贵州省名校联盟届高三大联考数学理试题含答案解析.docx
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贵州省名校联盟届高三大联考数学理试题含答案解析
贵州省名校联盟2022届高三3月大联考数学(理)试题
学校:
___________姓名:
___________班级:
___________考号:
___________
一、单选题
1.
的实部为( )
A.
B.0C.1D.2
2.
( )
A.
B.
C.
D.
3.定义集合
且
.己知集合
,
,
,则
中元素的个数为( )
A.3B.4C.5D.6
4.曲线
在点
处的切线方程为( )
A.
B.
C.
D.
5.某公司为了确定下一年投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费x(单位:
万元)对年销售量y(单位:
千件)的影响.现收集了近5年的年宣传费x(单位:
万元)和年销售量y(单位:
千件)的数据,其数据如下表所示,且y关于x的线性回归方程为
,则下列结论错误的是( )
x
4
6
8
10
12
y
1
5
7
14
18
A.x,y之间呈正相关关系
B.
C.该回归直线一定经过点
D.当此公司该种产品的年宣传费为20万元时,预测该种产品的年销售量为34800件
6.在四棱锥
中,底面
是矩形,
底面
,且
,
,则二面角
的大小为( )
A.30°B.45°C.60°D.75°
7.执行如图所示的程序框图,若输出的
,则输入的实数x的取值共有( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
8.已知函数
,现有下列四个命题:
①
,
,
成等差数列;
②
,
,
成等差数列;
③
,
,
成等比数列;
④
,
,
成等比数列.
其中所有真命题的序号是( )
A.①②B.②③C.①②③D.①②④
9.已知
,
,则
( )
A.2B.4C.
D.
10.函数
的部分图象如图所示,现将
的图象向右平移
个单位长度,得到函数
的图象,则
在区间
上的值域为( )
A.
B.
C.
D.
11.为有效阻断新冠肺炎疫情传播徐径,构筑好免疫屏障,从2022年1月13日开始,某市启动新冠病毒疫苗加强针接种工作,凡符合接种第三针条件的市民,要求尽快接种.该市有3个疫苗接种定点医院,现有8名志愿者将被派往这3个医院协助新冠疫苗接种工作,每个医院至少2名至多4名志愿者,则不同的安排方法共有( )
A.2940种B.3000种C.3600种D.5880种
12.已知A,B是曲线
上两个不同的点,
,则
的最大值与最小值的比值是( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题
13.已知
为奇函数,当
时,
,则
___________.
14.
的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c.已知
,
,则
___________.
15.如图,某款酒杯容器部分为圆锥,且该圆锥的轴截面为面积是
的正三角形.若在该酒杯内放置一个圆柱形冰块,要求冰块高度不超过酒杯口高度,则酒杯可放置圆柱冰块的最大体积为______
.
三、双空题
16.设P为椭圆
和双曲线
的一个公共点,且P在第一象限,F是M的左焦点,则M的离心率为___________,
___________.
四、解答题
17.一机械制造加工厂的某条生产线设备在正常运行的情况下,生产的零件尺寸z(单位:
)服从正态分布
,且
.
(1)求
的概率;
(2)若从该条生产线上随机选取2个零件,设X表示零件尺寸小于
的零件个数,求X的分布列与数学期望.
18.已知
,数列
满足
,
.
(1)求
的通项公式;
(2)设
,求数列
的前n项和
.
19.如图,在三棱柱
中,点
在底面
内的射影恰好是点C,点D是
的中点,且
.
(1)证明:
;
(2)己知
,
,
,求直线
与平面
所成角的正弦值.
20.已知函数
.
(1)当
时,求
的单调区间;
(2)若
对
恒成立,求a的取值范围.
21.在直角坐标系
中,抛物线
与直线
交于P,Q两点,且
.抛物线C的准线与x轴点交于点M,G是以M为圆心,
为半径的圆上的一点(非原点),过点G作抛物线C的两条切线,切点分别为A,B.
(1)求抛物线C的方程;
(2)求
面积的取值范围.
22.在数学中,有多种方程都可以表示心型曲线,其中著名的有笛卡尔心型曲线.如图,在直角坐标系中,以原点
为极点,
轴正半轴为极轴建立极坐标系.图中的曲线就是笛卡尔心型曲线,其极坐标方程为
,
为该曲线上一动点.
(1)当
时,求
的直角坐标;
(2)若射线
逆时针旋转
后与该曲线交于点
,求
面积的最大值.
23.已知正数a,b,c,d满足
,证明:
(1)
;
(2)
.
参考答案:
1.D
【解析】
【分析】
根据复数乘法的运算法则,结合复数实部的定义进行求解即可.
【详解】
因为
,
所以
的实部为2,
故选:
D
2.A
【解析】
【分析】
利用诱导公式及二倍角正弦公式计算可得;
【详解】
解:
.
故选:
A
3.B
【解析】
【分析】
首先要理解A-B的含义,然后按照集合交并补的运算规则即可.
【详解】
因为
,
,所以
,
又因为
,所以
.
故选:
B.
4.B
【解析】
【分析】
求出切点坐标和斜率,即可求出切线方程.
【详解】
因为
,所以曲线
在点
处的切线的斜率为
,当x=1时,y=0,切点坐标为(1,0).故所求切线方程为
.
故选:
B
5.C
【解析】
【分析】
求出
,直接判断C,把
代入回归方程可得系数
值,由
的正负判断A,由
代入回归方程得估计值,判断D.
【详解】
因为
,
,所以该回归直线一定经过点
,故
,解得
,即A,B正确,C不正确.
将
代入
,得
,故当此公司该种产品的年宣传费为20万元时,预测该种产品的年销售量为34800件,D正确.
故选:
C.
6.A
【解析】
【分析】
证明线面垂直,线线垂直,找到二面角
的平面角,再进行求解.
【详解】
因为
底面
,
平面
,所以
,又
,
,所以
平面
,因为
平面
,则
,所以二面角
的平面角为
.在
中,
,则
.故二面角
的大小为30°.
故选:
A
7.C
【解析】
【分析】
由程序框图可知
,解出x即可.
【详解】
由框图可知,该循环体需循环2次输出结果,∴输出
,
则
,解得
或
,故输入的实数x的取值共有3个.
故选:
C.
8.D
【解析】
【分析】
根据等差数列、等比数列的性质,结合对数的运算性质逐一判断即可.
【详解】
因为
,所以①为真命题.
因为
,
,
,所以②为真命题.
因为
,所以
,
,
成等差数列,又
,所以③是假命题.
因为
,
,
,所以④为真命题.
故选:
D
9.B
【解析】
【分析】
由
求得
,再由
即可求得答案.
【详解】
∵
,
∴
,则
.
∴
,故
.
故选:
B.
10.C
【解析】
【分析】
先由图像求出
,根据平移得到
,直接求值域即可.
【详解】
由图像可以看出:
因为
,所以
.
因为
,所以
.
因为
,
且
,
所以
,
,
所以
.
因为
,所以
.
因为
,所以
,所以
,
故
.
故选:
C
11.A
【解析】
【分析】
分组分配问题需要考虑重复;依题意要先分类,因为8个人分成3组人数上有不同的分法,再分配.
【详解】
根据题意,这8名志愿者人数分配方案共有两类:
第一类是2,2,4,第二类是3,3,2,
故不同的安排方法共有
种;
故选:
A.
12.A
【解析】
【分析】
方程
表示的曲线为圆
的左半部分和圆
的右半部分,数形结合求出
的最大值和最小值,进而求出比值.
【详解】
由
,得
.
因为
,所以
或
.
当
时,
;当
时,
.
所以方程
表示的曲线为圆
的左半部分和圆
的右半部分.当A,B分别与图中的M,N重合时,
取得最大值,且最大值为6;
当A,B为图中E,F,G,H四点中的某两点时,
取得最小值,且最小值为
.故
的最大值与最小值的比值是
.
故选:
A
13.
【解析】
【分析】
利用奇函数的性质,结合函数的解析式进行求解即可.
【详解】
因为
为奇函数,所以
,
故答案为:
14.
##0.4
【解析】
【分析】
根据正弦定理得a=2c,再由余弦定理即可求
.
【详解】
∵
,∴根据正弦定理知,
,即
,
∵
,∴
,解得
.
故答案为:
.
15.
##
【解析】
【分析】
先求出圆锥底面圆半径,设冰块的底面圆半径为
,用
表达出冰块的体积,利用导函数求出冰块体积的最大值.
【详解】
设圆锥底面圆的半径为
,圆柱形冰块的底面圆半径为
,高为
,由题意可得,
,解得
,
,设圆柱形冰块的体积为
,则
.设
,则
.当
时,
;当
时,
.所以
在
处取得极大值,也是最大值,
,故酒杯可放置圆柱形冰块的最大体积为
.
故答案为:
16.
##
【解析】
【分析】
根据椭圆方程直接求离心率即可,根据椭圆与双曲线的方程可得其共焦点,再根据椭圆和双曲线的定义即可得出答案.
【详解】
解:
M的离心率
,
设M的右焦点为
,因为
,且M与N的焦点都在x轴上,
所以椭圆M与双曲线N的焦点相同,
所以
,
,解得
.
故答案为:
;
.
17.
(1)0.1
(2)分布列见解析,数学期望为0.2
【解析】
【分析】
(1)由正态分布的对称性求解;
(2)X服从二项分布,求出相应的分布列及数学期望.
(1)
因为零件尺寸服从正态分布
.
所以
,
因为
,所以
.
(2)
依题意可得
,
所以
.
,
,
所以X的分布列为
X
0
1
2
P
0.81
0.18
0.01
所以
(或
)
18.
(1)
(2)
【解析】
【分析】
(1)依题意可得
,再利用累加法求出
的通项公式;
(2)由
(1)可知
,即可得到
,利用裂项相消法求和即可;
(1)
解:
因为
,即
,
所以
,
,…,
,
以上各式相加得
,
又
,所以
.
当
时,
,
故
的通项公式为
.
(2)
解:
由
(1)知,
,
则
,
故
.
19.
(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
(1)可证
平面
,从而可证
.
(2)建立如图所示的空间直角坐标系,求出
的方向向量与平面
的法向量后可求线面角的余弦值.
(1)
证明:
∵点
在底面
内的射影是点C,
∴
平面
,∵
平面
,∴
.
在
中,
,∴
,
∵
,∴
平面
.
∵
平面
,∴
.
(2)
解:
在平面
内,过点B作
,则
平面
,
以B为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系
,
则
,
,
,
,
,
,故
,
.
设平面
的法向量为
,
可取
.
又
,∴
,
∴直线
与平面
所成角的正弦值为
.
20.
(1)
的单调递减区间为
,单调递增区间为
;
(2)
.
【解析】
【分析】
(1)利用导数求解函数的单调区间;
(2)等价于
对
恒成立,设
,求出函数的最小值即得解;
(1)
解:
的定义域为
,
当
时,
.
当
时,
,则
的单调递减区间为
;
当
时,
,则
的单调递增区间为
.
所以
的单调递减区间为
,单调递增区间为
.
(2)
解:
由
对
恒成立,得
对
恒成立.
设
,则
.
当
时,
;当
时,
.
h(x)在
单调递减,在
单调递增
所以
,则
,
解得
,又
,
故a的取值范围是
.
21.
(1)
(2)
【解析】
【分析】
(1)依题意求出点P和点Q的坐标,用向量表示垂直,即可求得抛物线的方程;
(2)先求出抛物线上的切线方程,考虑点G在
上,求点G到直线AB的距离,以及AB的长度,即可
的面积范围.
(1)
依题意可设
,
,则
,
.
因为
,所以
,故
.
又
,所以
.
故抛物线C的方程为
;
(2)
现计算抛物线
在点
处的切线方程为
,
对抛物线方程
求导得
,在N点处的斜率为
,
在N点处的切线方程为
,整理得
;
设
,
,
,
则直线
,
的方程分别为
和
.
因为点G在直线
,
上,所以
,
两式相减得
,并由①得
,
直线AB的斜率为
,
所以直线AB的的方程为
,
整理得直线
的方程为
.
联立方程组
整理得
,
则
,
,
故
.
点
到直线
的距离
.
故
的面积
.
由题可知,
,
,则圆M的方程为
,
故
,
因为
,所以
,
所以
,故
面积的取值范围为
;
综上:
抛物线的方程为
,
面积的取值范围为
.
【点睛】
求直线AB的方程时,应尽可能使用变量
,而不是
,尽可能把
转化为
,
因为
存在符号问题,讨论符号会给计算带来很多的麻烦,
并且要巧用GA,GB联立的方程而不是解出方程.
22.
(1)
或
(2)
【解析】
【分析】
(1)令
,由此求得
的值,进而可求
的直角坐标.
(2)设出
两点极坐标,通过三角形面积公式求得
面积的表达式,
,将表达式转换为关于
的二次函数,即可求得
面积的最大值.
(1)
因为
,所以
,
,
因为
,所以
或
,所以
的极坐标为
或
,
故
的直角坐标为
或
(2)
设
,
,则
.表
因为
,
,
所以
.
令
,则
.
所以
,
当
时,
有最大值
,此时
,
,
故
的最大值为
.
23.
(1)证明见解析
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
(1)由基本不等式证明;
(2)由柯西不等式证明.
(1)
因为
,
,
所以
,
当且仅当
时,等号成立,
又正数a,b,c,d满足
,所以
.
(2)
因为正数a,b,c,d满足
,
所以由柯西不等式,可得
,
当且仅当
,
时,等号成立,
故
.
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