南京市盐城市届高三年级第二次模拟考试数学试题及答案.docx

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南京市盐城市届高三年级第二次模拟考试数学试题及答案

南京市2014届高三年级第二次模拟考试

数学2014.03

注意事项：

1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．

2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内．试题的答案写在答题纸上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸．

参考公式：

柱体的体积公式：

V＝Sh，其中S为柱体的底面积，h为柱体的高．

圆柱的侧面积公式：

S侧＝2πRh，其中R为圆柱的底面半径，h为圆柱的高．

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）

1．函数f（x）＝lnx＋的定义域为▲．

2．已知复数z1＝－2＋i，z2＝a＋2i（i为虚数单位，aR）．若z1z2为实数，则a的值为▲．

（第3题图）

3．某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成绩进行分析，随机抽取了150分到450分之间的1000名学生的成绩，并根据这1000名学生的成绩画出样本的频率分布直方图（如图），则成绩在[300，350）内的学生人数共有▲．

（第6题图）

4．盒中有3张分别标有1，2，3的卡片．从盒中随机抽取一张记下号码后放回，再随机抽取一张记下号码，则两次抽取的卡片号码中至少有一个为偶数的概率为▲．

5．已知等差数列{an}的公差d不为0，且a1，a3，a7成等比数列，则的值为▲．

6．执行如图所示的流程图，则输出的k的值为▲．

（第7题图）

7．函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A，ω，φ为常数，A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）

的图象如下图所示，则f（）的值为▲．

8．在平面直角坐标系xOy中，双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的两条渐近线与抛物线y2＝4x的准线相交于A，B两点．若△AOB的面积为2，则双曲线的离心率为▲．

9．表面积为12π的圆柱，当其体积最大时，该圆柱的底面半径与高的比为▲．

10．已知||＝1，||＝2，∠AOB＝，＝＋，则与的夹角大小为▲．

11．在平面直角坐标系xOy中，过点P（5，3）作直线l与圆x2＋y2＝4相交于A，B两点，若OA⊥OB，则直线l的斜率为▲．

12．已知f（x）是定义在R上的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）＝x2，当x＞0时，f（x＋1）＝f（x）＋f

（1），且．

若直线y＝kx与函数y＝f（x）的图象恰有5个不同的公共点，则实数k的值为▲．

13．在△ABC中，点D在边BC上，且DC＝2BD，AB∶AD∶AC＝3∶k∶1，则实数k的取值范围为▲．

14．设函数f（x）＝ax＋sinx＋cosx．若函数f（x）的图象上存在不同的两点A，B，使得曲线y＝f（x）在点A，B处的切线互相垂直，则实数a的取值范围为▲．

二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）

15．（本小题满分14分）

如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAB⊥平面ABCD，PA⊥PB，

（第15题图）

BP＝BC，E为PC的中点．

（1）求证：

AP∥平面BDE；

（2）求证：

BE⊥平面PAC．

16．（本小题满分14分）

在平面直角坐标系xOy中，角α的顶点是坐标原点，始边为x轴的正半轴，终边与单位圆O交

于点A（x1，y1），α∈（，）．将角α终边绕原点按逆时针方向旋转，交单位圆于点B（x2，y2）．

（第16题图）

（1）若x1＝，求x2；

（2）过A，B作x轴的垂线，垂足分别为C，D，记△AOC及

△BOD的面积分别为S1，S2，且S1＝S2，求tanα的值．

17．（本小题满分14分）

（第17题图）

如图，经过村庄A有两条夹角为60°的公路AB，AC，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P，分别在两条公路边上建两个仓库M、N（异于村庄A），要求PM＝PN＝MN＝2（单位：

千米）．如何设计，使得工厂产生的噪声对居民的影响最小（即工厂与村庄的距离最远）．

18．（本小题满分16分）

在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C∶＋＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2，一条准线方程为x＝2．P为椭圆C上一点，直线PF1交椭圆C于另一点Q．

（1）求椭圆C的方程；

（2）若点P的坐标为（0，b），求过P，Q，F2三点的圆的方程；

（3）若＝λ，且λ∈[，2]，求·的最大值．

19．（本小题满分16分）

已知函数f（x）＝ex，a，bR，且a＞0．

（1）若a＝2，b＝1，求函数f（x）的极值；

（2）设g（x）＝a（x－1）ex－f（x）．

①当a＝1时，对任意x（0，＋∞），都有g（x）≥1成立，求b的最大值；

②设g′（x）为g（x）的导函数．若存在x＞1，使g（x）＋g′（x）＝0成立，求的取值范围．

20．（本小题满分16分）

已知数列{an}的各项都为正数，且对任意n∈N*，a2n－1，a2n，a2n＋1成等差数列，

a2n，a2n＋1，a2n＋2成等比数列．

（1）若a2＝1，a5＝3，求a1的值；

（2）设a1＜a2，求证：

对任意n∈N*，且n≥2，都有＜．

南京市2014届高三年级第二次模拟考试

数学附加题2014.03

注意事项：

1．附加题供选修物理的考生使用．

2．本试卷共40分，考试时间30分钟．

3．答题前，考生务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内．试题的答案写在答题纸上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸．

21．【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

A．选修4—1：

几何证明选讲

第21题A图

如图，△ABC为圆的内接三角形，AB＝AC，BD为圆的弦，且BD∥AC．过点A作圆的切线与

DB的延长线交于点E，AD与BC交于点F．

（1）求证：

四边形ACBE为平行四边形；

（2）若AE＝6，BD＝5，求线段CF的长.

B．选修4—2：

矩阵与变换

已知矩阵A＝的一个特征值为2，其对应的一个特征向量为α＝．

（1）求矩阵A；

（2）若A＝，求x，y的值．

C．选修4—4：

坐标系与参数方程

在极坐标系中，求曲线＝2cosθ关于直线θ＝（R）对称的曲线的极坐标方程．

D．选修4—5：

不等式选讲

已知x，yR，且|x＋y|≤，|x－y|≤，求证：

|x＋5y|≤1．

【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

22．（本小题满分10分）

某中学有4位学生申请A，B，C三所大学的自主招生．若每位学生只能申请其中一所大学，且申请其中任何一所大学是等可能的．

（1）求恰有2人申请A大学的概率；

（2）求被申请大学的个数X的概率分布列与数学期望E（X）．

23．（本小题满分10分）

设f（n）是定义在N*上的增函数，f（4）＝5，且满足：

①任意n∈N*，f（n）Z；②任意m，n∈N*，有f（m）f（n）＝f（mn）＋f（m＋n－1）．

（1）求f

（1），f

（2），f（3）的值；

（2）求f（n）的表达式．

南京市2014届高三年级第二次模拟考试

数学参考答案

说明：

1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．

2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

4．只给整数分数，填空题不给中间分数．

一、填空题：

本大题共14小题，每小题5分，计70分.

1．（0，1]2．43．3004．5．26．47．1

8．9．10．60°11．1或12．2－213．（，）14．[－1，1]

二、解答题：

15．证：

（1）设AC∩BD＝O，连结OE．

因为ABCD为矩形，所以O是AC的中点．

因为E是PC中点，所以OE∥AP．…………………………………………4分

因为AP平面BDE，OE平面BDE，

所以AP∥平面BDE．…………………………………………6分

（2）因为平面PAB⊥平面ABCD，BC⊥AB，平面PAB∩平面ABCD＝AB，

所以BC⊥平面PAB．…………………………………………8分

因为AP平面PAB，所以BC⊥PA．

因为PB⊥PA，BC∩PB＝B，BC，PB平面PBC，

所以PA⊥平面PBC．…………………………………………12分

因为BE平面PBC，所以PA⊥BE．

因为BP＝PC，且E为PC中点，所以BE⊥PC．

因为PA∩PC＝P，PA，PC平面PAC，

所以BE⊥平面PAC．…………………………………………14分

16．解：

（1）因为x1＝，y1＞0，所以y1＝＝．

所以sinα＝，cosα＝．…………………………………………2分

所以x2＝cos（α＋）＝cosαcos－sinαsin＝－．…………………………………………6分

（2）S1＝sinαcosα＝－sin2α．

因为α（，），所以α＋（，）．

所以S2＝－sin（α＋）cos（α＋）＝－sin（2α＋）＝－cos2α．…………………………………………8分

因为S1＝S2，所以sin2α＝－cos2α，即tan2α＝－．…………………………………………10分

所以＝－，解得tanα＝2或tanα＝－．

因为α（，），所以tanα＝2．…………………………………………14分

17．解法一：

设∠AMN＝θ，在△AMN中，＝．

因为MN＝2，所以AM＝sin（120°－θ）．………………………………………2分

在△APM中，cos∠AMP＝cos（60°＋θ）．…………………………………………6分

AP2＝AM2＋MP2－2AM·MP·cos∠AMP

＝sin2（120°－θ）＋4－2×2×sin（120°－θ）cos（60°＋θ）………………………………8分

＝sin2（θ＋60°）－sin（θ＋60°）cos（θ＋60°）＋4

＝[1－cos（2θ＋120°）]－sin（2θ＋120°）＋4

＝－[sin（2θ＋120°）＋cos（2θ＋120°）]＋

＝－sin（2θ＋150°），θ∈（0，120°）．…………………………………………12分

当且仅当2θ＋150°＝270°，即θ＝60°时，AP2取得最大值12，即AP取得最大值2．

答：

设计∠AMN为60时，工厂产生的噪声对居民的影响最小．……………………………………14分

解法二：

设AM＝x，AN＝y，∠AMN＝α．

在△AMN中，因为MN＝2，∠MAN＝60°，

所以MN2＝AM2＋AN2－2AM·AN·cos∠MAN，

即x2＋y2－2xycos60°＝x2＋y2－xy＝4．…………………………………………2分

因为＝，即＝，

所以sinα＝y，cosα＝＝＝．…………………………………………6分

cos∠AMP＝cos（α＋60°）＝cosα－sinα＝·－·y＝．……………………………8分

在△AMP中，AP2＝AM2＋PM2－2AM·PM·cos∠AMP，

即AP2＝x2＋4－2×2×x×＝x2＋4－x（x－2y）＝4＋2xy．………………………………………12分

因为x2＋y2－xy＝4，4＋xy＝x2＋y2≥2xy，即xy≤4．

所以AP2≤12，即AP≤2．

当且仅当x＝y＝2时，AP取得最大值2．

答：

设计AM＝AN＝2km时，工厂产生的噪声对居民的影响最小．………………………………14分

18．

（1）解：

由题意得解得c＝1，a2＝2，所以b2＝a2－c2＝1．

所以椭圆的方程为＋y2＝1．…………………………………………2分

（2）因为P（0，1），F1（－1，0），所以PF1的方程为x－y＋1＝0．

由解得或所以点Q的坐标为（－，－）．……………………4分

解法一：

因为kPF·kPF＝－1，所以△PQF2为直角三角形．……………………6分

因为QF2的中点为（－，－），QF2＝，

所以圆的方程为（x＋）2＋（y＋）2＝．……………………8分

解法二：

设过P，Q，F2三点的圆为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，

则解得

所以圆的方程为x2＋y2＋x＋y－＝0．…………………………………………8分

（3）设P（x1，y1），Q（x2，y2），则＝（x1＋1，y1），＝（－1－x2，－y2）．

因为＝λ，所以即

所以解得x2＝．…………………………………………12分

所以·＝x1x2＋y1y2＝x2（－1－λ－λx2）－λy＝－x22－（1＋λ）x2－λ

＝－（）2－（1＋λ）·－λ＝－（λ＋）．…………………………………………14分

因为λ∈[，2]，所以λ＋≥2＝2，当且仅当λ＝，即λ＝1时，取等号．

所以·≤，即·最大值为．…………………………………………16分

19．解：

（1）当a＝2，b＝1时，f（x）＝（2＋）ex，定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞）．

所以f′（x）＝ex．…………………………………………2分

令f′（x）＝0，得x1＝－1，x2＝，列表

x

（－∞，－1）

－1

（－1，0）

（0，）

（，＋∞）

f′（x）

－

－

f（x）

↗

极大值

↘

↘

极小值

↗

由表知f（x）的极大值是f（－1）＝e－1，f（x）的极小值是f（）＝4．……………………………………4分

（2）①因为g（x）＝（ax－a）ex－f（x）＝（ax－－2a）ex，

当a＝1时，g（x）＝（x－－2）ex．

因为g（x）≥1在x∈（0，＋∞）上恒成立，

所以b≤x2－2x－在x∈（0，＋∞）上恒成立．…………………………………………8分

记h（x）＝x2－2x－（x＞0），则h′（x）＝．

当0＜x＜1时，h′（x）＜0，h（x）在（0，1）上是减函数；

当x＞1时，h′（x）＞0，h（x）在（1，＋∞）上是增函数．

所以h（x）min＝h

（1）＝－1－e－1．

所以b的最大值为－1－e－1．…………………………………………10分

②因为g（x）＝（ax－－2a）ex，所以g′（x）＝（＋ax－－a）ex．

由g（x）＋g′（x）＝0，得（ax－－2a）ex＋（＋ax－－a）ex＝0，

整理得2ax3－3ax2－2bx＋b＝0．

存在x＞1，使g（x）＋g′（x）＝0成立，

等价于存在x＞1，2ax3－3ax2－2bx＋b＝0成立．…………………………………………12分

因为a＞0，所以＝．

设u（x）＝（x＞1），则u′（x）＝．

因为x＞1，u′（x）＞0恒成立，所以u（x）在（1，＋∞）是增函数，所以u（x）＞u

（1）＝－1，

所以＞－1，即的取值范围为（－1，＋∞）．…………………………………………16分

20．解：

（1）因为a3，a4，a5成等差数列，设公差为d，则a3＝3－2d，a4＝3－d．

因为a2，a3，a4成等比数列，所以a2＝＝．…………………………………………3分

因为a2＝1，所以＝1，解得d＝2，或d＝．

因为an＞0，所以d＝．

因为a1，a2，a3成等差数列，所以a1＝2a2－a3＝2－（3－2d）＝．…………………………………5分

（2）证法一：

因为a2n－1，a2n，a2n＋1成等差数列，a2n，a2n＋1，a2n＋2成等比数列，

所以2a2n＝a2n－1＋a2n＋1，①a＝a2na2n＋2．②

所以a＝a2n－2a2n，n≥2．③

所以＋＝2a2n．

因为an＞0，所以＋＝2．…………………………………………7分

即数列{}是等差数列．

所以＝＋（n－1）（－）．

由a1，a2及a2n－1，a2n，a2n＋1是等差数列，a2n，a2n＋1，a2n＋2是等比数列，可得a4＝．

所以＝＋（n－1）（－）＝．

所以a2n＝．所以a2n＋2＝．…………………………………10分

从而a2n＋1＝＝．

所以a2n－1＝．

①当n＝2m，mN*时，

－＝－＝－

＝－＜0．…………………………………………14分

②当n＝2m－1，mN*，m≥2时，

－＝－＝－

＝－＜0．

综上，对一切n∈N*，n≥2，有＜．…………………………………………16分

证法二：

①若n为奇数且n≥3时，则an，an＋1，an＋2成等差数列．

因为－＝＝＝－≤0，

所以≤．

②若n为偶数且n≥2时，则an，an＋1，an＋2成等比数列，所以＝．

由①②可知，对任意n≥2，n∈N*，≤≤…≤．

又因为－＝－＝＝－，

因为a1＜a2，所以－＜0，即＜．

综上，＜．

南京市2014届高三年级第二次模拟考试

数学附加题参考答案及评分标准2014.03

说明：

1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．

2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

4．只给整数分数，填空题不给中间分数．

21．【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

A．选修4—1：

几何证明选讲

解：

（1）因为AE与圆相切于点A，所以∠BAE＝∠ACB．

因为AB＝AC，所以∠ABC＝∠ACB．

所以∠ABC＝∠BAE．

所以AE∥BC．因为BD∥AC，所以四边形ACBE为平行四边形．…………………………………4分

（2）因为AE与圆相切于点A，所以AE2＝EB·（EB＋BD），即62＝EB·（EB＋5），解得BE＝4．

根据

（1）有AC＝BE＝4，BC＝AE＝6．

设CF＝x，由BD∥AC，得＝，即＝，解得x＝，即CF＝．………………………10分

B．选修4—2：

矩阵与变换

解：

（1）由题意，得＝2，即

解得a＝2，b＝4．

所以A＝．………………………………………5分

（2）解法一：

A＝，即＝，

所以解得………………………………………10分

解法二：

因为A＝，所以A－1＝．………………………………………7分

因为A＝，所以＝A－1＝＝．

所以………………………………………10分

C．选修4—4：

坐标系与参数方程

解法一：

以极点为坐标原点，极轴为x轴建立直角坐标系，

则曲线＝2cosθ的直角坐标方程为（x－1）2＋y2＝1，且圆心C为（1，0）．………………………4分

直线θ＝的直角坐标方程为y＝x，

因为圆心C（1，0）关于y＝x的对称点为（0，1），

所以圆心C关于y＝x的对称曲线为x2＋（y－1）2＝1．………………………………………8分

所以曲线＝2cosθ关于直线θ＝（R）对称的曲线的极坐标方程为＝2sinθ．…………………10分

解法二：

设曲线＝2cosθ上任意一点为（′，θ′），其关于直线θ＝对称点为（，θ），

则………………………………………6分

将（′，θ′）代入＝2cosθ，得＝2cos（－θ），即＝2sinθ．

所以曲线＝2cosθ关于直线θ＝（∈R）对称的曲线的极坐标方程为＝2sinθ．…………………10分

D．选修4—5：

不等式选讲

证：

因为|x＋5y|＝|3（x＋y）－2（x－y）|．………………………………………5分

由绝对值不等式性质，得

|x＋5y|＝|3（x＋y）－2（x－y）|≤|3（x＋y）|＋|2（x－y）|

＝3|x＋y|＋2|x－y|≤3×＋2×＝1．

即|x＋5y|≤1．………………………………………10分

22．（本小题满分10分）

解

（1）记“恰有2人申请A大学”为事件A，

P（A）＝＝＝．

答：

恰有2人申请A大学的概率为．………………………………………4分

（2）X的所有可能值为1，2，3．

P（X＝1）＝＝，

P（X＝2）＝＝＝，

P（X＝3）＝＝＝．

X的概率分布列为：

X

1

2

3

P

所以X的数学期望E（X）＝1×＋2×＋3×＝．………………………………………10分

23．解：

（1）因为f

（1）f（4）＝f（4）＋f（4），所以5f

（1）＝10，则f

（1）＝2．……………………………………1分

因为f（n）是单调增函数，

所以2＝f

（1）＜f

（2）＜f（3）＜f（4）＝5．

因为f（n）∈Z，所以f

（2）＝3，f（3）＝4．………………………………………3分

（2）解：

由

（1）可猜想f（n）＝n+1．

证明：

因为f（n）单调递增，所以f（n+1）＞f（n），又f（n）∈Z，

所以f（n+1）≥f（n）+1．

首先证明：

f（n）≥n+1．

因为f

（1）＝2，所以n＝1时，命题成立．

假设n=k（k≥1）时命题成立，即f（k）≥k+1．

则f（k+1）≥f（k）+1≥k+2，即n＝k+1时，命题也成立．

综上，f（n）≥n+1．………………………………………5分

由已知可得f

（2）f（n）＝f（2n）＋f（n+1），而f

（2）＝3，f（2n）≥2n＋1，

所以3f（n）≥f（n+1）＋2n＋1，即f（n+1）≤3f（n）－2n－1．

下面证明：

f（n）＝n+1．

因为f

（1）＝2，所以n＝1时，命题成立．

假设n=k（k≥1）时命题成立，即f（k）＝k+1，

则f（k+1）≤3f（k）－2k－1＝3（k+1）－2k－1＝k＋2，

又f（k+1）≥k＋2，所以f（k+1）＝k＋2．

即n＝k+1时，命题也成立．

所以f（n）＝n+1………………………………………10分