第03讲 乘法公式和因式分解 届中考数学专项精题训练.docx
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第03讲乘法公式和因式分解届中考数学专项精题训练
第03讲乘法公式和因式分解
一、乘法公式和因式分解题目的基本思路
乘法公式和因式分解是互逆的两种题目,学生开始容易搞错了,错误的原因主要是对于两种结果的判定,乘法是一种运算,而因式分解的结果是乘积的形式,对于公式尤以完全平方公式和平方差公式为重点。
例1、已知x3+y3﹣z3=96,xyz=4,x2+y2+z2﹣xy+xz+yz=12,则x+y﹣z=( )
A.6B.7C.8D.9
【答案】D.
【解析】先对x3+y3﹣z3+3xyz分解因式,得到(x+y﹣z)与已知条件的积的形式,然后代入数据进行计算即可求解.
【详解】解:
x3+y3﹣z3+3xyz,
=[(x+y)3﹣3x2y﹣3xy2]﹣z3+3xyz,
=[(x+y)3﹣z3]﹣(3x2y+3xy2﹣3xyz),
=(x+y﹣z)[(x+y)2+(x+y)z+z2]﹣3xy(x+y﹣z),
=(x+y﹣z)(x2+2xy+y2+xz+yz+z2﹣3xy),
=(x+y﹣z)(x2+y2+z2﹣xy+xz+yz),
∵x3+y3﹣z3=96,xyz=4,x2+y2+z2﹣xy+xz+yz=12,
∴96+3×4=12(x+y﹣z),
解得x+y﹣z=9.
故选:
D.
例2、若4x2+kxy+9y2是一个完全平方式,则k的值为 .
【答案】±12
【解析】利用完全平方公式的结构特征判断即可求出k的值.
【详解】解:
∵4x2+kxy+9y2是一个完全平方式,
∴k=±12,
故答案为:
±12
例3、已知a+b=3,ab=﹣10.求:
(1)a2+b2的值;
(2)(a﹣b)2的值.
【解析】此题考查了完全平方公式,熟练掌握公式是解本题的关键.
(1)将a+b=3两边平方,利用完全平方公式展开,把ab的值代入计算即可求出所求式子的值;
(2)利用完全平方公式变形,将a+b与ab的值代入计算即可求出值.
【详解】解:
(1)将a+b=3两边平方得:
(a+b)2=a2+b2+2ab=9,
把ab=﹣10代入得:
a2+b2=29;
(2)(a﹣b)2=(a+b)2﹣4ab=29+20=49.
二、乘法公式和因式分解题目的常见类型
可分为多项式乘法+乘法公式、因式分解+乘法公式、因式分解与乘法的综合、因式分解+整数性质、因式分解+几何图形以及利用乘法找规律。
1、多项式乘法+乘法公式
例4、计算:
(Ⅰ)(2×103)×(3×10﹣3);
(Ⅱ)(a+2)2﹣(a+2)(a﹣2).
【解析】考查了单项式乘单项式和整式的运算能力,解决整式的运算问题则要熟练掌握整式的运算法则、乘法公式以及同类项的合并运算.
(Ⅰ)根据单项式乘单项式的计算法则计算即可求解;
(Ⅱ)涉及整式的运算,主要是运用平方差公式、完全平方公式.
【详解】解:
(Ⅰ)(2×103)×(3×10﹣3)
=(2×3)×(103×10﹣3)
=6;
(Ⅱ)(a+2)2﹣(a+2)(a﹣2)
=a2+4a+4﹣a2+4
=4a+8.
2、因式分解+乘法公式
例5、因式分解
(1)(x﹣3)(x﹣5)+1
(2)(a2+4)2﹣16a2
(3)(y2﹣1)2+6(1﹣y2)+9
(4)2a(x﹣y)2﹣20a(x﹣y)+50a.
【解析】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解,一个多项式有公因式首先提取公因式,然后再用其他方法进行因式分解,同时因式分解要彻底,直到不能分解为止.
(1)先去括号、合并同类项,再利用完全平方公式分解可得;
(2)先利用平方差公式分解,再利用完全平方公式分解可得;
(3)先利用完全平方公式分解,再利用平方差公式分解可得;
(4)先提取公因式2a,再利用完全平方公式分解可得.
【详解】解:
(1)原式=x2﹣8x+16=(x﹣4)2;
(2)原式=(a2+4+4a)(a2+4﹣4a)=(a+2)2(a﹣2)2;
(3)原式=(y2﹣1)2﹣6(y2﹣1)+9
=(y2﹣1﹣3)2
=(y+2)2(y﹣2)2;
(4)原式=2a[(x﹣y)2﹣10(x﹣y)+25]
=2a(x﹣y﹣5)2.
3、因式分解与乘法的综合
例6、阅读:
已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是x+3,求另一个因式及m的值.
解“设另一个因式为x+n,得x2﹣4x+m=(x+3)(x+n)则x2﹣4x+m=x2+(n+3)x+3n
∴
解得
∴另一个因式为x﹣7,m的值为﹣21
问题:
仿照上述方法解答下列问题:
(1)已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是2x﹣5,求另一个因式及k的值.
(2)已知2x2﹣13x+p有一个因式x﹣3,则P= .
【解析】本题考查因式分解的意义,解题的关键熟练运用因式分解法,本题属于基础题型.根据题意给出的方法即可求出答案.
【详解】解:
(1)设另外一个因式为:
x+n
∴(2x2+3x﹣k)=(2x﹣5)(x+n)
∴
∴n=4,k=﹣20
(2)设另一个因式为:
2x+n
∴2x2﹣13x+p=(2x+n)(x﹣3)
∴
∴解得:
故答案为:
(2)27
4、因式分解+整数性质
例7、发现任意五个连续整数的平方和是5的倍数.
验证
(1)(﹣1)2+02+12+22+32的结果是5的几倍?
(2)设五个连续整数的中间一个为n,写出它们的平方和,并说明是5的倍数.
【解析】
(1)计算出算式的结果除以5,即可解答;
(2)设出五个连续整数的中间一个为n,则其余的4个整数分别是n﹣2,n﹣1,n+1,n+2,求出它们的平方和,利用因式分解,即可解答.
【详解】解:
验证
(1)(﹣1)2+02+12+22+32=1+0+1+4+9=15,15÷5=3,
即(﹣1)2+02+12+22+32的结果是5的3倍;
(2)∵五个连续整数的中间一个为n,则其余的4个整数
分别是n﹣2,n﹣1,n+1,n+2,
它们的平方和为:
(n﹣2)2+(n﹣1)2+n2+(n+1)2+(n+2)2
=n2﹣4n+4+n2﹣2n+1+n2+n2+2n+1+n2+4n+4=5n2+10,
∵5n2+10=5(n2+2),
又n是整数,∴n2+2是整数,
∴五个连续整数的平方和是5的倍数.
5、因式分解+几何图形
例8、现有若干张如图1所示的正方形纸片A,B和长方形纸片C.
(1)小王利用这些纸片拼成了如图2的一个新正方形,通过用两种不同的方法计算新正方形面积,由此,他得到了一个等式:
;
(2)小王再取其中的若干张纸片(三种纸片都要取到)拼成一个面积为a2+3ab+nb2的长方形,则n可取的正整数值是 ,并请你在图3位置画出拼成的长方形;
(3)根据拼图经验,请将多项式a2+5ab+4b2分解因式.
【解析】
(1)利用面积相等易得a2+2ab+b2=(a+b)2;
(2)由于有a2+3ab,则a2+3ab+nb2分解为(a+b)(a+2b),因此得到n=2,再画图;
(3)利用面积可分解因式.
【详解】解:
(1)利用面积相等得a2+2ab+b2=(a+b)2;
(2)由于有a2+3ab,则a2+3ab+nb2分解为(a+b)(a+2b),因此得到n=2,
如图:
(3)a2+5ab+4b2=(a+b)(a+4b).
故答案为a2+2ab+b2=(a+b)2;2;a2+5ab+4b2=(a+b)(a+4b).
3、常见题目训练
1.a2+3ab+b2加上( )可得(a﹣b)2.
A.﹣abB.﹣3abC.﹣5abD.﹣7ab
【答案】C.
【解析】本题考查完全平方公式的灵活运用及公式间的相互转化.
【详解】解:
∵(a﹣b)2=a2﹣2ab+b2=a2﹣5ab+3ab+b2,
∴应加上﹣5ab.
故选:
C.
2.若x2﹣16x+m2是一个完全平方式,则m= ;若m﹣
=9,则m2+
= .
【答案】±8;83.
【解析】根据乘积二倍项和已知平方项确定出这两个数,再根据完全平方公式表示出另一个平方项求解即可;
把已知条件直接平方然后整理即可.
【详解】解:
∵x2﹣16x+m2是完全平方式,
∴16x=2×8•x,
∴m2=82,
解得m=±8;
∵m﹣
=9,
∴(m﹣
)2=m2﹣2+
=81,
解得m2+
=81+2=83.
3.因式分解.
(1)﹣25xy2z﹣10y2z2+35y3z.
(2)(a﹣b)2﹣6(b﹣a)+9.
(3)a4b4﹣81.
(4)81x4﹣72x2y2+16y4.
【解析】
(1)根据提公因式﹣5yz因式分解即可求解;
(2)根据完全平方公式因式分解即可求解;
(3)两次根据平方差公式因式分解即可求解;
(4)根据完全平方公式和平方差公式因式分解即可求解.
【详解】解:
(1)﹣25xy2z﹣10y2z2+35y3z=﹣5y2z(5x+2z﹣7y).
(2)(a﹣b)2﹣6(b﹣a)+9=(a﹣b+3)2.
(3)a4b4﹣81.
=(a2b2﹣9)(a2b2+9)
=(ab+3)(ab﹣3)(a2b2+9).
(4)81x4﹣72x2y2+16y4
=(9x2﹣4y2)2
=(3x+2y)2(3x﹣2y)2.
4.已知甲组数据:
1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12;乙组数据:
a1,a2,a3…,an(a1,a2,a3…,an分别是甲组数据中某个数的相反数,且它们各不相同).若a1+a2+a3+…+an=﹣39,则称乙组数据是关于甲组数据的一个“零和数”.
(1)若丙组数据:
﹣1,﹣4,a,b,﹣10,﹣12是关于甲组数据的一个零和数”,且a﹣b=2.求a、b的值;
(2)若丁组数据:
b1,b2,b3,b4关于甲组数据的一个零和数”,不妨设b1最大,b4最小,记|b1﹣b4|=t,求t的最大值.
【解析】
(1)根据“零和数”的定义求出这组数据的和即可得到∴(﹣1)+(﹣4)+a+b+(﹣10)+(﹣12)=﹣39,则a+b=﹣12,结合已知条件求得a、b的值;
(2)采用特殊值法即可解决问题.
【详解】
(1)解:
∵﹣1,﹣4,a,b,﹣10,﹣12是关于甲组数据的一个“零和数”,
∴(﹣1)+(﹣4)+a+b+(﹣10)+(﹣12)=﹣39
∴a+b=﹣12.
∵a﹣b=2,
∴a=﹣5,b=﹣7.
(2)解:
∵b1,b2,b3,b4是关于甲组数据的一个“零和数”,
又∵(﹣8)+(﹣9)+(﹣10)+(﹣11)=﹣38,
∴b4=﹣12.
∴当b1取最大,且b1+b2+b3+(﹣12)=﹣39时,t的值最大.
∴b2,b3和要最小,即b2+b3=﹣21时,b1取最大.
∴b1=﹣6.
∴t的最大值是6.
5.定义:
任意两个数a,b,按规则c=ab+a+b扩充得到一个新数c,称所得的新数c为“如意数”.
(1)若a=
,b=1,直接写出a,b的“如意数”c;
(2)如果a=m﹣4,b=﹣m,求a,b的“如意数”c,并证明“如意数”c≤0
(3)已知a=x2﹣1(x≠0),且a,b的“如意数”c=x3+3x2﹣1,则b= x+2 (用含x的式子表示)
【解析】
(1)根据“如意数”的定义即可判断;
(2)利用配方法即可解决问题;
(3)根据“如意数”的定义,构建方程求出b即可;
【详解】解:
(1)c=
×1+
+1=2
+1.
(2)∵c=(m﹣4)(﹣m)+(m﹣4)+(﹣m)
=﹣m2+4m﹣4
=﹣(m﹣2)2≤0,
∴c≤0.
(3)由题意x3+3x2﹣1=(x2﹣1)b+(x2﹣1)+b,
∴x2b=x3+2x2,
∵x≠0,
∴b=x+2.
故答案为x+2.
6.
(1)若a2﹣4a﹣1=0,则2a3﹣11a2+10a﹣2017= .
(2)如图,CB∥OA,∠B=∠A=108°,E,F在CB上,且满足∠FOC=∠AOC,OE平分∠BOF,若平行移动AC,当∠OCA= 度时.可以使∠OEB=∠OCA.
【解析】
(1)方程移项变形后,得:
a2﹣4a=1,a2=4a+1,再将代数式中的a3化为2a2•a=2a(4a+1),达到降次的目的,合并同类项后,最后提取公因式,代入可得结论;
(2)由于BC∥OA,∠B=108°,易求∠AOB,而OE、OC都是角平分线,从而可求∠COE;设∠OCA=α,∠AOC=x,根据三角形的外角性质、三角形的内角和定理、平行线的性质可得,α+x=72°,36°+x=α,解即可.
【详解】解:
(1)a2﹣4a﹣1=0,
移项得:
a2﹣4a=1,a2=4a+1,
则2a3﹣11a2+10a﹣2017,
=2a(4a+1)﹣11a2+10a﹣2017,
=8a2+2a﹣11a2+10a﹣2017,
=﹣3a2+12a﹣2017,
=﹣3(a2﹣4a)﹣2017,
=﹣3×1﹣2017,
=﹣2020;
(2))∵CB∥OA,
∴∠BOA+∠B=180°,
∴∠BOA=180°﹣108°=72°,
∵∠FOC=∠AOC,OE平分∠BOF,
∴∠EOC=∠EOF+∠FOC=
∠BOF+
∠FOA=
(∠BOF+∠FOA)=
×72°=36°;
在平行移动AC的过程中,存在∠OEB=∠OCA,
设∠OCA=α,∠AOC=x,
∵∠OEB=∠COE+∠OCB=36°+x,
∠ACO=72°﹣x,
∴α=72°﹣x,36°+x=α,
72°﹣x=36°+x,
∴x=18°,α=54°.
即:
当∠OCA=54度时.可以使∠OEB=∠OCA.
7.计算并观察、探究下列式子
①(x﹣1)(x+1)=
②(x﹣1)(x2+x+1)=
③(x﹣1)(x3+x2+x+1)=x4﹣1
④(x﹣1)(x4+x3+x2+x+1)=x5﹣1
⑤(x﹣1)(x5+x4+x3+x2+x+1)=x6﹣1
…
由以上规律
(1)填空:
(x﹣1)(xn+xn﹣1+…+x+1)= .
(2)求:
22016+22015+22014+…+22+2+1的值.
【解析】
(1)利用多项式乘以多项式法则计算得到结果,规律总结得到一般性结论,写出即可;
(2)原式变形后,利用得出的规律计算即可得到结果.
【详解】解:
①(x﹣1)(x+1)=x2﹣1;
②(x﹣1)(x2+x+1)=x3﹣1;
③(x﹣1)(x3+x2+x+1)=x4﹣1;
④(x﹣1)(x4+x3+x2+x+1)=x5﹣1;
⑤(x﹣1)(x5+x4+x3+x2+x+1)=x6﹣1;
…
由以上规律
(1)(x﹣1)(xn+xn﹣1+…+x+1)=xn+1﹣1;
(2)原式=(2﹣1)×(22016+22015+22014+…+22+2+1)=22017﹣1,
则22016+22015+22014+…+22+2+1=22017﹣1.
故答案为:
①x2﹣1;②x3﹣1;
(1)xn+1﹣1
8.①已知am=2,an=3,求am+2n的值.
②已知(x+y)2=18,(x﹣y)2=6,求xy的值.
【解析】①直接利用同底数幂的乘除运算法则以及利用幂的乘方运算法则将原式变形得出答案;
②直接利用完全平方公式将原式变形进而求出答案.
【详解】解:
①∵am=2,an=3,
∴am+2n=am×(an)2=2×32=18;
②∵(x+y)2=x2+2xy+y2=18
(1),(x﹣y)2=x2﹣2xy+y2=6
(2),
∴
(1)﹣
(2)得:
4xy=18﹣6,
则xy=3.
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