高考数学一轮复习第9章统计统计案例第1讲随机抽样学案.docx

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高考数学一轮复习第9章统计统计案例第1讲随机抽样学案

【2019最新】精选高考数学一轮复习第9章统计统计案例第1讲随机抽样学案

板块一　知识梳理·自主学习

[必备知识]

考点1　简单随机抽样

1．定义：

设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本（n≤N），如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样．

2．最常用的简单随机抽样的方法：

抽签法和随机数法．

3．抽签法与随机数法的区别与联系

抽签法和随机数法都是简单随机抽样的方法，但是抽签法适合在总体和样本都较少，容易搅拌均匀时使用，而随机数法除了适合总体和样本都较少的情况外，还适用于总体较多但是需要的样本较少的情况，这时利用随机数法能够快速地完成抽样．

考点2　系统抽样的步骤

　假设要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本．

1．先将总体的N个个体编号．

2．确定分段间隔k，对编号进行分段，当是整数时，取k＝.

3．在第1段用简单随机抽样确定第一个个体编号l（l≤k）．

4．按照一定的规则抽取样本，通常是将l加上间隔k得到第2个个体编号（l＋k），再加k得到第3个个体编号（l＋2k），依次进行下去，直到获取整个样本．

考点3　分层抽样

1．定义：

在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法是一种分层抽样．

2．分层抽样的应用范围：

当总体是由差异明显的几个部分组成的，往往选用分层抽样．

[必会结论]

1．不论哪种抽样方法，总体中的每一个个体入样的概率是相同的．

2．系统抽样是等距抽样，入样个体的编号相差的整数倍．

3．分层抽样是按比例抽样，每一层入样的个体数为该层的个体数乘以抽样比．

[考点自测]

1．判断下列结论的正误．（正确的打“√”，错误的打“×”）

（1）简单随机抽样是一种不放回抽样．（　　）

（2）简单随机抽样每个个体被抽到的机会不一样，与先后有关．（　　）

（3）系统抽样在起始部分抽样时采用简单随机抽样．（　　）

（4）要从1002个学生中用系统抽样的方法选取一个容量为20的样本，需要剔除2个学生，这样对被剔除者不公平．（　　）

答案　

（1）√　

（2）×　（3）√　（4）×

2．[2015·四川高考]某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是（　　）

A．抽签法B．系统抽样法

C．分层抽样法D．随机数法

答案　C

解析　最合理的抽样方法是分层抽样法，选C项．

3．[课本改编]2018年1月6日～8日衡水重点中学在毕业班进行了一次模拟考试，为了了解全年级1000名学生的考试成绩，从中随机抽取了100名学生的成绩单，下面说法正确的是（　　）

A．1000名学生是总体

B．每个学生是个体

C．1000名学生的成绩是一个个体

D．样本的容量是100

答案　D

解析　1000名学生的成绩是统计中的总体，每个学生的成绩是个体，被抽取的100名学生的成绩是一个样本，其样本的容量是100.

4．[2018·湖北模拟]甲、乙两套设备生产的同类型产品共4800件，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本进行质量检测．若样本中有50件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品总数为________件．

答案　1800

解析　分层抽样中各层的抽样比相同．样本中甲设备生产的有50件，则乙设备生产的有30件．在4800件产品中，甲、乙设备生产的产品总数比为5∶3，所以乙设备生产的产品的总数为1800件．

5．[2018·人大附中段考]在一次抽样活动中，采用了系统抽样．若第1组中选中的为2号，第2组中选中的为7号，则第5组中选中的应为________号．

答案　22

解析　由题意知抽样间隔为7－2＝5，所以第5组中选中的号码为2＋（5－1）×5＝22.

板块二　典例探究·考向突破

考向　随机抽样方法

例　1　[2018·陕西模拟]某班级有男生20人，女生30人，从中抽取10人作为样本，其中一次抽样结果是：

抽到了4名男生、6名女生，则下列命题正确的是（　　）

A．这次抽样可能采用的是简单随机抽样

B．这次抽样一定没有采用系统抽样

C．这次抽样中每个女生被抽到的概率大于每个男生被抽到的概率

D．这次抽样中每个女生被抽到的概率小于每个男生被抽到的概率

答案　A

解析　利用排除法求解．这次抽样可能采用的是简单随机抽样，A正确；这次抽样可能采用系统抽样，男生编号为1～20，女生编号为21～50，间隔为5，依次抽取1号，6号，…，46号便可，B错误；这次抽样中每个女生被抽到的概率等于每个男生被抽到的概率，C和D均错误．故选A.

触类旁通

应用简单随机抽样应注意的问题

（1）一个抽样试验能否用抽签法，关键看两点：

一是抽签是否方便；二是号签是否易搅匀．一般地，当总体容量和样本容量都较小时可用抽签法．

（2）在使用随机数表时，如遇到三位数或四位数时，可从选择的随机数表中的某行某列的数字计起，每三个或四个作为一个单位，自左向右选取，有超过总体号码或出现重复号码的数字舍去．

【变式训练1】　用随机数表法对一个容量为500编号为000,001,002，…，499的产品进行抽样检验，抽取一个容量为10的样本，若选定从第12行第5列的数开始向右读数（下面摘取了随机数表中的第11行至第15行），根据下图，读出的第三个数是（　　）

18180792454417165809798386196206765003105523640505

26623897758416074499831146322420148588451093728871

23424064748297777781074532140832989407729385791075

52362819955092261197005676313880220253538660420453

37859435128339500830423407968854420687983585294839

A．841B．114C．014D．146

答案　B

解析　从第12行第5列的数开始向右读数，第一个的编号为389，下一个775,775大于499，故舍去，再下一个841（舍去），再下一个607（舍去），再下一个449，再下一个983（舍去），再下一个114，读出的第三个数是114.

考向　分层抽样

例　2　[2017·江苏高考]某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200,400,300,100件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取________件．

答案　18

解析　∵＝＝，

∴应从丙种型号的产品中抽取×300＝18（件）．

触类旁通

分层抽样的步骤

（1）将总体按一定标准分层；

（2）计算各层的个体数与总体数的比，按各层个体数占总体数的比确定各层应抽取的样本容量；

（3）在每一层进行抽样（可用简单随机抽样或系统抽样）．

【变式训练2】　[2018·天津模拟]某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查．已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4∶5∶5∶6，则应从一年级本科生中抽取________名学生．

答案　60

解析　由分层抽样的特点可得应该从一年级本科生中抽取×300＝60名学生．

考向　系统抽样

例　3　[2018·山东模拟]采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入区间[1,450]的人做问卷A，编号落入区间[451,750]的人做问卷B，其余的人做问卷C.则抽到的人中，做问卷B的人数为（　　）

A．7B．9C．10D．15

答案　C

解析　抽样间隔为30，所以第k组被抽中的号码为9＋30（k－1）．令451≤9＋30（k－1）≤750,15≤k≤25，k∈N*，∴做B卷的人数为10人．

　本例中条件不变，求做问卷A的人数和做问卷C的人数．

解　令9＋30（k－1）≤450，∴k≤15，又∵k∈N*.

∴做A卷人数为15人，做C卷的人数为32－10－15＝7人．

触类旁通

系统抽样的特点及抽样技巧

（1）系统抽样的特点——机械抽样，又称等距抽样，所以依次抽取的样本对应的号码就是一个等差数列，首项就是第1组所抽取样本的号码，公差为间隔数，根据等差数列的通项公式就可以确定每一组内所要抽取的样本号码．

（2）系统抽样时，如果总体中的个数不能被样本容量整除时，可以先用简单随机抽样从总体中剔除几个个体，然后再按系统抽样进行．

【变式训练3】　将参加夏令营的600名学生按001,002，…，600进行编号．采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003.这600名学生分别住在三个营区，从001到300在第Ⅰ营区，从301到495在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区，三个营区被抽中的人数依次为（　　）

A．26,16,8B．25,17,8C．25,16,9D．24,17,9

答案　B

解析　由题意及系统抽样的定义可知，将这600名学生按编号依次分成50组，每一组各有12名学生，第k（k∈N*）组抽中的号码是3＋12（k－1）．令3＋12（k－1）≤300，得k≤，因此第Ⅰ营区被抽中的人数是25；令300<3＋12（k－1）≤495，得

核心规律

1.系统抽样的特点：

适用于元素个数很多且均衡的总体；各个个体被抽到的机会均等；总体分组后，在起始部分抽样时，采用简单随机抽样．

2.分层抽样的特点：

适用于总体由差异明显的几部分组成的情况；分层后，在每一层抽样时可采用简单随机抽样或系统抽样．

满分策略

系统抽样和分层抽样中的注意事项

（1）系统抽样最大的特点是“等距”，利用此特点可以很方便地判断一种抽样方法是否是系统抽样．

（2）分层抽样中分多少层、如何分层要视具体情况而定，总的原则是层内样本的差异要小，两层之间的样本差异要大，且互不重叠；为了保证每个个体等可能入样，所有层中每个个体被抽到的可能性相同.

板块三　启智培优·破译高考

创新交汇系列7——分层抽样与概率相结合问题

[2018·银川检测]某公司有一批专业技术人员，对他们进行年龄状况和接受教育程度（学历）的调查，其结果（人数分布）如下表：

学历

35岁以下

35～50岁

50岁以上

本科

80

30

20

研究生

x

20

y

（1）用分层抽样的方法在35～50岁年龄段的专业技术人员中抽取一个容量为5的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至少有1人学历为研究生的概率；

（2）在这个公司的专业技术人员中按年龄状况用分层抽样的方法抽取N个人，其中35岁以下48人，50岁以上10人，再从这N个人中随机抽取1人，此人的年龄为50岁以上的概率为，求x，y的值．

解题视点　

（1）根据分层抽样得到样本中的人员分布，列举所有等可能基本事件，求概率．

（2）由概率列式求N，根据样本中各年龄段的抽样比相等，确定x，y的值．

解　

（1）用分层抽样的方法在35～50岁年龄段的专业技术人员中抽取一个容量为5的样本，设抽取学历为本科的人数为m，∴＝，解得m＝3.

抽取的样本中有研究生2人，本科生3人，分别记作S1，S2；B1，B2，B3.

从中任取2人的所有等可能基本事件共有10个：

（S1，B1），（S1，B2），（S1，B3），（S2，B1），（S2，B2），（S2，B3），（S1，S2），（B1，B2），（B1，B3），（B2，B3），

其中至少有1人的学历为研究生的基本事件有7个：

（S1，B1），（S1，B2），（S1，B3），（S2，B1），（S2，B2），（S2，B3），（S1，S2）．

∴从中任取2人，至少有1人学历为研究生的概率为.

（2）由题意，得＝，解得N＝78.

∴35～50岁中被抽取的人数为78－48－10＝20，

∴＝＝，解得x＝40，y＝5.

即x，y的值分别为40,5.

答题启示　分层抽样与概率结合的题目多与实际问题紧密联系，计算量和阅读量都比较大，且会有图表，求解时容易造成失误，平时需注意多训练此类型的题目.

跟踪训练

[2018·郑州质检]最新高考改革方案已在上海和浙江实施，某教育机构为了解我省广大师生对新高考改革方案的看法，对某市部分学校500名师生进行调查，统计结果如下：

赞成改革

不赞成改革

无所谓

教师

120

y

40

学生

x

z

130

在全体师生中随机抽取1名“赞成改革”的人是学生的概率为0.3，且z＝2y.

（1）现从全部500名师生中用分层抽样的方法抽取50名进行问卷调查，则应抽取“不赞成改革”的教师和学生人数各是多少？

（2）在

（1）中所抽取的“不赞成改革”的人中，随机选出3人进行座谈，求至少有1名教师被选出的概率．

解　

（1）由题意知＝0.3，所以x＝150，所以y＋z＝60，

因为z＝2y，所以y＝20，z＝40，

则应抽取“不赞成改革”的教师人数为×20＝2，

应抽取“不赞成改革”的学生人数为×40＝4.

（2）所抽取的“不赞成改革”的2名教师记为a，b,4名学生记为1,2,3,4，随机选出3人的不同选法有（a，b,1），（a，b,2），（a，b,3），（a，b,4），（a,1,2），（a,1,3），（a,1,4），（a,2,3），（a,2,4），（a,3,4），（b,1,2），（b,1,3），（b,1,4），（b,2,3），（b,2,4），（b,3,4），（1,2,3），（1,2,4），（1,3,4），（2,3,4），共20种，

至少有1名教师的选法有（a，b,1），（a，b,2），（a，b,3），（a，b,4），（a,1,2），（a,1,3），（a,1,4），（a,2,3），（a,2,4），（a,3,4），（b,1,2），（b,1,3），（b,1,4），（b,2,3），（b,2,4），（b,3,4），共16种，

故至少有1名教师被选出的概率P＝＝.

板块四　模拟演练·提能增分

[A级　基础达标]

1．对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p1，p2，p3，则（　　）

A．p1＝p2

C．p1＝p3

答案　D

解析　随机抽样包括：

简单随机抽样，系统抽样和分层抽样．随机抽样的特点就是每个个体被抽到的概率相等．

2．[2018·海口调研]某校三个年级共有24个班，学校为了了解同学们的心理状况，将每个班编号，依次为1到24，现用系统抽样方法，抽取4个班进行调查，若抽到的最小编号为3，则抽取的最大编号为（　　）

A．15B．18C．21D．22

答案　C

解析　系统抽样的抽取间隔为＝6，若抽到的最小编号为3，则抽取到的最大编号为6×3＋3＝21.故选C.

3．[2018·青岛模拟]某中学高中一年级有400人，高中二年级有320人，高中三年级有280人，现从中抽取一个容量为200的样本，则高中二年级被抽取的人数为（　　）

A．28B．32C．40D．64

答案　D

解析　由分层抽样的定义可知高中二年级被抽取的人数为×200＝64.故选D.

4．福利彩票“双色球”中红色球的号码由编号为01,02，…，33的33个个体组成，某彩民利用下面的随机数表选取6组数作为6个红色球的编号，选取方法是从随机数表第1行的第6列和第7列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个红色球的编号为（　　）

4954435482173793237887352096438426349164

5724550688770474476721763350258392120676

A．23B．09C．02D．17

答案　C

解析　从随机数表第1行的第6列和第7列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出的6个红色球的编号依次为21,32,09,16,17,02，故选出的第6个红色球的编号为02.

5．某工厂的三个车间在12月份共生产了3600双皮靴，在出厂前要检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽取，若从第一、二、三车间抽取的产品数分别为a，b，c，且a，b，c构成等差数列，则第二车间生产的产品数为（　　）

A．800B．1000C．1200D．1500

答案　C

解析　因为a，b，c成等差数列，所以2b＝a＋c.

所以＝b.所以第二车间抽取的产品数占抽样产品总数的.根据分层抽样的性质，可知第二车间生产的产品数占总数的，即为×3600＝1200.

6．[2018·东北三校联考]某工厂生产甲、乙、丙三种型号的产品，产品数量之比为3∶5∶7，现用分层抽样的方法抽出容量为n的样本，其中甲种产品有18件，则样本容量n＝（　　）

A．54B．90C．45D．126

答案　B

解析　依题意得×n＝18，解得n＝90，即样本容量为90.

7．某工厂平均每天生产某种机器零件10000件，要求产品检验员每天抽取50件零件，检查其质量状况，采用系统抽样方法抽取，将零件编号为0000,0001,0002，…，9999，若抽取的第一组中的号码为0010，则第三组抽取的号码为（　　）

A．0210B．0410C．0610D．0810

答案　B

解析　将零件分成50段，分段间隔为200，因此，第三组抽取的号码为0010＋2×200＝0410，选B.

8．[2018·无锡模拟]若采用系统抽样的方法从420人中抽取21人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2，…，420，则抽取的21人中，编号在区间[241,360]内的人数是________．

答案　6

解析　∵样本容量为21，∴样本组距为420÷21＝20，编号在[241,360]内应抽取的人数是（360－241＋1）÷20＝6.

9．[2018·潍坊模拟]某校对高三年级1600名男女学生的视力状况进行调查，现用分层抽样的方法抽取一个容量是200的样本，已知样本中女生比男生少10人，则该校高三年级的女生人数是________．

答案　760

解析　设样本中女生有x人，则男生有x＋10人，所以x＋x＋10＝200，得x＝95，设该校高三年级的女生有y人，则由分层抽样的定义可知＝，解得y＝760.

10．[2018·深圳模拟]一汽车厂生产A，B，C三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如表（单位：

辆）：

轿车A

轿车B

轿车C

舒适型

100

150

z

标准型

300

450

600

按类型分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A类轿车10辆，则z的值为________．

答案　400

解析　设该厂本月生产轿车为n辆，由题意得＝，所以n＝2000，z＝2000－100－300－150－450－600＝400.

[B级　知能提升]

1．[2018·江西八校联考]从编号为001,002，…，500的500个产品中用系统抽样的方法抽取一个样本，已知样本中编号最小的两个编号分别为007,032，则样本中最大的编号应该为（　　）

A．480B．481C．482D．483

答案　C

解析　根据系统抽样的定义可知样本的编号成等差数列，令a1＝7，a2＝32，d＝25，所以7＋25（n－1）≤500，所以n≤20，n∈N，最大编号为7＋25×19＝482.

2．[2018·浙江五校联考]某报社做了一次关于“什么是新时代的雷锋精神”的调查，在A，B，C，D四个单位回收的问卷数依次成等差数列，且共回收1000份，因报道需要，再从回收的问卷中按单位分层抽取容量为150的样本，若在B单位抽取30份，则在D单位抽取的问卷是________份．

答案　60

解析　由题意依次设在A，B，C，D四个单位回收的问卷数分别为a1，a2，a3，a4，在D单位抽取的问卷数为n，则有＝，解得a2＝200，又a1＋a2＋a3＋a4＝1000，即3a2＋a4＝1000，∴a4＝400，∴＝，解得n＝60.

3．一个总体中有100个个体，随机编号为0,1,2，…，99，依编号顺序平均分成10个小组，组号依次为1,2，…，10.现用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本，规定如果在第1组随机抽取的号码为m，那么在第k组中抽取的号码个位数字与m＋k的个位数字相同．若m＝6，则在第7组中抽的号码是________．

答案　63

解析　由题设知，若m＝6，则在第7组中抽取的号码个位数字与13的个位数字相同，而第7组中数字编号顺次为60,61,62,63，…，69，故在第7组中抽取的号码是63.

4．[2015·天津高考]设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27,9,18.现采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员组队参加比赛．

（1）求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数；

（2）将抽取的6名运动员进行编号，编号分别为A1，A2，A3，A4，A5，A6.现从这6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛．

①用所给编号列出所有可能的结果；

②设A为事件“编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到”，求事件A发生的概率．

解　

（1）应从甲、乙、丙三个协会中抽取的运动员人数分别为3,1,2.

（2）①从6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，A4}，{A1，A5}，{A1，A6}，{A2，A3}，{A2，A4），{A2，A5}，{A2，A6}，{A3，A4}，{A3，A5}，{A3，A6}，{A4，A5}，{A4，A6}，{A5，A6}，共15种．

②编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到的所有可能结果为{A1，A5}，{A1，A6}，{A2，A5}，{A2，A6}，{A3，A5}，{A3，A6}，{A4，A5}，{A4，A6}，{A5，A6}，共9种，因此，事件A发生的概率P（A）＝＝.

5．[2018·开封模拟]某公路设计院有工程师6人，技术员12人，技工18人，要从这些人中抽取n个人参加市里召开的科学技术大会．如果采用系统抽样和分层抽样的方法抽取，不用剔除个体，如果参会人数增加1个，则在采用系统抽样时，需要在总体中先剔除1个个体，求n.

解　总体容量为6＋12＋18＝36.

当样本容量是n时，由题意知，系统抽样的间隔为，分层抽样的比例是，抽取的工程师人数为×6＝，技术员人数为×12＝，技工人数为×18＝，所以n应是6的倍数，36的约数，即n＝6,12,18.

当样本容量为（n＋1）时，总体容量剔除以后是35人，系统抽样的间隔为，因为必须是整数，所以n只能取6，即样本容量n＝6.