中考总复习圆的切线专题.docx
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中考总复习圆的切线专题
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题型专项(八)与切线有关的证明与计算
类型 1与全等三角形有关
1.(2016· 梧州)如图,过⊙O 上的两点 A,B 分别作切线,交于 BO,AO 的延长线于点 C,
D,连接 CD,交⊙O 于点 E,F,过圆心 O 作 OM⊥CD,垂足为点 M.
求证:
(1)△ACO≌△BDO;
(2)CE=DF.
证明:
(1)∵AC,BD 分别是⊙O 的切线,
∴∠A=∠B=90°.
又∵AO=BO,∠AOC=∠BOD,
∴△ACO≌△BDO.
(2)∵△ACO≌△BDO,
∴OC=OD.
又∵OM⊥CD,∴CM=DM.
又∵OM⊥EF,点 O 是圆心,
∴EM=FM.
∴CM-EM=DM-FM.
∴CE=DF.
2.(2016· 玉林模拟)如图,AB 是⊙O 的直径,∠BAC=60°,P 是 OB 上一点,过 P 作 AB
的垂线与 AC 的延长线交于点 Q,过点 C 的切线 CD 交 PQ 于点 D,连接 OC.
(1)求证:
△CDQ 是等腰三角形;
(2)如果△CDQ≌△COB,求 BP∶PO 的值.
解:
(1)证明:
由已知得∠ACB=90°,∠ABC=30°.
∴∠Q=30°,∠BCO=∠ABC=30°.
∵CD 是⊙O 的切线,CO 是半径,
∴CD⊥CO.
∴∠DCQ=∠BCO=30°.
∴∠DCQ=∠Q.
故△CDQ 是等腰三角形.
(2)设⊙O 的半径为 1,则 AB=2,OC=1,BC= 3.
∵等腰三角形 CDQ 与等腰三角形 COB 全等,
∴CQ=CB= 3.
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∴AQ=AC+CQ=1+ 3.
11+ 3
22
3- 3
2
2
.
∴BP∶PO= 3.
3.(2016· 柳州)如图,AB 为△ABC 外接圆⊙O 的直径,点 P 是线段 CA 的延长线上一点,
点 E 在弧上且满足 PE2=PA·PC,连接 CE,AE,OE 交 CA 于点 D.
(1)求证:
△PAE∽△PEC;
(2)求证:
PE 为⊙O 的切线;
1
2
证明:
(1)∵PE2=PA·PC,
PEPA
PCPE
又∵∠APE=∠EPC,
∴△PAE∽△PEC.
(2)∵△PAE∽△PEC,∴∠PEA=∠PCE.
1
2
1
2
∴∠OAE=∠OEA.
∵∠AOE+∠OEA+∠OAE=180°,
∴∠AOE+2∠OEA=180°,
即 2∠PEA+2∠OEA=180°.
∴∠PEA+∠OEA=90°.
∴PE 为⊙O 的切线.
(3)设⊙O 的半径为 r,则 AB=2r.
∵∠B=30°,∠PCB=90°,∴AC=r,BC= 3r.
过点 O 作 OF⊥AC 于点 F,
1
22
r3
22
在△ODF 与△PDE 中,
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⎧∠ODF=∠PDE,
⎨∠OFD=∠PED,
⎩OF=PE,
∴△ODF≌△PDE.∴DO=DP.
类型 2与相似三角形有关
4.(2016· 泰州)如图
在ABC 中,∠ACB=90°,在 D 为 AB 上一点,以 CD 为直径的⊙O
交 BC 于点 E,连接 AE 交 CD 于点 P,交⊙O 于点 F,连接 DF,∠CAE=∠ADF.
(1)判断 AB 与⊙O 的位置关系,并说明理由;
(2)若 PF∶PC=1∶2,AF=5,求 CP 的长.
解:
(1)AB 是⊙O 切线.
理由:
∵∠ACB=90°,
∴∠CAE+∠CEA=90°.
∵∠CAE=∠ADF,∠CDF=∠CEA,
∴∠ADF+∠CDF=90°.
∴AB 是⊙O 切线.
(2)连接 CF.
∵∠ADF+∠CDF=90°,∠PCF+∠CDF=90°,
∴∠ADF=∠PCF.
∴∠PCF=∠PAC.
又∵∠CPF=∠APC,
PCPF
PAPC
∴PC2=PF·PA.设 PF=a,则 PC=2a.
∴4a2=a(a+5).
5
3
10
3
5.(2015· 北海)如图,AB,CD 为⊙O 的直径,弦 AE∥CD,连接 BE 交 CD 于点 F,过点 E
作直线 EP 与 CD 的延长线交于点 P,使∠PED=∠C.
(1)求证:
PE 是⊙O 的切线;
(2)求证:
ED 平分∠BEP;
(3)若⊙O 的半径为 5,CF=2EF,求 PD 的长.
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解:
(1)证明:
连接 OE.
∵CD 是圆 O 的直径,
∴∠CED=90°.
∵OC=OE,
∴∠C=∠OEC.
又∵∠PED=∠C,
∴∠PED=∠OEC.
∴∠PED+∠OED=∠OEC+∠OED=90°,即∠OEP=90°.
∴OE⊥EP.
又∵点 E 在圆上,
∴PE 是⊙O 的切线.
(2)证明:
∵AB,CD 为⊙O 的直径,
∴∠AEB=∠CED=90°.
∴∠AEC=∠DEB(同角的余角相等).
又∵∠PED=∠C,AE∥CD,
∴∠PED=∠DEB,
即 ED 平分∠BEP.
(3)设 EF=x,则 CF=2x.
∵⊙O 的半径为 5,
∴OF=2x-5.
在
OEF 中,OE2=EF2+OF2,即 52=x2+(2x-5)2,解得 x=4,
∴EF=4.
∴BE=2EF=8,CF=2EF=8.
∴DF=CD-CF=10-8=2.
∵AB 为⊙O 的直径,
∴∠AEB=90°.
∵AB=10,BE=8,
∴AE=6.
∵∠BEP=∠A,∠EFP=∠AEB=90°,
∴△EFP∽△AEB.
PFEFPF4
∴BE=AE,即 8 =6.
3
.
1610
33
6.(2014· 桂林)如图,△ABC 为⊙O 的内接三角形,P 为 BC 延长线上一点,∠PAC=∠B,
AD 为⊙O 的直径,过点 C 作 CG⊥AD 于点 E,交 AB 于点 F,交⊙O 于点 G.
(1)判断直线 PA 与⊙O 的位置关系,并说明理由;
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(2)求证:
AG2=AF·AB;
(3)若⊙O 的直径为 10,AC=2 5,AB=4 5
求AFG 的面积.
解:
(1)PA 与⊙O 相切.
理由:
连接 CD.
∵AD 为⊙O 的直径,∴∠ACD=90°.∴∠D+∠CAD=90°.
∵∠B=∠D,∠PAC=∠B,
∴∠PAC=∠D.
∴∠PAC+∠CAD=90°,即 DA⊥PA.
∵点 A 在圆上,∴PA 与⊙O 相切.
(2)证明:
连接 BG.
∵AD 为⊙O 的直径,CG⊥AD,
︵︵
∴AC=AG.∴∠AGF=∠ABG.
∵∠GAF=∠BAG,∴△AGF∽△ABG.
∴AG∶AB=AF∶AG.∴AG2=AF·AB.
(3)连接 BD.
∵AD 是直径,∴∠ABD=90°.
∵AG2=AF·AB,AG=AC=2 5,AB=4 5,
AG2
AB
∵CG⊥AD,∴∠AEF=∠ABD=90°.
∵∠EAF=∠BAD
∴AEF∽△ABD.
AFAE5
=,即=
∴EF= AF2-AE2=1.
∵EG= AG2-AE2=4,
∴FG=EG-EF=4-1=3.
11
∴S△AFG=2FG·AE=2×3×2=3.
类型 3与锐角三角函数有关
7.(2014· 梧州)如图,已知⊙O 是以 BC 为直径的△ABC 的外接圆,OP∥AC,且与 BC 的
垂线交于点 P,OP 交 AB 于点 D,BC,PA 的延长线交于点 E.
(1)求证:
PA 是⊙O 的切线;
3
5
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解:
(1)证明:
连接 OA.
∵AC∥OP,∴∠AOP=∠OAC,∠BOP=∠OCA.
∵OA=OC,∴∠OCA=∠OAC.∴∠AOP=∠BOP.
又∵OA=OB,OP=OP,
∴△AOP≌△BOP.∴∠OAP=∠OBP.
∵BP⊥CB,∴∠OAP=∠OBP=90°.∴OA⊥PA.
∴PA 是⊙O 的切线.
(2)∵PB⊥CB,∴PB 是⊙O 的切线.
又∵PA 是⊙O 的切线,
∴PA=PB=6.
PBAO3
EPEO5
在
OPB 中,OP= 62+32=3 5.
∵BC 为⊙O 直径,∴∠CAB=90°.
∴∠CAB=∠OBP=90°,∠OCA=∠BOP.
ACCB
BOOP
CB·BO186 5
OP3 55
8.(2015· 来宾)已知⊙O 是以 AB 为直径的△ABC 的外接圆,OD∥BC 交⊙O 于点 D,交
AC 于点 E,连接 AD,BD,BD 交 AC 于点 F.
(1)求证:
BD 平分∠ABC;
(2)延长 AC 到点 P,使 PF=PB,求证:
PB 是⊙O 的切线;
3
5
解:
(1)证明:
∵OD∥BC,
∴∠ODB=∠CBD.
∵OB=OD,
∴∠OBD=∠ODB.
∴∠CBD=∠OBD.
∴BD 平分∠ABC.
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(2)证明:
∵⊙O 是以 AB 为直径的△ABC 的外接圆,
∴∠ACB=90°.∴∠CFB+∠CBF=90°.
∵PF=PB,∴∠PBF=∠CFB.
由
(1)知∠OBD=∠CBF,
∴∠PBF+∠OBD=90°.∴∠OBP=90°.
∴PB 是⊙O 的切线.
(3)∵在
ABC 中,∠ACB=90°,AB=10,
BCBC3
AB105
∴BC=6,AC= AB2-BC2=8.
∵OD∥BC,
∴△AOE∽△ABC,∠AED=∠OEC=180°-∠ACB=90°.
ACBCAB, 8 = 6 =10.
∴AE=4,OE=3.
∴DE=OD-OE=5-3=2.
∴AD= AE2+DE2= 42+22=2 5.
9.(2016· 柳州模拟)如图,已知:
AC 是⊙O 的直径,PA⊥AC,连接 OP,弦 CB∥OP,直
线 PB 交直线 AC 于点 D,BD=2PA.
(1)证明:
直线 PB 是⊙O 的切线;
(2)探究线段 PO 与线段 BC 之间的数量关系,并加以证明;
(3)求 sin∠OPA 的值.
解:
(1)证明:
连接 OB.
∵BC∥OP,OB=OC,
∴∠BCO=∠POA,
∠CBO=∠POB,∠BCO=∠CBO.
∴∠POA=∠POB.又∵PO=PO,OB=OA,
∴△POB≌△POA.∴∠PBO=∠PAO=90°.
∴PB 是⊙O 的切线.
3
2
证明:
∵△POB≌△POA,∴PB=PA.
∵BD=2PA,∴BD=2PB.
∵BC∥PO
∴DBC∽△DPO.
BCBD2
POPD3
(3)∵CB∥OP
∴DBC∽△DPO.
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DOPD33
1
3
设 OA=x,PA=y.则 OD=3x,OB=x,BD=2y.
在
OBD 中,由勾股定理得(3x)2=x2+(2y)2,即 2x2=y2.
∵x>0,y>0,∴y= 2x,OP= x2+y2= 3x.
OAx13
∴sin∠OPA====.
类型 4与特殊四边形有关
10.(2016· 玉林)如图,AB 是⊙O 的直径,点 C,D 在圆上,且四边形 AOCD 是平行四边形,
过点 D 作⊙O 的切线,分别交 OA 延长线与 OC 延长线于点 E,F,连接 BF.
(1)求证:
BF 是⊙O 的切线;
(2)已知圆的半径为 1,求 EF 的长.
解:
(1)证明:
连接 OD.
∵EF 为⊙O 的切线,
∴∠ODF=90°.
∵四边形 AOCD 为平行四边形,
∴AO=DC,AO∥DC.
又∵DO=OC=OA,
∴DO=OC=DC.
∴△DOC 为等边三角形.
∴∠DOC=∠ODC=60°.
∵DC∥AO,
∴∠AOD=∠ODC=60°.
∴∠BOF=180°-∠COD-∠AOD=60°.
在△DOF 和△BCF 中,
⎧DO=BO,
⎨∠DOF=∠BOF,
⎩OF=OF,
∴△DOF≌△BOF.
∴∠ODF=∠OBF=90°.
∴BF 是⊙O 的切线.
(2)∵∠DOF=60°,∠ODF=90°,
∴∠OFD=30°.
∵∠BOF=60°,∠BOF=∠CFD+∠E,
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∴∠E=∠OFD=30°.
∴OF=OE.
又∵OD⊥EF,
∴DE=DF.
在
ODF 中,∠OFD=30°.
∴OF=2OD.
∴DF= OF2-OD2= 22-12= 3.
∴EF=2DF=2 3.
11.(2016· 宁波)如图,已知⊙O 的直径 AB=10,弦 AC=6,∠BAC 的平分线交⊙O 于点 D,
过点 D 作 DE⊥AC 交 AC 的延长线于点 E.
(1)求证:
DE 是⊙O 的切线;
(2)求 DE 的长.
解:
(1)证明:
连接 OD.
∵AD 平分∠BAC,
∴∠DAE=∠DAB.
∵OA=OD,
∴∠ODA=∠DAO.
∴∠ODA=∠DAE.
∴OD∥AE.
∵DE⊥AC,
∴OD⊥DE.
∴DE 是⊙O 切线.
(2)过点 O 作 OF⊥AC 于点 F.
∴AF=CF=3.
∴OF= OA2-AF2= 52-32=4.
∵∠OFE=∠DEF=∠ODE=90°,
∴四边形 OFED 是矩形.
∴DE=OF=4.
12.(2015·桂林)如图,四边形 ABCD 是⊙O 的内接正方形,AB=4,PC,PD 是⊙O 的两条
切线,C,D 为切点.
(1)如图 1,求⊙O 的半径;
(2)如图 1,若点 E 是 BC 的中点,连接 PE,求 PE 的长度;
(3)如图 2,若点 M 是 BC 边上任意一点(不含 B,C),以点 M 为直角顶点,在 BC 的上方作
∠AMN=90°,交直线 CP 于点 N,求证:
AM=MN.
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解:
(1)连接 OD,OC.
∵PC,PD 是⊙O 的两条切线,C,D 为切点,
∴∠ODP=∠OCP=90°.
∵四边形 ABCD 是⊙O 的内接正方形,
∴∠DOC=90°,OD=OC.
∴四边形 DOCP 是正方形.
∵AB=4,∠ODC=∠OCD=45°,
∴DO=CO=DC· sin45°=4×
2
2
(2)连接 EO,OP.
∵点 E 是 BC 的中点,
∴OE⊥BC,∠OCE=45°,
则∠EOP=90°.
∴EO=EC=2,OP= 2CO=4.
∴PE= OE2+OP2=2 5.
(3)证明:
在 AB 上截取 BF=BM.
∵AB=BC,BF=BM,
∴AF=MC,∠BFM=∠BMF=45°.
∵∠AMN=90°,
∴∠AMF+∠NMC=45°,∠FAM+∠AMF=45°.
∴∠FAM=∠NMC.
∵由
(1)得 PD=PC,∠DPC=90°,
∴∠DCP=45°.
∴∠MCN=135°.
∵∠AFM=180°-∠BFM=135°,
⎧∠FAM=∠CMN,
在△AFM 和△MCN 中,⎨AF=MC,
⎩∠AFM=∠MCN,
∴△AFM≌△MCN(ASA).
∴AM=MN.
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