高中数学人教A选修21练习课件第二章圆锥曲线与方程复习总结.docx

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高中数学人教A选修21练习课件第二章圆锥曲线与方程复习总结

知识网络图表

「曲线与方程

r~求曲线（轨迹）的方程

-求两曲线的公共点

_1椭圆

I标准方程

几何性质

图形

圆锥曲线与方程

—|双曲线卜匪刃

抛物线一定义

立线与圆锥曲线的位置关系

标准方程

几何性质一图形

L标准方程

儿何性质一图形丄

相交一圆锥曲线的弦

相切

相离

规律方法总结

一、轨迹方程问题

求轨迹方程的几种常用方法

（1）直接法：

建立适当的坐标系，设动点为（兀，y）,根据几何条件直接寻求兀，y之间的关系式.

（3）定义法:

如果所给几何条件正好符合圆、椭圆、双曲

（2）代入法：

利用所求曲线上的动点与某一已知曲线上的动点的关系，把所求动点转换为已知动点.具体地说，就是用所求动点的坐标x,y来表示已知动点的坐标并代入已知动点满足的曲线的方程，由此即可求得所求动点坐标x,y之间的关系式.

线、抛物线等曲线的定义，则可直接利用这些已知曲线的方程写出动点的轨迹方程.

（4）参数法：

选择一个（或几个）与动点变化密切相关的量作为参数,用参数表示动点的坐标（x,y）,即得动点轨迹的参数方程，消去参数，可得动点轨迹的普通方程.

二、椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程、几何性质

椭圆

双曲线

抛物线

定义

平面内与两个定点、Fi，尸2的距离之和等于常数（大于眄砂）的点的轨迹

平面内与两个定点F1，尸2的距离的差的绝对值等于常数（小于IF02I且大于零）的点的轨迹

平面内与一个定点F和一条定直线仗不经过点F）距离相等的点的轨迹

标准

22

乂一乙一1

方程

（a>b>0）

（a>0,Z?

>0）

2px（p>0）

关系式

cz2—b2=c2

a2+b2=c2

图形

封闭图形

无限延展，但

有渐近线

无限延展，没有

渐近线

对称性

对称屮心为原点

无对称中心

两条对称轴

一条对称轴

顶点

四个

两个

一个

离心率

e仝,且

a

0

尸二且

a

e>l

e=l

决定形状

的因素

e决定扁

平程度

e决定开

口大小

2p决定开口大小

三、待定系数法求圆锥曲线的标准方程

（1）椭圆、双曲线的标准方程

求椭圆、双曲线的标准方程包括“定位”和“定量”两方面，一般先确定焦点的位置，再确定参数.当焦点位置不确定时，要分情况讨论，也可将方程设为一般形式：

椭圆方程为A?

+By2=l（A>0,B>0,其中当*>£时，焦点在兀轴上，当

|时，焦点在y轴上;双曲线方程为缶2+时=1（佔<0）,当

AvO时，焦点在y轴上，当BvO时，焦点在x轴上.

另外，在求双曲线的标准方程的过程中，根据不同的已知条件采取相应方法设方程，常常可以简化解题过程，避免出

22

错.女小与已知双曲线^2-p=l（6/>0,b>0）共渐近线的双曲线

22

方程可设为务一缶=久（2工0）；已知所求双曲线为等轴双曲线，其方程可设为亍=2（久工0）.

（2）抛物线的标准方程

求抛物线的标准方程时，先确定抛物线的方程类型，再由条件求出参数P的大小.当焦点位置不确定时，要分情况讨论,也可将焦点在兀轴或y轴上的抛物线方程设为一般形式护=2px（p工0）或/=2py（p丰0）,然后建立方程求出参数〃的值.

四、求离心率的方法

（1）定义法：

由椭圆（双曲线）的标准方程可知，不论椭

曲线）的焦点在X轴上还是在y轴上都有关系式a2-b2=c2（a2-\-b2=

c?

）以及e=~.^知其中的任意两个参数，可以求其他的参数.这是基本且常用的方法.

（2）方程法：

建立参数°与c之间的齐次关系式，从而求出其

离心率.这是求离心率的十分重要的思路及方法.

（3）

平面几何性质以及椭

（双曲线）的定义、几何性质，建立参数之

几何法：

求与过焦点的三角形有关的离心率问题，根据

间的关系，通过画出图形，观察线段之间的关系，使问题更形象、直观.

五、直线与圆锥曲线的位置关系

（1）直线与圆锥曲线问题，是高考对圆锥曲线考查的重点和难点，也是历年考查的热点，是每年高考试卷上都会出现的一个知识点.直线与圆锥曲线问题包括两大类：

①直线与圆锥曲线位置关系的判定；②直线与圆锥曲线相交而产生的弦长问题、中点问题、范围问题、最值问题等.

（2）这类问题往往综合性强，注重与一元二次方程中的根的判别式、根与系数的关系、函数的单调性、不等式、平面向量等知识综合.分析这类问题，往往利用“数形结合”的思想方法，或“设而不求”的方法求解.

热点问题归纳

UAg■圆锥曲线的定义、方程及性质

对于圆锥曲线的有关问题，要有运用圆锥曲线定义解题的意识，“回归定义”是一种重要的解题策略•如：

（1）在求轨迹方程时，若所求轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据圆锥曲线的定义，写出所求的轨迹方程；

（2）涉及椭圆、双曲线上的点与两个焦点构成的三角形问题

时，常用定义结合解三角形的知识来解决;

（3）在求有关抛物线的最值问题时，常利用定义把到焦点的距离转化为到准线的距离，结合几何图形，利用几何意义去解决.

总之，圆锥曲线的定义、性质在解题中有重要作用，要注

意灵活运用.

22

例1

（1）已知Fi、

如果在椭圆上有一点Q,使ZFiQF2=60。

，试求椭圆的离心率的取值范围.

[2013-北京东城一模]如图所示，直线h与乙相交于点M,厶丄仏，点NEl\,以4、B为端点的曲线段C上的任一点到“的距离与到点N的距离相等.若△4MN为锐角三角形，\AM\=V17,IANI=3,且\NB\=6.建立适当的坐标系，求曲线段C的方程.

［思路分析］

（1）利用椭圆的几何性质及余弦定理，构造岀

",C的不等式，即可求得e的范围；

（2）建立适当坐标系，利用曲线段C上任一点到仏的距离与到点N的距离相等，可求得曲线段C的方程.

⑴［完美作答］解法一：

设\QFx\=m,\QF^=n.则由椭圆定义知m+n=2a.

在△F］0F2中，由余弦定理，得

旧尸2卩=10戸卩+10尸2|2—2・l0Fil・l0F2l・cos6O。

.

4c2=m+斤2—mn.①

由m-\~n=2a两边平方得

46/2=m2+n2+2mn,②

由②一①得4a?

—4（?

2—3mn,

m>0,n>09且m-\~n=2a9

m+ri

•:

肋w（—）2=/（当且仅当m=n时等号成立）.

/.AcT—4c2=3mnW3cT.

«2^4c2,卡上扌.

・：

e吗.

TOvevl,

故椭圆的离心率的取值范围为e諾，1）.

解法二：

设椭圆与y轴相交的上顶点为艮则不难看出ZF\BF22ZF\QF2=60。

•••ZF1BO230。

.

\OFX\

\FXB\

=cosZBFQ三㊁.

•••ZBFQW60。

.

⑵［完美作劄以厶为兀轴，乙为y轴建立平面直角坐标系,

M为坐标原点•作丄h，ad丄”，BFAJ2,垂足分别为E、

D、F・设心，％）,B（xb，咖，N（xn,®・

依题意有=\ME\=\DAI=IAA^l=3,

%=\DM\=^JlAMI2—IDAI2=2边.

*.*ZVIMN是锐角三角形，

:

.xn=\ME\+\EN\

=\ME\-\-\j\AN\2-\AE\2=4,

Xg=\BF\=\BN\=6.

设P（x,y）是曲线段C上任一点，

则PG{（x,J；）I（x—x/v）2+y2=x2,心£兀0畑V>0}・•••曲线段C的方程为y2=8（x—2）（3WxW6,y>Q）.

[2吟点睛]

（1）求离心率的范围问题是圆锥曲线中求范围问题的重点内容之一，其主要解题思路是：

利用圆锥曲线的几何性质以及构造出含"、b、c或e的不等式或数量关系式，再利用函数或不等式的知识求结果.

（2）①解决轨迹问题要明确圆锥曲线的性质，做好对图形变化情况的总体分析，选好相应的解题策略和拟定好具体的方法，注意将动点的几何特性用数学语言表述•，②要注意一些轨迹问题所包含的隐含条件，也就是曲线上点的坐标的取值范围.

【2】

器直线与圆锥曲线的位置关系

Wi

三由于运算量大,

有些同学不得不放弃,

从而造成遗憾.

实际

直线与圆锥曲线的位置关系综合题，往往因综合性强，难度偏大，从而使很多同学遇到圆锥曲线题后感到无从下手，因此有些同学选择对其置之不理，先将其他题目完成后再做圆锥曲线题（考试过程中），这样一由于时间紧张，二由于无从下手,

上直线与圆锥曲线综合题的求解是有一定的规律可循的，如下规律不妨试一试，共分六步，每步都有一定的步骤得分，因此要求步骤要全且规范，争取做到能得分且得分.

（1）引参，设直线或圆锥曲线方程，并设直线与

锥曲线交

点坐标，女C1A（X1,刃），B（X2,歹2）・

（2）将直线方程与圆锥曲线方程联立方程组，消去y（或兀）得到

关于双或y）的方程心）=0（或/00=0）・此方程可能是一元二次方程，也可能是二次项系数含参的一元二次方程（这种情况应注意对二次项系数的讨论），然后列岀/>0及根与系数的关系.

（3）试用A（%i，刃）与B（%2,力）的坐标羽、力、兀2、力表示题中条件，得条件式（*）.

（4）利用点A、B在直线上，将条件式（*）中坐标进行统一，都转化为关于羽，也（或力，力）的条件式（*）'•

（5）对第二步应用根与系数的关系整体代入条件（*）',求参或其他.

（6）与/>0联系验证求解结果或其他.

[2014-辽宁高考]圆x2+/=4的切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为F（如图）.

（2）焦点在x轴上的椭

C过点P,且与直线/：

y=x+羽交于

⑴求点戶的坐标;

A,B两点.若△B4B的面积为2,求C的标准方程.

［思路分析］本题考查圆的切线方程、基本不等式、椭圆方程、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查函数与方程思想及考生的运算求解能力、推理论证能力.

（1）使用点F的坐标表达切线方程，然后使用点F的坐标表示三角形的面积，利用点F

时的条件，解出点P的坐标;

（2）设出椭

方程，根据已知条件

的坐标满足圆的方程和基本不等式得出三角形面积取得最小值

得出椭圆方程中的系数满足的方程，解方程得出椭圆方程中的系数即得C的标准方程.

［完美作答］

（1）设切点坐标为（兀0，为）（也＞0,为＞0）,贝I」切线斜率为一学，切线方程为y—为=—卫（兀一兀0），即x（^+y（）y=4，此

J0『0

时，两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形面积为

乙兀0yo

8

由怎+応=4三2xoyo知当且仅当x0=y0=-\［2时幼o有最大值，即S有最小值，因此点P的坐标为（辺，边）.

2

（2）设C的标准方程为卡+

2

¥=l（u>/?

>0）,

点yi）,

r22

22笃+笃=1

B（X2,丁2）・由点尸在c上知r+并由］db得/?

2/+

"b［尸Z

Xl+X2=-^

6—2Z?

2

4a/3x-\~6—2b2=0,又兀1，%2是方程的根，因此

•由％=%i+^3,歹2=兀2+羽，得L4BI=a/2Ix!

—

兀1兀2=—沪—

X2、=&・

#48—24F+8Z?

b2

由点P到直线伯勺距离为

XIABI=2得沪一

9Z?

2+18=0,解得F=6或3，因此b2=69a2=3（舍）或b2=3,a

22

=6•从而所求C的方程为1・

[2吟点睛]

求解二元最值问题的基本方法之一是基本不等式法，此时需要知道变量满足的关系式（本题中为+歹纟=4）;求解圆锥曲线方程的基本方法之一是待定系数法，即得出曲线方程中的系数满足的方程或者方程组，求解即可.

M：

r\【3】

11圆锥曲线中的定点与定值问题

解决定点与定值问题应灵活应用已知条件巧设变量，在变形过程中要注意各变量之间的关系，善于捕捉题目信息，注意消元思想的应用.

上.

（2）设尺，F2分别是椭圆E的左、右焦点，P为椭

（1）若椭圆E的焦距为1，求椭圆E的方程;

象限内的点，直线F?

P交y轴于点0,并且FiP丄戸0•证明：

当a变化时，点F在某定直线上.

［思路分析］

（1）利用焦距为1，代入/—C2=b2求岀即可求出椭圆方程；⑵利用P点在椭圆上以及丄尺0,求出P点坐标，再代入直线方程可以发现点在线上.

［完美作答］⑴因为焦距为1，所以2a2~1=^解得a2=l，故椭圆E的方程为峯+罟7（利用公式a~c2=b2）

（2）设P（xo，yo）,F］（—c,0）,F2（c,0）,其中c=#2c?

—1.由题设知x（）^c,则直线FiP的斜率kFxP=^j^c，直线尸2尸的斜率（利用斜率公式比三丛）

XqC%2X］

故直线F?

P的方程为『=-^（x-c）・（利用直线的点斜式方程）Xo—C

/、

当兀=0时，『=学，即点0坐标为0,t・

C%0\C兀0丿

因此，直线F10的斜率kFxQ=^z~.｛利用斜率公式J21）

C—%oX2X\

由于Ff丄FiQ,所以kFlP-kFlQ=-y^---^~=-l.

AQICCAQ

将①代入椭

解得比=/，旳=1_几

化简得£=并一（2，—1）・①（利用两直线垂直的充要条件）

由于点PSo,沟）在第一象限，即点P在定直线x+y=l上・（解方程）

—［络畀点睛］

定点与定值问题是高考的热点之一，考生在做题时应灵活应用已知条件，善于寻找题目中的隐含信息.

22

如右图，在椭圆”缶=1心＞0）上取点P、0使ZPOQ

71求证：

爲+為二++£•

［思路分析］要求为定值，可考虑求出p、Q点、

坐标，再求1。

円2与\OQ\\为此需要设两直线方程.

［完美作答］若点P、0在坐标轴上，结论显然成立;若点P、0不在坐标轴上，则可设直线OP方程为y=kx,①

则O0的方程为尸一石.

程有洁

b2+a]｝，

乂设P、0点坐标分别为（兀1，『1）、（兀2，力），将①代入椭圆方

#=#+A:

2%!

=（1+^2）%i

t/2Z?

2（l+Z:

2）

b2a2k2•

/，（i+q）t/W2+i）

甜3%+述厂E

同样方法可得

•11_11_b1+a]}b1^+a

\OP\2lOQpxf+yi於+£a2b2（l+Z:

2）«2Z?

2（1+^2）

（tT+b）（1+£）

«2Z?

2（1+疋）

d1丄1_1丄1

卞上：

IOP|2+|O0|2—/+戸.

［络畀点睛］

根据OP丄O0及斜率关系，直接求出IOPI与IO0I,在计算过程中消元达到证明定值的目的.与圆锥曲线有关的定点与定值问题的处理方法：

（1）

（2）直接推理、计算，

并在计算过程中消去变量，从而得到

从特殊入手，求出定点或定值，再证明这个点（值）与变量无关.

定点（定值）.

詈3【4】

厂匸呛•圆锥曲线中的最值（或范围）问题

1.最值问题的求解方法

（1）建立函数模型，利用二次函数、三角函数的有界性求最值或利用导数法求最值.

（2）建立不等式模型，利用基本不等式求最值.

（3）数形结合，利用相切、相交的几何性质求最值.

2•求参数范围的常用方法

例5[2014-北京高考]已知椭圆C：

x2~h2y2=4.

（1）求椭圆C的离心率;

（2）设O为原点.若点4在直线y=2上，点B在椭圆C上，且

04丄05求线段4B长度的最小值.

［思路分析］本题考查椭圆方程、椭圆的简单几何性质、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查函数与方程思想，化归

题和解决问题的能力.

（1）根据椭

方程求出sC即得；

（2）利用

与转化思想，考查考生的运算求解能力、综合运用知识分析问

点B的坐标表示点4的坐标，利用点〃在椭圆上，建立4B的长度关于点B坐标的函数，求解函数的最小值.

［完美作答］

所以"2=4,

因此a=2,

22

⑴由题意，椭圆C的标准方程为才+亍=1・

b2=2,从而＜?

=6?

—尸=2・

c=返故椭圆C的离心率2-

（2）设点人B的坐标分别为（Z,2）,%yo）9其中勿工0・

因为04丄OB，所以O4・OB=0,即爼）+2旳=0,解得/=一

兀0

乂+2yo=4，所以

L4bF=（x0—02+（yo—2）2

2（4—谕|

2十4无0

=4时等号成立，所以

W4）,且当兀

2O

<¥

（0

4（

>-

82%

+

2迪2

为

因

f°+h+®—2）2

4V4

4

2O

V-

+

2也

-

故线段43长度的最小值为20.

—［络畀点睛］

解析几何中求解最值问题的基本方法之一是函数方法，即建立求解目标的函数关系（自变量可以是直线的斜率、点的横坐标等），然后通过研究函数的性质得出函数的最值.

™J5]

s圆锥曲线中的存在性问题

1.解决存在性问题的关注点

求解存在性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确，则存在；若结论不正确，则不存在.

（1）当条件和结论不唯一时要分类讨论.

（2）当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再

推出条件.

2.存在性问题的解题步骤

22

例6[2013-江西高考]如图，椭圆C：

^2+^2=1（6/>Z?

>0）经过

2）

（1）求椭圆（?

的方程；

（2）43是经过右焦点F的任一弦（不经过点P）,设直线AB与直线/相交于点M,记B4,PB,PM的斜率分别为b，k2,為.问：

是否存在常数儿使得血+局=炯？

若存在，求久的值；若不存在，说明理由.

［思路分析］⑴由点尸在椭圆上，e=|以及a2=b2+c2可列出关于"，b,c的方程组，解之即可确定椭圆的方程.

（2）思路1：

设出直线的方程，联立直线4B与椭圆方程，借助根与系数的关系和点4,F,B三点共线，求得人+他，ks，从而得到b+他=2居，即存在久=2符合题意；思路2：

设B（x（）,y°）,求出直线FB的方程，进一步求得点M的坐标及直线PM的斜率為，联立直线FB与椭圆方程，求出点A的坐标，从而求出山，k2,于是便可得出k］+A：

2=2Z：

3.

（3）

［完美作答］⑴由屮，刖在椭圆上得,

》+討1'①

依题设知a=2c,则b2=3c2,②

②代入①，解得c2=l,/=4,；=3.

22

故椭圆C的方程为才+葺=1・

（2）解法一:

由题意可设的斜率为匕

则直线佔的方程为丁=心一1），③

代入椭

方程3x2~b4y2=12?

并整理,得（4Z?

+3）/—8^3+

4伙彳一3）=0.

设Ag门），B（X2,『2），则有

在方程③中令x=4,得M的坐标为（4,3Q・

3373

yi~2y2~23k~21

从而匕=戶，他=戶，k3=7^r=k~T

注意到4,F,B共线，则有k=kAF=kBF,即有*7=」^

X]1兀21

=k.

33

Ji_2旳―㊁

所以人+灼二云二r+云二T

yi3

1

兀2一12

“一1

十+

%1—1

+十

疋―1丿

X]+x2—2

"I—2）+「

3

④代入⑤得b+k2=2二鼻伙2_3）

8k2_

4?

+32

=2k—\,

4k+—4疋+3十1

又ks=k—亍，所以b+他=2比3•故存在常数2=2符合题意・

解法二：

设BE为）（丸工1），

则直线的方程为丁=V（x—1），兀0—1

令兀=4,求得

从而直线PM的斜率为心=

2y°—xo+l

2（兀0一1）

联立

Jo

5兀（）一8

2%o一5

则直线的斜率为紡=叮叮5,直线的斜率为他=

4M）—1丿

2为_3

所以叶局=牛二空兰+甞匚注

2（兀（）一1）'2（兀（）_1）丸_1

2（x0—iy

故存在常数久=2符合题意.

—［络畀点睛］

⑴中仔细审题，找到"，b,C的关系即可求解；

（2）中两种思路各有千秋，由于引入的参变量不同，导致解题思路不同，这就要求考生在解题时要学会恰当地引入参变量以简化解题过程.

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