需要测量的量（并在示意图中用字母标出）__________；

（4）由于弹射器每次射出的弹丸初速度不可能完全相等，在实验中采取的方法是__________；（5）计算公式：

__________.

第七节　生活中的圆周运动

【基础知识】

一、铁路的弯道

1．火车转弯时的运动特点

火车转弯时做的是____运动，因而具有向心加速度，需要提供______．

2．转弯处内外轨一样高的缺点

如果转弯处内外轨一样高，则由________________提供向心力，这样铁轨和车轮极易受损．

3．铁路弯道的特点

（1）转弯处外轨略___于内轨．

（2）铁轨对火车的支持力不是竖直向上的，而是斜向弯道的____．

（3）铁轨对火车的支持力与火车所受重力的合力指向轨道的____，它提供了火车做圆周运动所需的______．

注意：

由铁路弯道上火车的受力特点进一步说明了向心力是按效果命名的力．

二、拱形桥

1．向心力来源

汽车过拱形桥时做圆周运动，所需向心力由____和桥面的______提供．

2．拱形桥上的受力特点

（2）汽车在凹形桥的最低点时，如图所示．

向心力：

F向＝FN－G＝

.

支持力：

FN＝G＋

>G

由上式可得：

v越大，则FN越大．

注意：

汽车运动到凸形桥的最高点时处于失重状态，运动到凹形桥的最低点时处于超重状态．

三、航天器中的失重现象

1．航天器中物体的向心力

向心力由物体的重力G和航天器的支持力提供，即G－FN＝

.

2．当航天器的速度v＝

时，FN＝0，此时航天器及其内部物体均处于__________状态．

3．任何关闭了发动机又不受阻力的飞行器中，都是一个__________的环境．

注意：

把航天器失重的原因说成是它离地球太远，从而摆脱了地球引力，是完全错误的．

四、离心运动

1.定义：

在向心力突然消失或合力不足

以提供所需的向心力时，物体__________或做____________的运动．

2．离心运动与受力的关系如图所示．

【课堂讲练】

一、火车转弯问题

1．弯道的特点

在实际的火车转弯处，外轨高于内轨，若火车转弯所需的向心力完全由重力和支持力的合力提供，即mgtanθ＝

，如图所示，则v0＝

.

其中R为弯道半径，θ为轨道所在平面与水平面的夹角，v0为转弯处的规定速度．

2．明确圆周平面

虽然外轨高于内轨，但整个外轨是等高的，整个内轨是等高的．因而火车在行驶的过程中，重心的高度不变，即火车重心的轨迹在同一水平面内．故火车的圆周平面是水平面，而不是斜面．即火车的向心加速度和向心力均是沿水平面而指向圆心．

3．速度与轨道压力的关系

（1）当火车行驶速度v等于规定速度v0时，所需向心力仅由重力和弹力的合力提供，此时内外轨道对火车无挤压作用．

（2）当火车行驶速度v与规定速度v0不相等时，火车所需向心力不再仅由重力和弹力的合力提供，此时内外轨道对火车轮缘有挤压作用，具体情况如下：

①当火车行驶速度v>v0时，外轨道对轮缘有侧压力．

②当火车行驶速度v

例1：

火车轨道在转弯处外轨高于内轨，其高度差由转弯半径与火车速度确定．若在某转弯处规定行驶速度v，则下列说法中正确的是（　　）

A．当以v的速度通过此弯道时，火车重力与轨道面支持力的合力提供向心力

B．当以v的速度通过此弯道时，火车重力、轨道面支持力和外轨对轮缘弹力的合力提供向心力

C．当速度大于v时，轮缘挤压外轨

D．当速度小于v时，轮缘挤压外轨

二、对离心运动的理解

1．离心运动的实质

离心运动实质是物体惯性的表现．做圆周运动的物体，总有沿着圆周切线飞出去的趋向，之所以没有飞出去，是因为受到向心力作用的缘故．从某种意义上说，向心力的作用是不断地把物体从圆周运动的切线方向拉到圆周上来．一旦作为向心力的合外力突然消失或不足以提供向心力，物体就会发生离心运动．

2．合外力与向心力的关系（如图）

（1）若F合＝mω2r或F合＝

，物体做匀速圆周运动，即“提供”满足“需要”．

（2）若F合>mω2r或F合>

，物体做半径变小的近心运动，即“提供”大于“需要”．

（3）若F合

，则外力不足以将物体拉回到原圆周轨道上，物体逐渐远离圆心而做离心运动，即“需要”大于“提供”或“提供不足”．

（4）若F合＝0，则物体沿切线方向飞出．

特别提醒：

（1）离心运动并不是受到离心力的作用产生的运动．

（2）离心运动并不是沿半径方向向外远离圆心的运动．

例2：

下列关于离心现象的说法正确的是（　　）

A．当物体所受离心力大于向心力时产生离心现象

B．做匀速圆周运动的物体，当它所受的一切力都消失时，它将做背离圆心的运动

C．做匀速圆周运动的物体，当它所受的一切力都消失时，它将沿切线做直线运动

D．将匀速圆周运动的物体，当它所受的一切力都消失时，它将做曲线运动

三、竖直面内圆周运动的临界问题

1．轻绳模型

如图所示，细绳系的小球或在轨道内侧运动的小球，在最高点时的临界状态为只受重力，则mg＝

，则v＝

.在最高点时：

（1）v＝

时，拉力或压力为零．

（2）v>

时，物体受向下的拉力或压力．

（3）v<

时，物体不能达到最高点．

即绳类的临界速度为v临＝

.

2．轻杆模型

如图所示，在细轻杆上固定的小球或在管形轨道内运动的小球，由于杆和管能对小球产生向上的支持力，所以小球能在竖直平面内做半径为R的圆周运动的条件是在最高点的速度大于或等于零，小球的受力情况为：

（1）v＝0时，小球受向上的支持力FN＝mg.

（2）0

时，小球受向上的支持力0

（3）v＝

时，小球除受重力之外不受其他力．

（4）v>

时，小球受向下的拉力或压力，并且随速度的增大而增大．

即杆类的临界速度为v临＝0.

特别提醒：

对竖直平面内的圆周运动

（1）要明确运动的模型，即绳或杆．

（2）由不同模型的临界条件分析受力，找到向心力的来源．

例3：

用细绳拴着质量为m的物体，在竖直平面内做半径为R的圆周运动，则下列说法正确的是（）

A．小球过最高点时，绳子张力可以为零

B．小球过最高点时的最小速度为0

C．小球刚好过最高点时的速度是

D．小球过最高点时，绳子对小球的作用力可以与球所受重力方向相反

四、拱形桥问题的计算

例4：

如图所示，质量m＝2.0×104kg的汽车以不变的速率先后驶过凹形桥面和凸形桥面，两桥面的圆弧半径均为20m．如果桥面承受的压力不得超过3.0×105N，则：

（1）汽车允许的最大速率是多少？

（2）若以所求速度行驶，汽车对桥面的最小压力是多少？

（g取10m/s2）

五、竖直平面内的临界问题

例5：

一细杆与水桶相连，水桶中装有水，水桶与细杆一起在竖直平面内做圆周运动，如图所示，水的质量m＝0.5kg，水的重心到转轴的距离l＝60cm.

（1）若在最高点水不流出来，求桶的最小速率．

（2）若在最高点的水桶速率v＝3m/s，求水对桶底的压力．（g取9.8m/s2）

【课时练习】

1．火车在某个弯道按规定运行速度40m/s转弯时，内、外轨对车轮皆无侧压力，若火车在该弯道实际运行速度为30m/s，则下列说法中正确的是（　　）

A．仅内轨对车轮有侧压力B．仅外轨对车轮有侧压力

C．内、外轨对车轮都有侧压力D．内、外轨对车轮均无侧压力

2.如图所示，光滑的水平面上，小球m在拉力F作用下做匀速圆周运动，若小球到达P点时F突然发生变化，下列关于小球运动的说法正确的是（　　）

A．F突然消失，小球将沿轨迹Pa做离心运动

B．F突然变小，小球将沿轨迹Pa做离心运动

C．F突然变大，小球将沿轨迹Pb做离心运动

D．F突然变小，小球将沿轨迹Pc逐渐靠近圆心

3.如图所示，用长为L的细绳拴着质量为m的小球在竖直平面内做圆周运动，则下列说法中正确的是（　　）

A．小球在圆周最高点时所受的向心力一定为重力

B．小球在最高点时绳子的拉力不可能为零

C．若小球刚好能在竖直平面内做圆周运动，则其在最高点的速率为

D．小球过最低点时绳子的拉力一定大于小球重力

4．一般的曲线运动可以分成很多小段，每小段都可以看成圆周运动的一部分，即把整条曲线用一系列不同半径的小圆弧来代替．如图甲所示，曲线上的A点的曲率圆定义为：

通过A点和曲线上紧邻A点两侧的两点作一圆，在极限情况下，这个圆就叫做A点的曲率圆，其半径ρ叫做A点的曲率半径．现将一物体沿与水平面成α角的方向以速度v0抛出，如图乙所示．则在其轨迹最高点P处的曲率半径是（　　）

甲　　　　　　　　　　　　乙　

A.

B.

C.

D.

5．汽车甲和汽车乙质量相等，以相等的速率沿同一水平弯道做匀速圆周运动，甲车在乙车的外侧．两车沿半径方向受到的摩擦力分别为Ff甲和Ff乙．以下说法正确的是（　　）

A．Ff甲小于Ff乙B．Ff甲等于Ff乙

C．Ff甲大于Ff乙D．Ff甲和Ff乙大小均与汽车速率无关

6.如图所示，在光滑的轨道上，小球滑下经过圆弧部分的最高点A时，恰好不脱离轨道，此时小球受到的作用力是（　　）

A．重力、弹力和向心力B．重力和弹力

C．重力和向心力D．重力

7.如图所示，A、B、C三个物体放在旋转平台上，最大静摩擦因数均为μ，已知A的质量为2m，B、C的质量均为m，A、B离轴距离均为R，C距离轴为2R，则当平台逐渐加速旋转时（　　）

A．C物的向心加速度最大B．B物的摩擦力最小

C．当圆台转速增加时，C比A先滑动

D．当圆台转速增加时，B比A先滑动

8．在一段半径为R的圆弧形水平弯道上，已知地面对汽车轮胎的最大摩擦力等于车重的μ倍（μ<1），则汽车拐弯时的安全速度是（　　）

A．v≤

B．v≤

C．v≤

D．v≤

9．质量为m的飞机，以速度v在水平面内做半径为R的匀速圆周运动，空气对飞机作用力的大小等于（　　）

A．m

B．m

C．m

D．mg

10.一质量为m的物体，沿半径为R的向下凹的圆形轨道滑行，如图所示，经过最低点的速度为v，物体与轨道之间的动摩擦因数为μ，则它在最低点时受到的摩擦力为

（　　）

A．μmgB.

C．μm（g＋

）D．μm（g－

）

11.杂技演员表演“水流星”，在长为1.6m的细绳的一端，系一个与水的总质量为m＝

0.5kg的盛水容器，以绳的另一端为圆心，在竖直平面内做圆周运动，如图所示，若“水流星”通过最高点时的速率为4m/s，则下列说法正确的是（g＝10m/s2）（　　）

A．“水流星”通过最高点时，有水从容器中流出

B．“水流星”通过最高点时，绳的拉力及容器底部受到的压力均为零

C．“水流星”通过最高点时，处于完全失重状态，不受力的作用

D．“水流星”通过最高点时，绳子的拉力大小为5N

12.质量为m的小球在竖直平面内的圆管轨道内运动，小球

的直径略小于圆管的直径，如图所示．已知小球以速度v通过最高点时对圆管的外壁的压力恰好为mg，则小球以速度

通过圆管的最高点时（　　）

A．小球对圆管的内、外壁均无压力

B．小球对圆管的外壁压力等于

C．小球对圆管的内壁压力等于

D．小球对圆管的内壁压力等于mg

13．一轻杆下端固定一质量为M的小球，上端连在轴上，并可绕轴在竖直平面内运动，不计轴和空气阻力，在最低点给小球水平速度v0时，刚好能到达最高点，若小球在最低点的瞬时速度从v0不断增大，则可知（　　）

A．小球在最高点对杆的作用力不断增大

B．小球在最高点对杆的作用力先减小后增大

C．小球在最高点对杆的作用力不断减小

D．小球在最高点对杆的作用力先增大后减小

14.如图所示，一光滑的半径为R的半圆形轨道放在水平面上，一个质量为m的小球以某一速度冲上轨道，当小球将要从轨道口飞出时，对轨道的压

力恰好为零，则小球落地点C距A处多远？

15．在高速公路的拐弯处，路面造得外高内低，路面与水平面间的夹角为θ，且tanθ＝0.2；而拐弯路段的圆弧半径R＝200m．若要使车轮与路面之间的侧向摩擦力等于零，车速v应为多少？

（g＝10m/s2）

16.（宁波十校联考）长L＝0.5m的轻杆，其一端连接着一个零件A，A的质量m＝2kg.现让A在竖直平面内绕O点做匀速圆周运动，如图所示．在A通过最高点时，求下列两种情况下A对杆的作用力：

（1）A的速率为1m/s；

（2）A的速率为4m/s.（g＝10m/s2）