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反比例函数讲义
反比例函数
1、反比例函数的定义
k
一般地,如果两个变量x、y之间的关系可以表示成y(k为常数,k=0)的形式,那么
x
称y是x的反比例函数。
反比例函数的自变量x不能为零。
小注:
k1
(1)y也可以写成y=kx或xy=k的形式;
x
k
(2)y若是反比例函数,则x、y、k均不为零;
x
(3)xy|-k(k.0)通常表示以原点及点x,y为对角线顶点的矩形的面积。
■例1
下列函数中是
:
反比例关系的有
(填序号
)。
x
-1
-2
12
-3
①y=-一
②y1
③y=-一
④y=1-
x
⑤y=
3
3x
x
2
2x
⑥xy=1
⑦y鸡
⑧y=x-1
⑨-=2
⑩y=
k
(k为常数,k=0)
2
x
x
x
2、反比例函数定义的应用(重点)
k
确定解析式的方法仍是,由于在反比例函数y=—中,只有一个待定系数,因此只需
x要一对对应值,即可求出k的值,从而确定其解析式。
■例2由欧姆定律可知,电压不变时,电流强度I与电阻R成反比例,已知电压不变,电阻R=12.5欧姆,电流强度1=0.2安培。
(1)求I与R的函数关系式;
(2)当R=5欧姆时,求电流强度。
本节作业:
1、小明家离学校1.5km,小明步行上学需xmin,那么小明的步行速度y(m/min)可以表示为
y(N/m2)可以表示为y二1500。
函数表达式
x
数关系,请你再列举一例。
2、某工人打算利用一块不锈钢条加工一个面积为0.8m2的矩形模具,假设模具的长与宽分别为y与
x。
(1)你能写出y与x之间的函数表达式吗?
变量y与x之间是什么函数?
(2)若想使模具的长比宽多1.6m,已知每米这种不锈钢条6元钱,求加工这个模具共花多少钱?
3、若函数满足空+2=0,则y与x的函数关系式为,你认为y是x的
3
函数。
4、已知y=yi+y2,yi与x成正比例,y与x成反比例,并且当x=2时,y=—4;当x=—1
时,y=5,求出y与x的函数关系式。
5、已知y是x的函数,且其对应数据如下表所示,你认为y是x的正比例函数还是反比例函数?
你
能写出函数的表达式,并填上表格中的空缺吗?
x
-3
-2
1
3
4
y
3
2
3
—3
2
3
4
k
6、(2008
•安徽)函数y
的图象经过点
x
八1
m1
A.—
B.
C.2D.
2
2
A(1,—2),贝Uk的值为(
—2
2
7、若函数y=(m•1)xm3m1是反比例函数,则m的值为()。
A.m=—2B.
m=—2,或m=—1
C.m=2或m=1D.
8、若甲、乙两城市间的路程为1000千米,车速为每小时x千米,从甲市到乙市所需的时间为y小时,那么y与x的函数表达式是(不必写出x的取值范围),y是x的
函数。
9、已知y是x的反比例函数,当x=5时,y=—1,那么,当y=3时,x=;当x=3时,
y=。
第2节反比例函数的图象与性质
1、反比例函数的图象及其画法
反比例函数图象的画法一一描点法:
(1)列表一一自变量取值应以0(但(x=0)为中心,向两边取三对(或三对以上)互为相反数
的数,再求出对应的y的值;
(2)描点一一先描出一侧,另一侧可根据中心对称点的性质去找;
(3)连线一一按照从左到右的顺序连接各点并延伸,注意双曲线的两个分支是断开的,延伸部分
有逐渐靠近坐标轴的趋势,但永远不与坐标轴相交。
k
反比例函数y的图象是由两支曲线组成的。
当k0时,两支曲线分别位于第一、三象限
x
内,当k:
0时,两支曲线分别位于第二、四象限内。
小注:
(1)这两支曲线通常称为双曲线。
(2)这两支曲线关于原点对称。
(3)反比例函数的图象与x轴、y轴没有公共点。
例1:
画出反比例函数y=_与y=的图象。
xx
解:
(1)列表:
X
■iliBi
-6
-5
-4
-3
-2
■1
6y=-
X
■■iBi
6
7=—
X
liliii
z
1
2
3
4
5
6
***
6y=-
X
6y=—
X
(3)连线。
2、反比例函数的性质
反比例函数
ky=-x
:
(k式0)
k的符号
k>0
k<0
图象(双曲线)
x、y
取值范围
x的取值范围x丰0
y的取值范围y丰0
x的取值范围x工0
y的取值范围y工0
位置
第,三象限内
第二,四象限内
增减性
每一象限内,y随x的增大而减小
每一象限内,y随x的增大而增大
渐近性
反比例函数的图象无限接近于x,y轴,但永远达不到x,y轴,画图象时,要体现出这个特点.
对称性
反比例函数的图象是关于原点成中心对称的图形•反比例函数的图象也是轴对称图形•
例2已知y=(m•1)xm^是反比例函数,则函数的图象在()
三、四象限
2),则这个函数的图象位于
•第三、四象限D•第二、四象限
k
y=
3、反比例函数x(k=0)中的比例系数k的几何意义(难点)
k
y=(k工0)
x
k
k的几何含义:
反比例函数y=(k工0)中比例系数k的几何意义,即过双曲线
x
上任意一点P作x轴、y轴垂线,设垂足分别为AB,则所得矩形OAPB勺面积为
例5:
A、B是函数
=-的图象上关于原点对称的任意两点,BC//x轴,AC//y轴,△ABC的面积
x
记为S,则(
A.S=2
C.2:
:
S:
:
4D.S4
k
y(k=0)的图象上,
x
k二
4、反比例函数与正比例函数图象的交点
凡是交点问题就联立方程
本节练习
一、选择题(每小题6分,共36分)
1.已知y=(m1)xm^是反比例函数,
则函数的图象在
、三象限B
k
2.若反比例函数y的图象经过点(-12)
x
二、四象限
C、一、四象限
三、四象限
则这个函数的图象一定经过点()
A、(-2,-1)
3.反比例函数y
丄2
12,2丿
n5的图象经过点(2,3),则n的值是()
x
E、
一丄,2C、(2,-1)
2
D、
A、一2
B、一1C
4•反比例函数yk_1的图象在每个象限内,y随x的增大而减小,则k的值可为()
J
x
A、_1B、0C、1D、2
1
5.如果两点R(1,yi)和P2(2,y2)都在反比例函数y的图象上,那么()
x
A.y2vy1v0B.%vy2v0C.y2>y1>0D.y1>y2>0
(填“增大”或“减小)
k
8.如图乙双曲线y与直线y=mx相交于AB两点,B点坐标为
x
(—2,-3),则A点坐标为
k
9.
如图8,点A在反比例函数y的图象上,AB垂直于x轴,若Sa°b=4,那么这个反比例函
x
10.老师给出一个函数,甲、乙各指出了这个函数的一个性质:
甲:
第一、三象限有它的图象;乙:
在每个象限内,y随x的增大而减小.
请你写一个满足上述性质的函数
三、解答题每小题,共40分
11.(20分)如图,一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=m图象交于A(-2,1)、B(1,n)
x
两点.
(1)求反比例函数和一次函数的解析式;
(2)根据图象写出使一次函数的值大于反比例函
数的值的x的取值范围.
12.(20分)如图,已知反比例函数如=m(m式0)的图象经过点A(_21),一次函数
x
y2二kx,bk=0)的图象经过点C(0,3)与点A,且与反比例函数的图象相交于另一点B.
(1)分
别求出反比例函数与一次函数的解析式;
第三节反比例函数的应用
1
例题1.面积一定的梯形,其上底长是下底长的,设下底长x=10cm时,咼y=6cm
2
(1)求y与x的函数关系式;
(2)求当y=5cm时,下底长多少?
16.一定质量的二氧化碳,当它的体积V=6m3时,它的密度p=1.65kg/m3.
(1)求p与V的函数关系式.
(2)当气体体积是1m3时,密度是多少?
(3)当密度为1.98kg/m3时,气体的体积是多少?
例题2:
如图,Rt△AOB勺顶点A是一次函数y=—x+m+3的图象与反比例函数y=的图象在第二象
x
限的交点,且Saaoe=1,求点A的坐标.
例题3:
某厂要制造能装250mL(1mL=1cm3)饮料的铝制圆柱形易拉罐,易拉罐的侧壁厚度和底部厚度都是0.02cm,顶部厚度是底部厚度的3倍,这是为了防止“砰”的一声打开易拉罐时把整个顶盖撕下来,设一个底面半径是xcm的易拉罐用铝量是ycm3.
用铝量=底面积x底部厚度+顶部面积x顶部厚度+侧面积x侧壁厚度,求y与x间的函数关系式
综合检测题
一、填空题:
1
1、u与t成反比,且当U=6时,t,这个函数解析式为;
8
x2
2、函数y和函数y的图像有个交点;
2x
k3
3、反比例函数y的图像经过(一,5)点、(a,-3)及(10,b)点,
x2
贝Vk=,a=,b=;
4、若函数y=4m-1x•m-4是正比例函数,那么m二,图象经过象限;
5、若反比列函数y=(2k-1)x3k的图像经过二、四象限,则k=
6、已知y-2与x成反比例,当x=3时,y=1,则y与x间的函数关系式为
7、已知正比例函数y=kx与反比例函数
y=3的图象都过a(m,1),则m=
x
,正比例函
数与反比例函数的解析式分别是
k+1
8、设有反比例函数y,(x-yj、(x2,y2)为其图象上的两点,
x
贝Uk的取值范围是
若x1:
:
:
0:
:
:
x2时,yjy2,
9、右图3是反比例函数y=k的图象,则k与0的大小关系是k0.
x
2
10、函数y的图像,在每一个象限内,y随x的增大而;
x
k
11、反比例函数yk■0在第一象限内的图象如图,点M是图像上一点,
x
MP垂直x轴于点P,如果△MOP勺面积为1,那么k的值是;
2
12、y二m2-5xmjm‘是y关于x的反比例函数,且图象在
第二、四象限,贝Um的值为;
k
3、如果反比例函数y=—的图像经过点(一3,—4),那么函数的图像应在()
x
A、第一、三象限B第一、二象限C、第二、四象限D第三、四象限
4、若y与—3x成反比例,
4
x与成正比例,则y是z的(
z
A、正比例函数B、
反比例函数C
一次函数D、
不能确定
2
若反比例函数y二(2m-1)xm2的图像在第二、四象限,则
m的值是(
A、
—1或1B、小于丄的任意实数C、—1D、
2
不能确定
k
函数y的图象经过点(一4,6),则下列各点中不在y二二图象上的是
x
A、
(3,8)
(3,—8)C
(—8,—3)D
(—4,—6)
k
=kx和反比例函数y在同一坐标系内的图象为
正比例函数
7、
A
x
8、如上右图,
A为反比例函数
图象上一点,
x
AB垂直x轴于
B点,若0ao吐3,则k的值为
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