小学奥数行程问题.docx

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小学奥数行程问题

奥数第七讲   行程问题

（一） ——追及问题

四年级奥数教案

第七讲行程问题

（一）——追及问题

本讲学习的追及问题与相遇问题同属于行程问题中的一类，它是同向运动问题。

追及问题的基本特点是：

两个物体同向运动，慢走在前，快走在后面，它们之间的距离不断缩短，直到快者追上慢者。

追及问题属于较复杂的行程问题。

追及问题中的各数量关系是：

路程差=速度差×追及时间；

速度差=路程差÷追及时间；追及时间=路程差÷速度差；解答追及问题可适当的选择画图法、假设法、比较法等思考方法解题。

在解决同向问题时，要注意以下几点：

（1）要弄清题意，紧扣速度差、追及时间和路程差这三个量之间的基本关系；

（2）对复杂的同向运动问题，可以借助直观图来帮助理解题意，分析数量关系；

（3）要注意运动物体的出发点、出发时间、行走方向、善于扑捉速度、时间、路程对应关系。

（4）要善于联想、转化、使隐藏的数量关系明朗化，找准理解题目的突破口。

第一课时

教学内容：

掌握简单的追及问题

教学目标：

理解和掌握简单的追及问题

教学重点：

掌握追及问题的基本公式

教学难点：

利用公式求简单的追及问题

教学过程：

一、谈话导入。

今天我们来学习行程问题当中的追及问题，它属于同向运动中的一种，下面我们就通过一个例子来给大家讲叙怎样解决追及问题。

例子：

兔子在狗前面150米，一步跳2米，狗更快，一步跳3米，狗追上兔子需要跳多少步？

我们知道，狗跳一步要比兔子跳一步远3—2=1（米），也就是狗跳一步可以追上兔子1米，现在狗与兔子相距150米，因此，只要算出150米中有几个1米，那么就知道狗跳了多少步追上兔子的。

不难看出150÷1=150（步），这是狗跳的步数。

这里兔在前面跳，狗在后面追，它们一开始相差150米，这150米叫做“追及距离”；兔子每步跳2米，狗每步跳3米，它们每步相差1米，这个叫“速度差”；狗追上兔子所需的步数叫做“追及步数”有时是以秒、分钟、小时计算，则叫“追及时间”，像这种包含追及距离、速度差和追及时间（追及步数）三个量的应用题，叫做追及问题。

解决追及问题的基本关系式是：

路程差=速度差×追及时间；

速度差=路程差÷追及时间；

追及时间=路程差÷速度差

在解决追及问题中，我们要抓住一个不变量，即追赶者所用时间与被追赶者所用的时间是相等的，都等于追及时间。

大家还要注意区别“追及距离”与“追赶者追上被追赶者所走的距离”这两个量之间的区别。

就像刚才的例子，“追及距离”为150米，而狗追上兔一共走了3×150=450（米）

二、新授课：

1．明确公式中三个量的含义：

速度差：

快车比慢车单位时间内多行的路程即快车每小时比慢车多行的或每分钟多行的路程。

追及时间：

快车追上慢车相差的距离。

路程差：

快车开始和慢车相差的路程。

2．熟悉追及问题的三个基本公式：

路程差=速度差×追及时间；

速度差=路程差÷追及时间；

追及时间=路程差÷速度差

3．解题技巧：

在理解行驶时间、地点、方向等关系的基础上画出线段图，分析题意思，寻找路程差及另外两个量之间的关系，最终找到解答方法。

【例1】甲、乙两人相距150米，甲在前，乙在后，甲每分钟走60米，乙每分钟走75米，两人同时向南出发，几分钟后乙追上甲？

【思路分析】这道问题是典型的追及问题，求追及时间，根据追及问题的公式：

追及时间=路程差÷速度差

150÷（75-60）=10（分钟）

答：

10分钟后乙追上甲。

【小结】提醒学生熟练掌握追及问题的三个公式。

【例2】骑车人与行人同一条街同方向前进，行人在骑自行车人前面450米处，行人每分钟步行60米，两人同时出发，3分钟后骑自行车的人追上行人，骑自行车的人每分钟行多少米？

【思路分析】这道题目，是同时出发的同向而行的追及问题，要求其中某个速度，就必须先求出速度差，根据公式：

速度差=路程差÷追及时间：

速度差：

450÷3=150（千米）自行车的速度：

150+60=210（千米）

答：

骑自行车的人每分钟行210千米。

【小结】这道题目在于灵活运用追及问题的三个基本公式求其中任意三个量。

【例3】两辆汽车从A地到B地，第一辆汽车每小时行54千米，第二辆汽车每小时行63千米，第一辆汽车先行2小时后，第二辆汽车才出发，问第二辆汽车出发后几小时追上第一辆汽车？

【思路分析】根据题意可知，第一辆汽车先行2小时后，第二辆汽车才出发，

画线段图分析：

从图中可以看出第一辆行2小时的路程为两车的路程差，即54×2=108（千米），两车相差108米，第二辆车去追第一辆车，第二辆车去追第一辆车，第二辆车每小时比第一辆车每多行63-54=9（千米），即为速度差，用

追及时间=路程差÷速度差。

解：

（1）两车路程差为：

54×2=108（千米）

（2）第二辆车追上所用时间：

108÷（63-54）=12（小时）

答：

第二辆车追上第一辆车所用的时间为12小时。

【小结】这道追及问题是不同时的，要先算出追及路程。

【及时练习】

1、哥哥和弟弟两人同时在一个学校上学，弟弟以每分钟80米的速度先去学校，3分钟后，哥哥骑车以每分钟200米的速度也向学校骑去，那么哥哥几分钟追上弟弟？

2、姐妹两人在同一小学上学，妹妹以每分钟50米的速度从家走向学校，姐姐比妹妹晚10分钟出发，为了不迟到，她以每分钟150米的速度从家跑步上学，结果两人却同时到达学校，求家到学校的距离有多远？

三、课堂小结：

追及问题的基本公式：

路程差=速度差×追及时间；

速度差=路程差÷追及时间；

追及时间=路程差÷速度差

四、作业：

思维训练

五、课后反思：

第二课时

教学时间：

教学内容：

环形跑道的追及问题

教学目标：

掌握不同形式的追及问题的解题思路和基本规律

教学重点：

通过图形分析追及问题

教学难点：

找准解决环形路程的追及问题的突破口

教学过程：

一、复习：

追及问题的三个基本公式。

二、新授课：

【例4】 一条环形跑道长400米，甲骑自行车平均每分钟骑300米，乙跑步，平均每分钟跑250米，两人同时同地同向出发，经过多少分钟两人相遇?

【分析与解】当甲、乙同时同地出发后，距离渐渐拉大再缩小，最终甲又追上乙，这时甲比乙要多跑1圈，即甲乙的距离差为400米，而甲乙两人的速度已经知道，用环形跑道长除以速度差就是要求的时间。

解：

①甲乙的速度差：

300-250=50（米）②甲追上乙所用的时间：

400÷50=8（分钟）答：

经过8分钟两人相遇。

【及时练习】

两名运动员在湖周围环形道上练习长跑，甲每分钟跑250米，乙每分钟跑200米，两人同时同地同向出发，经过45分钟甲追上乙，如果两人同时同地反向出发，经过多少分钟两人相遇？

【例5】在周长400米的圆的一条直径的两端，甲、乙两人分别以每分钟60米和50米的速度，同时同向出发，沿圆周行驶，问2小时内，甲追上乙多少次？

【分析与解】此题属于追及问题，首先明确路程差和速度差，开始甲、乙在圆径的两端，其路程差为圆周长的一半，400÷2=200（米），当甲追上乙后，如果再想追上乙必须比乙多行圆的一周的路程，即一周400米为路程差，根据不同的路程差，我们可以求出甲追上乙一次，所用的时间，在总时间中去掉第一次的追及时间再看剩下的时间里包含几个“甲追上乙所用的时间”就可以求出2小时内甲追上乙的次数。

解：

2小时=120分甲第一次追上乙所用的时间：

400÷2÷（60-50）=20（分）

甲第二次开始每追乙一次所用的时间：

400÷（60-50）=40（分）

甲从第二次开始追上乙多少次：

（120-20）÷40=2次……20秒

甲共追上乙多少次：

2+1=3（次）

答：

甲共追上乙3次。

【小结】这类环形跑道的追及问题一定要明确路程差和速度差。

【及时练习】在周长为300米得圆形跑道一条直径的两端，甲、乙两人分别以每秒7米，每秒5米的骑车速度同时顺时针方向行驶，20分钟内甲追上乙几次？

【例6】在480米的环形跑道上，甲、乙两人同时同地起跑，如果同向而行3分钟20秒相遇，如果背向而行40秒相遇，已知甲比乙快，求甲、乙的速度？

同向行驶，甲乙相遇，说明甲必须比乙多跑一圈，即400米才能与乙相遇，400米正好是两人的路程差，除以甲追赶乙所用的3分20秒，可知甲、乙的速度差。

背向行驶，甲、乙相遇，说明甲、乙必须合走一圈即400米，400米正好上两人的路程总和除以40秒相遇时间，可知甲、乙的速度和。

这样已知甲、乙的速度和及速度差，可将此题转化或和差关系的应用题，这样可求出甲、乙的速度分别是多少？

解：

3分20秒=200秒

甲、    乙的速度和：

400÷40=10（米）

甲、    乙的速度差：

400÷200=2（米）

甲的速度为每秒多少米？

（10+2）÷2=6（米）

乙的速度为每秒多少米？

（10-2）÷2=4（米）

答：

甲的速度为每秒6米，乙的速度为每秒4米。

【小结】这类题目是相遇问题和追及问题的结合，以及和差问题的综合运用。

【及时练习】甲、乙两地相距450米，A、B两人从两地同时相向而行，经过5分钟相遇，已知A每分钟比B每分钟慢6米，求A、B两车的速度各是多少米？

三、课后练习：

反向而行

同向而行

1、一圆形跑道周长300米，甲、乙两人分别从A、B两端同时出发，若反向而行1分钟相遇，若同向而行5分钟，甲可追上乙，求甲、乙两人的速度。

2、甲、乙两人在环形跑道上练长跑，两人从同一地点同时同向出发，已知甲每秒跑6米，乙每秒跑4米，经过20分钟两人共同相遇6次，问这个跑道多长？

3、甲、乙两人环绕周长400米的跑道跑，如果他们从同一地点背向而行，经过2分钟相遇，如果从同一地点同向而行，经过20分钟甲追上乙，求甲、乙两人每分钟的速度各是多少？

四、课后反思：

第三课时

教学时间：

教学内容：

追及问题

教学目标：

掌握复杂的追及问题

教学重点：

教学难点：

教学过程：

一、新授课：

【例7】 一支队伍长350米，以每秒2米的速度前进，一个人以每秒3米的速度从队尾赶到队头，然后再返回队尾，一共要用多少分钟？

分析要求一共要多少分钟，必须先求出从队尾赶到队头要多少分钟，再求出从队头到队尾要用多少分钟，把这两个时间相加即可。

【分析与解】

解：

①赶上队头所需要时间：

350÷（3-2）=350（秒）②返回队尾所需时间：

350÷（3+2）=70（秒）③一共用多少分钟？

350+70=420（秒）=7（分）

答：

一共要用7分钟。

【及时练习】一支队伍长450米，以每秒3米的速度前进，一个通讯员骑车以匀速从队尾赶到队头用了50秒。

如果他再返回队尾，还需要多少秒？

【例8】 某校202名学生排成两路纵队，以每秒3米的速度去春游，前后相邻两个人之间的距离为0.5米。

李老师从队尾骑自行车以每秒5米的速度到队头，然后又返回到队尾，一共要用多少秒？

【分析与解】要求一共要用多少分钟，首先必须求出队伍的长度。

解：

①这支路队伍长度：

（202÷2-1）×0.5=50（米）②赶上队头所需要时间：

50÷（5-3）=25（秒）③返回队尾所需时间：

50÷（5+3）=6.25（秒）④一共用的时间：

25+6.25=31.25（秒）答：

一共要用31.25秒。

【及时练习】

有966名解放军官兵排成6路纵队参加抗洪抢险。

队伍行进速度是每秒3米，前后两排的间隔距离是1.2米。

现有一通讯员从队头赶往队尾用了16秒钟。

如果他再从队尾赶到队头送信还需要多少时间？

【例9】 甲、乙、丙三人从A地出发到B地。

乙比丙晚出发10分钟，40分钟后追上丙；甲比乙晚出发20分钟，100分钟追上乙；甲出发多少分钟后追上丙？

设丙的速度为1米/分钟.

（1）当乙追上丙时，丙共行了1×（40+10）=50米，由此可知乙行50米用了40分钟，乙的速度为50÷40=1.25（米/分钟）；

（2）当甲追乙时，乙已先出发走了20分钟，这时甲乙的距离差为1.25×20=25（米），甲乙的速度差为25÷100=0.25（米）;甲的速度为1.25+0.25=1.5（米）;（3）当甲追丙时，丙已经先出发走了10+20=30分钟，这时甲丙的距离1×（10+20）=30米，速度差为1.5-1=0.5（米/分钟），追及时间为30÷0.5=60（分钟）。

【及时练习】

小明、小峰和小光三人都从甲地到乙地，早上6时小明、小峰两人一起从甲地出发，小明每小时走5千米，小峰每小时走4千米，小光上午8时从甲地出发，傍晚6时，小光、小明同时到达乙地。

小光什么时候追上小峰？

 三、课后练习 

1、甲乙两人在周长400米的环形跑道上竞走，已知乙的速度是平均每分钟80米，甲的速度是乙的1.25倍，甲在乙前100米，问多少分钟后，甲可以追上乙？

2、一队自行车运动员以每小时24千米的速度骑车从甲地到乙地,两小时后一辆摩托车以每小时56千米的速度也从甲地到乙地,在甲地到乙地距离的二分之一处追上了自行车运动员.问:

甲乙两地相距多少千米?

3、自行车队出发12分钟后，通讯员骑摩托车去追他们，在距离出发点9千米处追上了自行车队。

然后，通讯员立刻返回出发点，随后又返回去追上了自行车队，再追上时恰好离出发点18千米，试求自行车队和摩托车的速度。

 四、课后反思：

第四课时

教学内容：

追击问题的练习题

教学目标：

掌握各种类型的追击问题相遇问题

教学重点：

会熟练解决基本的追击问题

教学难点：

会解决复杂的追击问题

【例10】两艘渡船从南岸开往北岸，第一艘以每小时30千米的速度先开，第二艘渡船晚12分钟，速度为每小时40千米，结果两船同时到达，求南北两岸相距多少千米？

第一艘

【分析与解】根据题意画图：

要求南北岸的距离可用第一艘的速度乘以第一艘船所用的时间，或是用第二艘船的速度乘以第二艘船所用的时间。

这两种时间等于追及时间，所以归为追及问题。

第五课时

教学内容：

追击问题的练习题

教学目标：

掌握各种类型的追击问题相遇问题

教学重点：

会熟练解决基本的追击问题

教学难点：

会解决复杂的追击问题

教学过程：

1、甲、乙两地相距54千米，A、B两人同时从两地相向而行，A每小时行4千米，B每小时行5千米，两人经过几小时相遇？

2、甲、乙两人同时从学校向相反方向行驶，甲每分钟行52千米，乙每分钟行50千米，经过7分钟后他们相距多少米？

他们各自离学校有多少米？

3、甲、乙两地相距480米，客车和货车同时从两地相向而行，经过5小时相遇，客车的速度是每小时50千米，求货车的速度是每小时多少千米？

4、小明和小红两人从相距2280米的两地相向而行，小明每分钟行60米，小红每分钟行80米，小明出发3分钟后小红才出发，小红出发几小时后与小明相遇？

相遇时两人各行了多少米？

5、一列火车于下午4时30分从甲站开出，每小时行120千米，经过1小时后，另一辆火车以同样的速度从乙站开出，晚上9时30分两车相遇，问甲、乙两站铁路长多少千米？

6、A、B两地相距360千米，客车和货车从A、B两地相向而行，客车先行1小时，货车才开出，客车每小时行60千米，货车每小时行40千米，客车开出后几小时与货车相遇？

相遇地点离B地多远？

7、甲、乙两车从A、B两地同时相向而行，甲车每小时行40千米，乙车每小时行35千米，两车在距中点15千米处相遇，求AB两地相距是多少？

8、甲、乙两人同时从两地骑车相向而行，甲每小时行18千米，乙每小时行15千米，两人相遇距离中点3千米，起两地距离多少千米？

9、AB两地相900千米，甲、乙两人同时从A到B，甲每分钟行70米，乙每分钟行50米，当甲到达B后立即返回与乙在途中相遇，两人从出发到相遇共经过多少分钟？

10、学生甲和乙同时住一楼，有一次他们同时从家到相距540米的学校上学，甲每分钟行60米，乙每分钟行48米，甲到达学校后发现忘带文具盒，立即返回家去取，在途中遇到乙，那么从开始上学到两人相遇共用几分钟？

11、甲、乙两人从相距1800米的两地同时相向而行，甲每分钟行80米，乙每分钟行70米，乙带了一只小狗与他们同时行驶，狗以每分钟220米的速度向甲跑去，狗遇到甲时已行了多少米？

狗遇到甲后立刻回头向乙跑去，这样狗在甲、乙两人之间来回奔跑，直到两人相遇为止，这只狗一共跑了多少米？

12、一辆客车与一辆货车同时从A、B两地相对开出，经过6小时相遇，相遇后两车都以原速继续前进，又经过4小时客车到达B地，这时货车离A地还有188千米，A、B两地相距多少千米？

13、小玲和小明家相距600米，这天两人同时从家出发向对方家走去，小玲走完全程需要12分钟，小明走完全程需要20分钟，相遇时两人各走了多少米？

14、A、B两地相距460千米，甲列车同时从A地开出2小时后，乙列车从B地开出，经过4小时与甲列车相遇，已知甲列车比乙列车每小时多行10千米，问甲列车平均每小时行多少千米？

15、甲、乙两人在相距90米的路上来回跑步，甲的速度是每秒钟3米，乙的速度是每秒种2米，如果他们同时分别从支炉两端出发，跑了10分钟，那么在这段时间内共相遇几次？