高考专题讲座之动力学分析.docx
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高考专题讲座之动力学分析
动力学分析
一:
思想方法:
⒈学会正确对物体进行受力分析:
①按顺序找力;②按性质找力
⒉学会判断物体的运动情况:
物体怎么运动,取决于它的初始状态和受力情况。
①F=0时,加速度a=0.静止或匀速直线运动;
②F=恒量:
F与v在一条直线上——匀变速直线运动;
③F与v不在一条直线上——曲线运动(如平抛运动)
④F大小恒定,方向与v始终垂直——匀速圆周运动
⑤F=-kx——简谐振动
⑥F方向不变(与v在一条直线上),大小逐渐减小——先匀变速后匀速直线运动
⒊掌握上面几种特殊运动的规律,并能灵活运用其运动的规律解决实际问题。
⒋在受力分析时,要灵活运用隔离体法和整体法
⒌注意力与运动的两类问题:
①已知物体的受力情况,求解其运动情况;
②已知物体的运动情况,求解物体所受的未知力或与力有关的未知量.
解决这两类问题的关键:
加速度a。
注意加速度a与力F的关系;加速度a与速度v的变化的关系。
二:
处理动力学问题的一般思路和步骤是:
①领会问题的情景,在问题给出的信息中,提取有用信息,构建出正确的物理模型;
②合理选择研究对象;
③分析研究对象的受力情况和运动情况;
④正确建立坐标系;
⑤运用牛顿运动定律和运动学的规律列式求解。
三:
典型例题
⒈单体运动:
例1.滑板运动是一项非常刺激的水上运动,研究表明,在进行滑板运动时,水对滑板的作用力Fx垂直于板面,大小为kv2,其中v为滑板速率(水可视为静止).某次运动中,在水平牵引力作用下,当滑板和水面的夹角θ=37°时,滑板做匀速直线运动,相应的k=54kg/m,入和滑板的总质量为108kg,试求(重力加速度g取10m/s2,sin37°取,忽略空气阻力):
⑴水平牵引力的大小;
⑵滑板的速率;
⑶水平牵引力的功率.
解析:
(1)以滑板和运动员为研究对象,其受力如图所示
由共点力平衡条件可得
①
②
由①、②联立,得:
F=810N
(2)
得:
m/s
(3)水平牵引力的功率:
P=Fv=4050W
例2.某兴趣小组设计了如图所示的玩具轨道,其中“2008”四个等高数字用内壁光滑的薄壁细圆管弯成,固定在竖直平面内(所有数字均由圆或半圆组成,圆半径比细管的内径大得多),底端与水平地面相切。
弹射装置将一个小物体(可视为质点)以Va=5m/s的水平初速度由a点弹出,从b点进入轨道,依次经过“8002”后从p点水平抛出。
小物体与地面ab段间的动摩擦因数μ=0.3,不计其它机械能损失。
已知ab段长L=l.5m,数字“0”的半径R=0.2m,小物体质量m=0.0lkg,g=10m/s2。
求:
(1)小物体从p点抛出后的水平射程。
(2)小物体经过数字“0”的最高点时管道对小物体作用力的大小和方向。
解析:
(1)设小物体运动到p点时的速度大小为v,对小物体由a运动到p过程应用动能定理得
①
小物体自P点做平抛运动,设运动时间为t.水平射程为s,则:
②
s=vt③
联立①②③式,代入数据解得s=0.8m④
(2)设在数字“0”的最高点时管道对小物体的作用力大小为F取竖直向下为正方向
⑤
联立①⑤式,代入数据解得
F=0.3N⑥方向竖直向下
例3.有一种叫“飞椅”的游乐项目,示意图如图所示,长为L的钢绳一端系着座椅,另一端固定在半径为r的水平转盘边缘,转盘可绕穿过其中心的竖直轴转动.当转盘以角速度ω匀速转动时,钢绳与转轴在同一竖直平面内,与竖直方向的夹角为θ,不计钢绳的重力,求转盘转动的角速度ω与夹角θ的关系.
解析:
设转盘转动角速度时,夹角θ夹角θ
座椅到中心轴的距离:
对座椅分析有:
联立两式得
例4.总质量为80kg的跳伞运动员从离地500m的直升机上跳下,经过2s拉开绳索开启降落伞,如图所示是跳伞过程中的v-t图,试根据图像求:
(g取10m/s2)
(1)t=1s时运动员的加速度和所受阻力的大小。
(2)估算14s内运动员下落的高度及克服阻力做的功。
(3)估算运动员从飞机上跳下到着地的总时间。
解析:
(1)从图中可以看邮,在t=2s内运动员做匀加速运动,其加速度大小为
m/s2=8m/s2
设此过程中运动员受到的阻力大小为f,根据牛顿第二定律,
有mg-f=ma得f=m(g-a)=80×(10-8)N=160N
(2)从图中估算得出运动员在14s内下落了
39.5×2×2m=158
根据动能定理,有
所以有=(80×10×158-×80×62)J≈1.25×105J
(3)14s后运动员做匀速运动的时间为:
s=57s
运动员从飞机上跳下到着地需要的总时间:
t总=t+t′=(14+57)s=71s
⒉连接体物体的运动:
例5.如图所示,一辆汽车A拉着装有集装箱的拖车B,以速度v1=30m/s进入向下倾斜的直车道车道每l00m下降2m。
为使汽车速度在s=200m的距离内减到v2=10m/s,驾驶员必须刹车。
假定刹车时地面的摩擦阻力是恒力,且该力的70%作用于拖车B,30%作用于汽车A。
已知A的质量m1=2000kg,B的质量m2=6000kg。
求汽车与拖车的连接处沿运动方向的相互作用力.取重力加速度g=10m/s2。
解析:
汽车沿倾斜车道作匀减速运动,用a表示加速度的大小,有
①
用F表示刹车时的阻力.根据牛顿第二定律有
F-(m1+m2)gsina==(m1+m2)a②
式中:
sina=
=2×10-2③
设刹车过程中地面作用于汽车的限力为f.根据题意
f=
F④
方向与汽车前进方向相反;用fN表示拖车作用于汽车的力,设其方向与汽车前进方向相同。
以汽车为研究对象,由牛倾第二定律有
f-fN-m1gsina=m1a⑤
由②④⑤式得
⑥
由①③⑥式,代入有关数据得:
fN=880N
例6.如图所示,光滑水平面上静止放着长L=1.6m,质量为M=3kg的木块(厚度不计),一个质量为m=1kg的小物体放在木板的最右端,m和M之间的动摩擦因数μ=0.1,今对木板施加一水平向右的拉力F,(g取10m/s2)
(1)为使小物体不掉下去,F不能超过多少?
(2)如果拉力F=10N恒定不变,求小物体所能获得的最大动能?
解析:
(1)F=(M+m)a
μmg=ma
F=μ(M+m)g=0.1×(3+1)×10N=4N
(2)小物体的加速度:
木板的加速度:
………(2分)
解得物体滑过木板所用时间:
物体离开木板时的速度:
例7.如图所示,一块质量为M,长为L的均质板放在很长的光滑水平桌面上,板的左端有一质量为m的小物体(可视为质点),物体上连接一根很长的细绳,细绳跨过位于桌边的定滑轮.某人以恒定的速率v向下拉绳,物体最多只能到达板的中点,而板的右端尚未到达桌边定滑轮处.试求:
(1)物体刚达板中点时板的位移.
(2)若板与桌面之间有摩擦,为使物体能达到板的右端,板与桌面之间的动摩擦因数的范围是多少.
解析:
(1)设物体与板的位移分别为S物、S板,则由题意有①
②解得:
.
(2)由.
得,故板与桌面之间的动摩擦因数
例8.如图所示,平板车长为L,质量为m,上表面距离水平地面高为h,以速度v0向右做匀速直线运动,A、B是其左右两个端点.从某时刻起对平板车施加一个方向水平向左的恒力F,与此同时,将一个小球轻放在平板车上的P点(小球可视为质点,放在P点时相对于地面的速度为零),,经过一段时间,小球脱离平板车落到地面.已知小球下落过程中不会和平板车相碰,所有摩擦力均忽略不计.求
(1)小球从离开平板车开始至落到地面所用的时间.
(2)小球落地瞬间,平板车的速度大小.
解析:
(1)小球离开小车后作自由落体运动,设下落时间为t,则h=gt
解得t=
(2)分两种情况讨论:
①平板车向右做匀减速运动的某一时刻,小球从左端A离开车.
当小球在车左端时,车向右的位移s1=
车向左的加速度a=
车向右的速度v1=
小球离开车的左端后做自由落体运动,当小球落地瞬间,车的速度v2=v1–at
联立解得车的速度v2=
(>0,车向右做匀减速运动;<0,车向左做匀加速运动)
②平板车先向右做匀减速运动,然后向左做匀加速运动的某一时刻,小球从右端B离开车.
当小球在车右端时,车向左的位移s2=
车向左的加速度仍a=
车向左的速度v3=
小球离开车的右端后做自由落体运动,当小球落地瞬间,车向左的速度v4=v3+at
联立解得车向左的速度
⒊天体问题:
例9.天文学家将相距较近、仅在彼此的引力作用下运行的两颗恒星称为双星。
双星系统在银河系中很普遍。
利用双星系统中两颗恒星的运动特征可推算出它们的总质量。
已知某双星系统中两颗恒星围绕它们连线上的某一固定点分别做匀速圆周运动,周期均为T,两颗恒星之间的距离为r,试推算这个双星系统的总质量。
(引力常量为G)
解析:
设两颗恒星的质量分别为m1、m2,做圆周运动的半径分别为r1、r2,角速度分别为w1,w2。
根据题意有
w1=w2①
r1+r2=r②
根据万有引力定律和牛顿定律,有
③
④
联立以上各式解得:
⑤
根据角速度与周期的关系知:
⑥
联立③⑤⑥式解得:
⑦
例10.科学家在地球轨道外侧发现了一颗绕太阳运行的小行星,经过观测该小行星每隔t时间与地球相遇一次,已知地球绕太阳公转半径是R,周期是T,设地球和小行星都是圆轨道,求小行星与地球的最近距离。
解析:
设小行星绕太阳周期为T/,T/>T,地球和小行星间隔时间t相遇一次,则有
设小行星绕太阳轨道半径为R/,万有引力提供向心力有
同理对于地球绕太阳运动也有
由上面两式有
所以当地球和小行星最近时
⒋传送带上物体的运动:
例11.如图所示为车站使用的水平传送带装置的示意图,绷紧的传送带始终保持3.0m/s的恒定速率运行,传送带的水平部分AB距水平地面的高度为h=0.45m.现有一行李包(可视为质点)由A端被传送到B端,且传送到B端时没有被及时取下,行李包从B端水平抛出,不计空气阻力,g取10m/s2.
(1)若行李包从B端水平抛出的初速ν0=3.0m/s,求它在空中运动的时间和飞出的水平距离;
(2)若行李包以ν0=1.0m/s的初速从A端向右滑行,行李包与传送带间的动摩擦因数μ=0.20,要使它从B端飞出的水平距离等于
(1)中所求的水平距离,求传送带的长度上应满足的条件.
解析:
(1)设行李包在空中运动的时间为t,飞出的水平距离为s,则
s=vt代入数值,得t=0.3s
s=0.9m
(2)设行李包的质量为m,与传送带相对运动时的加速度为a,则:
滑动摩擦力F=μmg=ma
代人数值,得a=2.0m/s2
要使行李包从B端飞出的水平距离等于
(1)中所求水平距离,行李包从B端水平抛出的初速应为v=3.0m/s
设行李包被加速到v=3.0m/s时通过的距离为s0,则:
2as0=v2-vo2
代人数值,得so=2.0m
故传送带的长度L应满足的条件为:
L≥2.0m
例12.如图足够长的水平传送带始终以大小为v=3m/s的速度向左运动,传送带上有一质量为M=2kg的小木盒A,A与传送带之间的动摩擦因数为μ=0.3,开始时,A与传送带之间保持相对静止。
先后相隔△t=3s有两个光滑的质量为m=1kg的小球B自传送带的左端出发,以v0=15m/s的速度在传送带上向右运动。
第1个球与木盒相遇后,球立即进入盒中与盒保持相对静止,第2个球出发后历时△t1=s而与木盒相遇。
求(取g=10m/s2)
(1)第1个球与木盒相遇后瞬间,两者共同运动的速度多大?
(2)第1个球出发后经过多长时间与木盒相遇?
(3)自木盒与第1个球相遇至与第2个球相遇的过程中,由于木盒与传送带间的摩擦而产生的热量是多少?
解析:
⑴设第1个球与木盒相遇后瞬间,两者共同运动的速度为v1,根据动量守恒定律:
代入数据,解得:
v1=3m/s
⑵设第1个球与木盒的相遇点离传送带左端的距离为s,第1个球经过t0与木盒相遇,
则:
设第1个球进入木盒后两者共同运动的加速度为a,根据牛顿第二定律:
得:
设木盒减速运动的时间为t1,加速到与传送带相同的速度的时间为t2,则:
=1s
故木盒在2s内的位移为零
依题意:
代入数据,解得:
s=7.5mt0=0.5s
⑶自木盒与第1个球相遇至与第2个球相遇的这一过程中,传送带的位移为S,木盒的位移为s1,则:
故木盒相对与传送带的位移:
则木盒与传送带间的摩擦而产生的热量是:
⒌弹簧问题:
例13.如图所示,在倾角为θ的光滑斜面上有两个用轻质弹簧相连接的物体A、B,它们的质量分别为mA、mB,弹簧的劲度系数为k,C为一固定挡板,系统处于静止状态。
现开始用一恒力F沿斜面方向拉物块A使之向上运动,当物块B刚要离开C时,求
(1)物块A的加速度大小;
(2)从开始到此时物块A的位移大小。
2.4.6
(已知重力加速度为g)
解析:
(1)当B刚离开C时,设弹簧的伸长量为x2,以B为研究对象,根据力的平衡
以A为研究对象,设A的加速度为a,
根据牛顿第二定律
联立解得
(2)设未施力F时弹簧的压缩量为x1,以A为研究对象,
根据力的平衡
由题意知,物块A的位移
联立解得
例14.一弹簧秤秤盘的质量M=1.5kg,盘内放一个质量m=10.5kg的物体P,弹簧质量忽略不计,轻弹簧的劲度系数k=800N/m,系统原来处于静止状态,如图所示.现给物体P施加一竖直向上的拉力F,使P由静止开始向上作匀加速直线运动.已知在前0.2s时间内F是变力,在0.2s以后是恒力.求物体匀加速运动的加速度多大?
取g=10m/s2.
解析:
因为在t=0.2s内F是变力,在t=0.2s以后F是恒力,所以在t=0.2s时,P离开秤盘.此时P对盘的压力为零,由于盘的质量M=1.5kg,所以此时弹簧不能处于原长.
开始时,系统处于静止状态,设弹簧压缩量为x1,由平衡条件得
t=0.2s时,P与秤盘分离,设弹簧压缩量为x2,对秤盘据牛顿第二定律得:
t=0.2s内,物体的位移:
由以上各式解得a=6m/s2.
⒍临界与极值问题
例15.如图所示,在倾角为θ的光滑斜面上,有一长为l的细线,细线的一端固定在O点,另一端拴一质量为m的小球,现使小球恰好能在斜面上做完整的圆周运动,已知O点到斜面底边的距离,求:
(1)小球通过最高点A时的速度.
(2)小球通过最低点B时,细线对小球的拉力.
(3)小球运动到A点或B点时细线断裂,小球滑落到斜面底边时到C点的距离若相等,则l和L应满足什么关系?
解:
(1)小球恰好能在斜面上做完整的圆周运动,刚小球通过A点时细线的拉力为零,
根据圆周运动和牛顿第二定律有:
解得:
(3分)
(2)小球从A点运动到B点,根据机械能守恒定律有:
解得:
(3分)
小球在B点时根据圆周运功和牛顿第二定律有:
解得:
(3分)
(3)小球运动到A点或B点时细线断裂,小球在平行底边方向做匀速运动,在垂直底边方向做初速为零的匀加速度运动〔类平抛运动)
细线在A点断裂:
细线在B点断裂:
又联立解得:
(3分)
例16.
如图所示,水平传送带水平段长l=6m,两皮带轮直径D均为0.2m,距地面高H=5m,与传送带等高的光滑水平台上有一小物块以v0=5m/s的初速度滑上传送带,物块与传送带之间的动摩擦因数μ=0.2.求:
(1)若传送带静止,物块滑到右端后做平抛运动的水平距离s0等于多少?
(2)当皮带轮匀速转动,且角速度为ω时,物体做平抛运动的水平位移为s,以不同角速度ω做上述实验,得到一组对应的ω和s值.设皮带轮顺时针转动时ω>0,逆时针转动时ω<0,试画出平抛距离s随ω变化的曲线.
解析:
(1)由牛顿第二定律有①
由运动学公式有②,由平抛运动的规律有③④
联立以上各式可解得:
s0=1m.
(2)当皮带轮逆时针转动时即ω<0时,其运动情形和第一个问题完全相同,故此时平抛距离s=s0=1m;而当皮带轮顺时针转动时即ω>0时,讨论如下:
①当皮带轮转动的角速度ω≤=10rad/s时,物块在皮带上滑动时的速度一直大于皮带的速度,物块受到的合外力一直等于滑动摩擦力,做的是匀减速运动,其情形仍和第一个问题相同,所以物块离开皮带后平抛的距离仍为s=1m.
②当皮带轮转动的角速度满足10rad/s<ω<50rad/s(=50rad/s),此时皮带的速度1m/s 由此式可求得1m ③当皮带轮转动的角速度满足50rad/s<ω<70rad/s(rad/s)则此时 有v物 m/s故物块滑上皮带后先加速后与皮带同速直至抛出.由⑤式可解得,5m ④当皮带轮转动的角速度满足ω>70rad/s,物块滑上皮带后一直加速,故末速度恒等于7m/s,物体抛出的水平距离s=7m.所以平抛距离s随ω变化的曲线如图所示. 四: 巩固训练 1.2008年初,中国多数地区遭受50年未遇的雪灾,致使道路交通严重受阻。 有一辆载重卡车,没有安装ABS系统,也没有防滑链,正以某一速度沿正常的平直公路匀速行驶。 进入冰雪路面后,交警提示司机必须以原速的一半行驶。 司机发现,即使以原速的一半行驶,紧急刹车后的刹车距离仍然达到了正常路面紧急刹车距离的2倍。 设轮胎与正常路面间的动摩擦因数为0.8,取g=10m/s2,问: (1)轮胎与冰雪路面间的动摩擦因数为多少? (2)为保证安全,卡车在冰雪路面上的刹车距离不得超过8m,则卡车在冰雪路面上的行驶速度最大不得超过多少? 2.如图所示,一高度为h=0.8m粗糙的水平面在B点处与一倾角为θ=30°光滑的斜面BC连接,一小滑块从水平面上的A点以v0=3m/s的速度在粗糙的水平面上向右运动。 运动到B点时小滑块恰能沿光滑斜面下滑。 已知AB间的距离s=5m,求: (1)小滑块与水平面间的动摩擦因数; (2)小滑块从A点运动到地面所需的时间; (3)若小滑块从水平面上的A点以v1=5m/s的速度在粗糙的水平面上向右运动,运动到B点时小滑块将做什么运动? 并求出小滑块从A点运动到地面所需的时间。 (取g=10m/s2)。 3.如图所示,固定在水平面上的斜面其倾角θ=37º,长方体木块A的MN面上钉着一颗小钉子,质量m=1.5kg的小球B通过一细线与小钉子相连接,细线与斜面垂直.木块与斜面间的动摩擦因数μ=0.50.现将木块由静止释放,木块将沿斜面下滑.求在木块下滑的过程中小球对木块MN面的压力大小.(取g=10m/s2,sin37º=0.6,cos37º=0.8) 4.如图所示,在光滑的桌面上叠放着一质量为mA=2.0kg的薄木板A和质量为mB=3kg的金属块B.A的长度L=2.0m.B上有轻线绕过定滑轮与质量为mC=1.0kg的物块C相连.B与A之间的滑动摩擦因数µ=0.10,最大静摩擦力可视为等于滑动摩擦力.忽略滑轮质量及与轴间的摩擦.起始时令各物体都处于静止状态,绳被拉直,B位于A的左端(如图),然后放手,求经过多长时间t后B从A的右端脱离(设A的右端距滑轮足够远)(取g=10m/s2). 5.质量为40kg的雪撬在倾角θ=37°的斜面上向下滑动(如图甲所示),所受的空气阻力与速度成正比。 今测得雪撬运动的v-t图像如图7乙所示,且AB是曲线的切线,B点坐标为(4,15),CD是曲线的渐近线。 试求空气的阻力系数k和雪撬与斜坡间的动摩擦因数μ。 6.在南极考察活动中,需要将一工作平台移动一段距离,现有质量M=100kg的工作平台,停在水平冰面上,工作平台的水平台面离地高度h=1.25m,它与冰面的动摩擦因数为=0.10,另有一质量m=50kg的小物块置于平台上,它到台尾的距离b=1.00m,与台面间的动摩擦因数=0.20,如图所示。 今对工作平台施一水平向右的恒定拉力,使其开始运动,一段时间后物块从台面上滑落,刚滑落时,平台已向右行进了距离s0=2.0m(取g=10m/s2)。 求: (1)对工作平台所施加的恒力F大小及物块在平台上滑动用的时间; (2)物块落地时,落地点至平台尾的水平距离s(本结果保留三位有效数字)。 五: 参考答案 1. 解: 设轮胎与冰雪路面间的动摩擦因数为µ,汽车在正常路面的行驶速度为v,则: 分析刹车时汽车的受力,由牛顿第二定律得,刹车时汽车的加速度为: a=-µg 由vt2-v02=2as得: s=v02/2µg (1)正常路面上: s1=v2/2µ1g 冰雪路面上: s2=(v/2)2/2µg 又: 2s1=s2即: 所以有: µ=µ1/8=0.1 (2)若要刹车距离不超过8m,则有: s=vm2/2µg≤8 代入数据得: vm≤4m/s 即卡车在冰雪路面上的行驶速度最大不得超过4m/s 2. 解: (1)小滑块运动到B点时速度恰为零,设小滑块在水平面上运动的加速度大小为a,据牛顿第二定律可得μmg=ma① 由运动学公式得② 解得③(1分) (2)小滑块运动到B点t1==3.3s④ 在斜面上运动的时间t2=⑤ 小滑块从A点运动到地面所需的时间为t=t1+t2=4.1s⑥ (3)若小滑块从水平面上的A点以v1=5m/s的速度在粗糙的水平面上向右运动,运动到B点时的速度为,由得vB=4m/s 小滑块将做平抛运动。 (1分) 假设小滑块不会落到斜面上,则经过,由于水平运动的位移x=vBt3=1.67m>=1.36m所以假设正确。 小滑块从A点运动到地面所需的时间为s⑨ 3. 解析: 以木块和小球整体为研究对象,设木块的质量为M,下滑的加速度为a,沿斜面方向,根据牛顿第二定律有: (M+m)gsin37º-μ(M+m)gcos37º=(M+m)a 解得: a=g(sin37º-μcos37º)=2m/s2 以小球B为研究对象,受重力mg,细线拉力T和MN面对小球沿斜面向上的弹力FN,沿斜面方向,根据牛顿第二定律有: mgsin37º-FN=ma 解得: FN=mgsin37º-ma=6N. 由牛顿第三定律得,小球对木块MN面的压力大小为6N. 4. 解: 以桌面为参考系,令aA表示A的加速度,aB表示B、C的加速度,sA和sB分别表示t时间A和B移动的距离,则由牛顿定律和匀加速运动的规律可得 mCg-µmBg=(mC+mB)aB µmBg=mAaA sB=aBt2 sA=aAt2 sB-sA=L 由以上各式,代入数值,可得 t=4.0s 5. 解: 由牛顿运动定律得: 由平衡条件得: 由图象得: A点,vA=5m/s,加速度aA=2.
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