六年级下册奥数专题练习速算公式全国通用.docx
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六年级下册奥数专题练习速算公式全国通用
速算公式
【首同末合十的两位数相乘公式】若两个两位数的十位数字都是a,个位上的数分别为b和c,且b+c=10,则这样的两个数便是“首同末合十”的两个两位数,它们的积为
(10a+b)(10a+c)=(10a)2+10ab+10ac+bc
=102a2+10a(b+c)+bc
=100a2+100a+bc
=a(a+1)×100+bc。
根据这一公式,两个“首同末合十”的两位数相乘,可以先把首位数乘以比它大1的数的积的100倍,然后在所得的结果后面,添上两个末位数的积。
例如,72×78=(7×8)×100+2×8
=5616
45×45=(4×5)×100+5×5
=2025
首同末合十的计算公式,也可以推广到两个三位数、两个四位数相乘的速算中去。
例如
256×254
可取a=25,b=6,c=4,再运用公式计算,得
256×254=[25×(25+1)]×100+6×4
=[25×26]×100+24
=65024
又如,155×155=(15×16)×100+5×5
=24025
【末同首合十的两位数相乘公式】若两个两位数十位上的数字分别是a和b,且a+b=10,个位上的数字都是c,则这样的两个数便是“末同首合十”的两个两位数,它们的积为
(10a+c)(10b+c)=102ab+10ac+10bc+c2
=100ab+10c(a+b)+c2
=100ab+100c+c2
=(ab+c)×100+c2。
根据这一公式,两个“末同首合十”的两位数相乘,可以先把两个首位数字的乘积加上一个末位数,再乘100然后再在所得的结果后面,添上末位数自乘的积(末位数的平方)。
例如,34×74=(3×7+4)×100+42
=25×100+16
=2516
【两个末位是1的两位数相乘公式】设两个末位都是1的两位数,十位上的数字分别是a和b,则它们的积是
(10a+1)(10b+1)=100ab+10a+10b+12
=10a×10b+(a+b)×10+1
由这一公式可知,两个末位是1的两位数相乘,可以先把两个首位数值相乘,然后在所得的结果后面添上两个首位数的和(和满十时要进位)的10倍,最后在后面添上1。
例如,51×71=50×70+(5+7)×10+1
=3500+12091
=3621。
这样的题目,口算的方法可以是:
【两个首位是1的两位数相乘公式】设两个首位为1的两位数,个位上的数字分别是a和b,则它们的积是:
(10+a)(10+b)=100+10a+10b+ab
=(10+a+b)×10+ab。
由这一公式可知,两个首位是1的两位数相乘,可以把一个数加上另一个数的末位数,所得的结果乘以10以后,再加上两个末位数的乘积。
例如,17×16=(17+6)×10+7×6
=230+42
=272。
【接近100的两个数相乘公式】接近100的两个数相乘,可以分三种情况来寻找它的速算方法。
(1)两个超过100的数相乘。
设两个超过100的数分别为a和b,它们与100的差分别为h和k,则a=100+h,b=100+k。
它们的积是
a·b=(100+h)(100+k)
=(100+h)×100+100k-hk
=(100+h+k)×100+hk
=(a+k)×100+hk。
由这一公式可知,两个超过100的数相乘,可以先把一个数加上另一个数与100的差,然后将所得的结果乘以100以后,再加上两个因数分别与100的差(补充数)的乘积。
例如,108×112=(108+12)×100+8×12
=12000+96
=12096。
快速口算的思考方法可以是:
又如,103×102=(103+2)×100+3×2
=10500+6
=10506
快速口算的思考方法可以是
(2)两个不足100的数相乘。
设两个不足100的数一个为a=100-h,另一个为b=100-k,则它们的积是
a·b=(100-h)(100-k)
=(100-h)×100-100k+hk
=(100-h-k)×100+hk
=(a-k)×100+hk。
由这个公式可知,两个不足100的两位数相乘,可以先从一个因数中减去另一个因数与100的差,然后将所得结果乘以100以后,再加上两个因数分别与100的差(两个补充数)的乘积。
例如,89×97=(89-3)×100+11×3
=8600+33
=8633
快速口算的思考方法可以是
又如,89×88=(89-12)×100+11×12
=7700+132
=7832。
快速口算的思考方法可以是
(3)一个超过100,一个不足100的两个数相乘。
设一个因数a比100大h,即a=100+h;另一个因数b比100小k,即b=100-k,则它们的积是
a·b=(100+h)(100-k)
=(100+h)×100-100k+hk
=(100+h-k)×100+hk
=(a-k)×100-hk。
由这个公式可知,一个超过100、一个不足100的两个数相乘,可以先从大于100的因数中,减去另一个因数与100的差,然后将所得的结果乘上100以后,再减去两个因数分别与100之差(两个补充数)的乘积。
例如,104×97=(104-3)×100-4×3
=10100-12
=10088
快速口算思考方法可以是
【平方差公式】两个数的和,乘以这两个数的差,等于这两个数的平方差。
平方差公式用字母表达就是:
(a+b)(a-b)=a2-b2
运用平方差公式计算,可以使一些题目的计算变得比较简便、快速。
例如
362-262=(36+26)×(36-26)
=62×10=620
672-522=(67+52)×(67-52)
=119×15
=1190+595=1785
872-762=(87+76)×(87-76)
=163×11
=1630+163
=1793
这个公式反过来,也可以运用于两数相乘的速算。
但其前提是:
两个因数必须能化成同样的两个数的和与差。
例如
17×23=(20-3)×(20+3)
=(20+3)×(20-3)
=202-32
=400-9
=391
94×86=(90+4)×(90-4)
=902-42
=8100-16
=8084
以上两例的特点是:
首位相差1,末位数字之和是10。
这样两个数相乘,可用较大数的十位数值与它的个位数字的和,去乘以它们的差,然后运用平方差公式进行速算。
【十位数相同的两位数相乘公式】十位数相同的两个两位数相乘,可先将一个乘数的个位数字加到另一个乘数上,再乘十位数值,然后加上两个个位数字的积。
即
(10a+b)(10a+c)=(10a+b+c)×10a+bc
例如,43×46=(43+6)×40+3×6
=1978
84×87=(84+7)×80+4×7
=7308
【一因数两数字和是10,另一因数为11的倍数的两数乘法公式】一个因数的两个数字为a和b,且a+b=10,另一个因数为11的倍数,这样的两个两位数相乘,可先将前一个乘数的十位数字加1,再与后一个乘数的十位数字相乘后乘以100,然后加上两个个位数之积。
即
(10a+b)(10c+c)=(a+1)c×100+bc。
例如,73×44=(7+1)×4×100+3×4
=3212。
【个位数相同的两位数相乘公式】个位数相同的两个两位数相乘,可先将两个十位数字相乘,再乘以100,再加上一个因数与另一个因数十位数值的和,然后乘以另一因数的个位数。
即
(10a+c)(10b+c)=100ab+(10a+c+10b)c。
例如,42×32=4×3×100+(42+30)×2=1344。
【几十几与十几相乘公式】几十几与十几相乘,可将几十几的十位数值乘以十几的个位数数字,再加上几十几的10倍,然后加上两个个位数字之积。
即
(10a+b)(10+c)=10a×c+(10a+b)×10+bc。
例如,65×17=60×7+650+5×7
=1105。
【末两位为25的三位数自乘公式】末两位为25的三位数自乘时,可以用首位数字的10倍与5的和,去乘以首位数字的1000倍,然后加上625。
即
(100a+25)2=(10a+5)×1000a+625。
例如,7252=(70+5)×7000+625
=525625
如果直接写答案,可以是
7252=525625
↑↑
75×7252
又如,3252=105625
↑↑
35×3252
【末两位为75的三位数自乘公式】末两位为75的三位数自乘时,可用首位数字的10倍与5的和,去乘以首位数字与1的和的积的1000倍,再加上625。
即
(100a+75)2=(10a+5)×(a+1)×1000+625。
例如,8752=(80+5)×(8+1)×1000+625
=765625
如果直接写答案,可以是
8752=765625
↑
85×9
又如,3752=140625
↑
35×4
四则运算性质
【加法运算性质】加法的运算性质主要有以下三条:
(1)一个数加上几个数的和,可以把这个数加和里的第一个加数,再加第二、三……个加数。
用字母来表达,可以是:
a+(b+c+d)=a+b+c+d。
例如,85+(15+57+43)=85+15+57+43
=100+57+43
=157+43
=200
(2)几个数的和加上一个数,可以把这个加数加到和里的任意一个加数上去,再加和里的其他加数。
用字母来表达,可以是:
(a+b+c)+d=(a+d)+b+c
=a+(b+d)+c
=a+b+(c+d)。
(3)几个数的和加上几个数的和,可以把两个和里的所有加数依次相加。
用字母来表达,可以是:
(a1+a2+a3+……+an)+(b1+b2+b3+……+bn)
=a1+a2+a3+……+an+b1+b2+b3+……+bn
例如,(800+70+6)+(1200+500+60+7)
=800+70+6+1200+500+60+7
=2643
【加减混合运算性质】“加减混合运算性质”也可称为“和与差的性质”。
这些性质有以下几条:
(1)第一个数加上(或减去)第二个数,再减去第三个数,可以把第一个数先减去第三个数,再加上(或减去)第二个数。
这就是说,在加减混合运算中,改变运算的顺序,得数不变。
这常被称之为加减混合运算的“交换性质”。
用字母来表达这一性质,可以是:
a+b-c=a-c+b;
或a-b-c=a-c-b。
例如3458+6789-2458=3458-2458+6789
=1000+6789
=7789
4087-1198-2087=4087-2087-1198
=2000-1198
=802
(2)一个数加上两个数的差,等于这个数加上差里的被减数,再减去差里的减数。
这可以称之为加减混合运算的“结合性质”。
用字母表示这一性质,可以是:
a+(b-c)=a+b-c
例如,1364+(8636-2835)=1364+8636-2835
=10000-2835
=7165
(3)一个数减去几个数的和,等于这个数依次减去和里的每一个加数。
这也可称之为“结合性质”。
用字母表示这一性质,可以是:
a-(b+c+d+e)=a-b-c-d-e。
例如,8675-(605+1070+287)
=8675-605-1070-287
=8070-1070-287
=7000-287
=6713
(4)一个数减去两个数的差,等于这个数先加上差里的减数,再减去差里的被减数。
这也是加减混合运算的“结合性质”。
用字母表示这一性质,可以是:
a-(b-c)=a+c-b。
例如,754-(600-246)=754+246-600
=1000-600
=400
(5)几个数的和减去一个数,可以用和里的等于或大于这个数的一个加数,先减去这个数,然后再加和里的其他加数。
这也是“结合性质”。
用字母表示这一性质,可以是:
(a+b+c+d)-e=(a-e)+b+c+d(a、b、d、d≥e)
=a+(b-e)+c+d
=a+b+(c-e)+d
=a+b+c+(d-e)。
例如,(421+368+468)-368=421+(368-368)+468
=421+468
=889
(6)几个数的和减去几个数的和,可以用第一个和里的各个加数,分别减去第二个和里不比它大的各个加数,然后相加。
这也可称为“结合性质”。
用字母表示这一性质,可以是:
(a+b+c+d)-(e+f+g+h)
=(a-e)+(b-f)+(c-g)+(d-h)
(a≥e,b≥f,c≥g,d≥h)
例如,(865+721+543+697)-(765+621+343+697)
=(865-765)+(721-621)+(543-343)+(697-697)
=100+100+200+0
=400
【乘除混合运算性质】“乘除混合运算性质”也可称之为“积与商的性质”。
它们的性质可分为三类:
第一类是“交换性质”:
在乘除混合运算或连除的算式中,变更它们的运算顺序,得数的大小不变。
用字母表示这一性质,可以是:
a·b÷c=a÷c·b(c≠0)
a÷b·c=a·c÷b(b≠0)
a÷b÷c=a÷c÷b(b≠0,c≠0)
例如2460×376÷246=2460÷246×376
=10×376
=3760
6900÷25÷69=6900÷69÷25
=100÷25
=4
第二类是“结合性质”。
结合性质有以下几条:
(1)一个数乘以两个数的商,等于这个数先乘以商里的被除数,再用积除以商里的除数。
用字母表达这一性质,可以是:
a·(b÷c)=a·b÷c(c≠0)
例如7×(400÷28)=7×400÷28
=2800÷28
=100
(2)一个数除以两个(或若干个)因数的积,等于这个数除以积里的一个因数,再依次除以其他的因数。
用字母表达这一性质,可以是:
a÷(b·c)=a÷b÷c(b、c≠0)
a÷(b·c……·m)=a÷b÷c÷……÷m(b,c……m≠0)
例如,1050÷(2×3×5×7)=1050÷2÷3÷5÷7
=525÷3÷5÷7
=175÷5÷7
=35÷7
=5
(3)一个数除以两个数的商,等于这个数除以商里的被除数,再乘以商里的除数。
用字母表示这一性质,可以是:
a÷(b÷c)=a÷b×c(b≠0,c≠0)
例如,3600÷(360÷40)=3600÷360×40
=10×40
=400
第三类是“分配性质”。
分配性质有以下几条:
(1)两个数的差与一个数相乘,可以用被减数与减数分别与这个数相乘,然后再相减。
用字母表达这一性质,可以是:
(a-b)c=ac-bc
a(b-c)=ab-ac
例如,(100-3)×21=100×21-3×21
=2100-63
=2037
78×(100-1)=78×100-78×1
=7800-78
=7722
(2)几个数的和除以一个数,可以用和里的每个加数分别除以这个数,再把所得的商相加。
用字母表达这一性质,可以是:
(a+b+c)÷d=a÷d+b÷d+c÷d。
(d≠0)
例如,(3700+1110+37)÷37
=3700÷37+1110÷37+37÷37
=100+30+1
=131
注意:
此性质不适用于“一个数除以几个数的和”,即a÷(b+c+d)≠a÷b+a÷c+a÷d。
比方,
6850÷(100+37)≠6850÷100+6850÷37。
(3)两个数的差除以一个数,可以把被减数和减数分别除以这个数,再把所得的商相减。
用字母表达这一性质,可以是:
(a-b)÷m=a÷m-b÷m(m≠0)
例如,(3400-68)÷34=3400÷34-68÷34
=100-2
=98
注意:
此性质也不适用于“一个数除以两个数的差”。
即
m÷(a-b)≠m÷a-m÷b。
比方3400÷(68-34)≠3400÷68-3400÷34。
(4)几个数的积除以一个数,可以把积里的任何一个因数除以这个数,然后再与其他因数相乘。
用字母表达这一性质,可以是:
(a·b·c)÷m=(a÷m)·b·c=a·(b÷m)·c=a·b·(c÷m)(m≠0)
例如,(20×48×5)÷8=20×(48÷8)×5
=20×6×5
=600
(5)几个数的积除以几个数的积,可以把第一个积里的各个因数,分别除以第二个积里的各个因数,然后把所得的商相乘。
用字母表达这一性质,可以是:
(a·b·c·d)÷(e·f·g)=(a÷e)·(b÷f)·(c÷g)·d。
(e·f·g≠0)
例如,(21×15×48)÷(7×3×16)=(21÷7)×(15÷3)×(48÷16)=3×5×3=45
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