高考全国3卷理科数学试题与答案.docx
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高考全国3卷理科数学试题与答案
2017年普通高等学校招生全国统一考试(全国)
理科数学
(试题及答案解析)
一、选择题:
(本题共12小题,每小题5分,共60分)
1.已知集合A
(x,y)x2
y2
1,B
(x,y)yx,则A
B中元素的个数为()
A.3
B.2
C.1
D.0
【答案】B
2
2
1上所有点的集合,B表示直线y
x上所有点的集合,
【解析】A表示圆x
y
故A
B表示两直线与圆的交点,由图可知交点的个数为
2,即AB元素的个数
为2,故选B.
2.设复数z满足(1i)z
2i,则z
()
1
B.
2
C.2
D.2
A.
2
2
【答案】C
2i
2i
1
i
2i2
12
2,故选C.
【解析】由题,z
1
i
1i
i1,则z12
1i
2
3.某城市为了解游客人数的变化规律,提高旅游服务质量,收集并整理了
2014年1月至
2016年12月期间月接待游客量(单位:
万人)的数据,绘制了下面的折线图.
根据该折线图,下列结论错误的是
A.月接待游客量逐月增加
B.年接待游客量逐年增加
C.各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月份
1
D.各年1月至6月的月接待游客量相对
7月至12月,波动性更小,变化比较平稳
【答案】A
【解析】由题图可知,
2014年8月到9月的月接待游客量在减少,则
A选项错误,故选A.
4.(xy)(2x
y)5
的展开式中x3y3
的系数为()
A.
B.
C.40
D.
80
【答案】C
【解析】由二项式定理可得,原式展开中含
x
3
y
3的项为
x
2
2x
2
3
y
3
3
2
40x
3
3
3
3
C5
y
C52x
y
y
,则xy的系数为40,故选C.
2
2
5x,且与椭圆
5.已知双曲线
C:
x2
y2
1(a
0,b
0
)的一条渐近线方程为
y
x2
y2
a
b
2
1
有公共焦点.则
C的方程为()
12
3
A.x2
y2
1
B.x2
y2
1
C.x2
y2
1
D.x2
y2
1
8
10
4
5
5
4
4
3
【答案】B
【解析】∵双曲线的一条渐近线方程为
y
5
x,则b
5①
又∵椭圆x2
y2
2
a
2
1
与双曲线有公共焦点,易知
c
3
,则a
2
b
2
c
2
9
②
12
3
x2
y2
由①②解得a2,b
5,则双曲线C的方程为
1,故选B.
4
5
6.设函数f(x)
π
cos(x
),则下列结论错误的是()
3
8π
A.f(x)的一个周期为
2π
B.yf(x)的图像关于直线x
对称
3
C.f(x
π
π
)的一个零点为x
D.f(x)在(,π)单调递减
【答案】D
6
2
【解析】函数f
xcosx
π的图象可由y
cosx向左平移π个单位得到,
3
3
如图可知,fx
在π,π上先递减后递增,D选项错误,故选D.
2
y
-Ox
6
7.执行右图的程序框图,为使输出S的值小于91,则输入的正整数N
的最小值为()
A.5
B.4
C.3
D.2
2
【答案】D
【解析】程序运行过程如下表所示:
S
M
t
初始状态
0
100
1
第1次循环结束
100
10
2
第2次循环结束
90
1
3
此时S9091首次满足条件,程序需在
t3时跳出循环,即N
2为满足条件的
最小值,故选D.
8.已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为()
A.π
B.
3π
π
π
4
C.
D.
【答案】B
2
4
1
2
【解析】由题可知球心在圆柱体中心,圆柱体上下底面圆半径
2
3
,
r1
2
2
则圆柱体体积
V
π
2
3π
r
h
,故选B.
4
9.等差数列an的首项为1,公差不为0.若a2,a3,a6成等比数列,则
an
前6项的和
为()
A.24
B.3
C.3
D.8
【答案】A
【解析】∵an
为等差数列,且
a2,a3,a6
成等比数列,设公差为
d.
则a32
a2a6,即a1
2d
2
a1
da1
5d
又∵a1
1,代入上式可得
d2
2d
0
又∵d
0,则d
2
∴S6
6a1
6
5
d1
6
6
5
2
24,故选A.
2
2
2
2
x
y
ab0
A1
A2
A1A2
10.已知椭圆C:
a2
b2
1(
)的左、右顶点分别为
,
,且以线段
为直
径的圆与直线bx
ay
2ab
0相切,则C的离心率为()
A.
6
B.
3
C.
2
1
3
3
D.
3
3
【答案】A
【解析】∵以A1A2为直径为圆与直线
bx
ay
2ab
0相切,∴圆心到直线距离
d等于半径,
∴d
2ab
a
2
2
a
b
3
又∵a
0,b
0,则上式可化简为
a2
3b2
∵
b
2
a
2
c
2,可得a2
3a2
c2
,即c2
2
a2
3
∴e
c
6,故选A
a
3
11.已知函数
f(x)x
2
2x
a(ex1
ex1
)有唯一零点,则a
()
1
1
1
A.2
B.3
C.2
D.1
【答案】C
【解析】由条件,
f(x)
2
2x
x1
e
x
1
x
a(e
),得:
f(2
x)
(2
x)2
2(2
x)
a(e2x
1
e(2x)
1)
x2
4x
44
2x
a(e1
x
ex1)
2
2x
x1
e
x
1
x
a(e
)
∴f(2
x)
f(x),即x
1为f(x)的对称轴,
由题意,f(x)有唯一零点,
∴f(x)的零点只能为x
1,
即f
(1)
12
21a(e11
e11)
0,
解得a
1
.
2
12.在矩形ABCD中,AB
1,AD
2,动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若
AP
AB
AD,则
的最大值为()
y
A.3
B.2
2
Pg
C.
5
D.2
B
C
【答案】A
【解析】由题意,画出右图
.
设BD与
C切于点E,连接CE.
E
以A为原点,AD为x轴正半轴,
x
A(O)
D
AB为y轴正半轴建立直角坐标系,
则C点坐标为(2,1).
∵|CD|1,|BC|2.
2
2
.
∴BD1
25
∵BD切C于点E.∴CE⊥BD.
∴CE是Rt△BCD中斜边BD上的高.
1
|BC||CD|
2S△BCD
2
2
2
2
|EC|
|BD|
5
5
|BD|
5
即C的半径为2
5.
5
∵P在C上.
∴P点的轨迹方程为
(x2)2
(y1)24
5.
设P点坐标(x0,y0),可以设出
P点坐标满足的参数方程如下:
4
2
x025cos
2
y015sin
而AP
(x0,y0),AB
(0,1),AD
(2,0)
.
∵AP
AB
AD
(0,1)
(2,0)
(2
)
∴
1
1
5
,
y0
1
2
5sin.
x0
5
cos
5
2
两式相加得:
1
2
5sin
1
5cos
5
5
2
(
2
5
)2
(
5
)2sin(
)
5
5
2
sin(
)≤3
(其中sin
5,cos
2
5)
5
5
当且仅当
π
2kπ
,k
Z时,
取得最大值3.
2
二、填空题:
(本题共
4小题,每小题5分,共20分)
x
y≥0,
13.若x,y满足约束条件x
y2≤0,则z
3x4y的最小值为________.
y≥0,
【答案】1
【解析】由题,画出可行域如图:
目标函数为z3x
4y,则直线
3
z
z值越小.
yx
纵截距越大,
由图可知:
z在A1,1
4
4
处取最小值,故zmin3141
1.
x
y20
y
A
(1,1)
Bx
(2,0)
xy0
14.设等比数列
an
满足a1
a21,a1a3
3,则a4________.
【答案】8
【解析】
an
为等比数列,设公比为
q.
a1
a2
1
a1
a1q
1①
a1
a3
3,即a1
a1q2
3②,
显然q
1,a10,
②
得1
q
3,即q
2,代入①式可得a11,
①
5
a4
a1q3
1
3
8.
2
f(x)
x
1,x≤0,
f(x
1
1
15.设函数
2x,x
0,
则满足f(x)
)
的x的取值范围是________.
2
【答案】
1,
4
【解析】f
x
x
1,x
≤0
,f
x
f
x
1
1
1
1fx
2x
x
0
2
,即fx
2
由图象变换可画出
y
f
x
1
与y
1
f
x的图象如下:
2
y
y
f(x1)
2
(1,1)
4
4
x
1
1
2
2
y
1
f(x)
由图可知,满足fx
1
1
1fx的解为
.
2
4
16.a,b为空间中两条互相垂直的直线,等腰直角三角形
ABC的直角边AC所在直线与
a,b都垂直,斜边①当直线AB与a成②当直线AB与a成
AB以直线AC为旋转轴旋转,有下列结论:
60角时,AB与b成30角;
60角时,AB与b成60角;
③直线AB与a所成角的最小值为45;
④直线AB与a所成角的最大值为60.
其中正确的是________(填写所有正确结论的编号)
【答案】②③
【解析】由题意知,a、b、AC三条直线两两相互垂直,画出图
形如图.
不妨设图中所示正方体边长为1,
故|AC|1,AB2,
斜边AB以直线AC为旋转轴旋转,则A点保持不变,
B点的运动轨迹是以C为圆心,1为半径的圆.
以C为坐标原点,以CD为x轴正方向,CB为y轴正方向,
CA为z轴正方向建立空间直角坐标系.
则D(1,0,0),A(0,0,1),
直线a的方向单位向量a
(0,1,0),|a|
1.
B点起始坐标为(0,1,0),
直线b的方向单位向量b
(1,0,0),|b|1
.
设B点在运动过程中的坐标
B(cos,sin
0),
其中为BC与CD的夹角,
[0,2π).
那么AB'在运动过程中的向量
AB(cos
sin,1),|AB|2.
设AB与a所成夹角为
[0,
π
],
2
6
则cos
故
设AB
(cos,sin,1)(0,1,0)
2|sin
|[0,
2].
aAB
2
2
ππ
[,],所以③正确,④错误.
42
与b所成夹角为
π
[0,],
2
ABb
cos
bAB
(
cos
sin
1)(1,0,0).
bAB
2
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