中考数学专题练习等腰三角形7.docx
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中考数学专题练习等腰三角形7
2019-2020年中考数学专题练习等腰三角形7
等腰三角形是一种特殊的三角形,它具有一般三角形的性质,同时,还具有自身的特殊性,这些特殊性使它比一般三角形应用更加广泛.等腰三角形的性质和判定为证明两个角相等和两条线段相等提供了依据.等腰三角形是轴对称图形,底边上的高所在直线是它的对称轴,对于某些含有(或隐含)等腰三角形条件的问题,可以作等腰三角形底边上的高或构建等腰三角形、等边三角形找到解决问题的途径.
1-1
例1如图1-1,△ABC中,AB=BC,M、N为BC边上两点,且∠BAM=∠CAN,MN=AN,求∠MAC的度数.
分析AB=AC,MN=AN可知△ABC和△AMN均为等腰三角形,充分利用等腰三角形的性质寻找所求角间的关系.
练习1
1.如图,已知△ABC中,AB=AC,AD=AE,∠BAE=30°,则∠DEC等于().
A.7.5°B.10°C.12.5°D.18°
2.如图,AA′、BB′分别是△ABC的外角∠EAB和∠CBD的平分线,且AA′=AB=B′B,A′、B、C在一直线上,则∠ACB的度数是多少?
3.如图,等腰三角形ABC中,AB=BC,∠A=20°.D是AB边上的点,且AD=BC,连结CD,则∠BDC=________.
1-5
例2如图1-5,D是等边三角形ABC的AB边延长线上一点,BD的垂直平分线HE交AC延长线于点E,那么CE与AD相等吗?
试说明理由.
分析要说明似乎没有任何关系的两条线段相等,往往需要做一些工作,如添加辅助线,构造全等三角形等,从而达到解决问题的目的.
练习2
1.已知如图1-6,在△ABC中,AB=CD,D是AB上一点,DE⊥BC,E为垂足,ED的延长线交CA的延长线于点F,判断AD与AF相等吗?
1-61-71-8
2.如图1-7,△ABC是等腰直角三角形,∠BAC=90°,点D是△ABC内一点,且∠DAC=∠DCA=15°,则BD与BA的大小关系是()
A.BD>BAB.BD 3.已知: 如图1-8,在△ABC中,AD是BC边上的中线,E是AD上一点,且BE=AC,延长BE交AC于F,AF与EF相等吗? 为什么? 1-9 例3已知: 如图1-9,△ABD和△BEC均为等边三角形,M、N分别为AE和DC的中点,那么△BMN是等边三角形吗? 说明理由. 分析要说明一个三角形是等边三角形,只要能够证明这个三角形满足“三条边相等或三个角相等或一个角是60°的等腰三角形”即可.本题只需利用三角形全等证得BM=BN,且∠MBN=60°即可. 练习3 1.已知: 如图1-10,在等边三角形ABC中,BD=CE=AF,AD与BE交于G,BE与CF交于H,CF与AD交于K,试判断△GHK的形状. 1-10 2.已知: 如图1-11,△ABC是等边三角形,E是AC延长线上的任意一点,选择一点D,使△CDE是等边三角形,如果M是线段AD的中点,N是线段BE的中点,那么△CMN是等边三角形吗? 为什么? 1-11 3.已知: 如图1-12,等边三角形ABC,在AB上取点D,在AC上取点E,使AD=AE,作等边三角形PCD、QAE和RAB,则以P、Q、R为顶点的三角形是等边三角形,请说明理由. 1-13 例4已知: 如图1-13,等腰△ABC中,AB=AC,∠A=100°,∠ABC的平分线交AC于E,试比较AE+BE与BC的大小? 分析说明一条线段的长是否等于其他两条线段长的和,常常采用截取等长线段的方法,将那些本来没有关系的线段放在条线段上,这样可迎刃而解. 解: 在BC上截取BF=BE,BD=BA,连结FE、DE, 练习4 1.如图1-14,在△ABC中,AB=AC,P为底边BC上的一点,PD⊥AB于D,PE⊥AC于E,CF⊥AB于F,那么PD+PE与CF相等吗? 2.已知: 如图1-15,△ABC和△ADE都是等边三角形.B、C、D在一条直线上,说明CE与AC+CD相等的理由. 3.已知: 如图1-16,△ABC是等边三角形,延长AC到D,以BD为一边作等边三角形BDE,连结AE,则AD_______AE+AB.(填“>”或“=”或“<”) 1-16 1-17 例5已知: 如图1-17,△ABC中,AB=AC,CE是AB边上的中线,延长AB到D,使BD=AB,那么CE是CD的几分之几? 分析延长线段到倍长,再证明三角形全等,往往是说明线段倍分关系的重要途径和必要手段. 解: 延长CE到F,使EF=CE,连结BF,CE是AB的中线,∴AE=EB. 练习5 1.如图1-18,D、E分别是等边三角形ABC两边BC、AC上的点,且AE=CD,连结BE、AD交于点P.过B作BQ⊥AD于Q,请说明BP是PQ的2倍. 1-18 2.如图1-19,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,BE平分∠ABC,CE⊥BE,那么CE是BD的几分之几? 1-19 3.已知: 如图1-20,在△ABC中,AB=AC,AD和BE是高,它们相交于H,且AE=BE,那么AH是BD的________倍. 1-20 答案: 练习1 1.解: 设∠DEC=x, ∵AD=AE, ∴∠ADE=∠AED. ∴x=∠AEC-∠ADE=(∠B+30°)-∠ADE=(∠B+30°)-(∠C+x) ∵AB=AC,∴∠B=∠C ∴2x=30°,x=15°,故选C. 2.解: ∵AB=BB′, ∴∠BAB′=∠BB′A,∠B′BD=∠BAB′+∠BB′A=2∠BAB′. 又∠CBB′=∠DBB′, ∴∠ACB=∠CBB′+∠CB′B=3∠CAB. 设∠CAB=x,∴∠ACB=3x,∠CBD=4x,又AA′=AB, ∴∠A′=∠ABA′=∠CBD=4x. ∵AA′平分∠EAB. ∴∠A′AB= (180°-x). 又∠A′AB=180°-(∠A′+∠ABA′)=180°-8x ∴ (180°-x)=180°-8x. ∴x=12°,故∠ACB=36°. 3.解: 如图,作△AED≌△BAC,连结EC. 则∠AED=∠BAC=20°, ∠DAE=∠ADE=∠B=∠ACB=80°. ∴∠CAE=∠DAE-∠BAC=80°-20°=60°. 又∵AB=AE=AC, ∴△ACE是正三角形,AE=EC=ED. ∴∠DEC=∠AEC-∠AED=40°. ∴∠EDC= (180°-∠DEC)=70°. ∴∠BDC=180°-(∠ADE+∠EDC)=30°. 练习2 1.解: ∵AB=AC,∴∠B=∠C. ∵DE⊥BC,∴∠DEB=∠FEC=90°. 在Rt△DEB与Rt△FEC中, ∵∠B=∠C,∴∠BDE=∠F. ∵∠FDA=∠BDE, ∴∠FDA=∠F,故AD=AF. 2.解: 以AD为边在△ADB内作等边△ADE,连结BE. 则∠1=∠2=∠3=60°. ∴AE=ED=AD. ∵∠DAC=15°, ∴∠EAB=90°-∠1-∠DAC=15°. ∴∠DAC=∠EAB. 又∵DA=AE,AB=AC, ∴△EAB≌△DAC. ∴∠EBA=∠DCA=15°. ∴∠BEA=180°-∠EBA-∠EAB=150°. ∵∠BED=360°-∠BEA-∠AED=150°. ∴∠BEA=∠BED. 又∵EB=EB,AE=ED. ∴△BEA≌△BED,∴BD=BA. 故选择C. 3.解: 延长AD到G,使DG=AD,连结BG, ∵BD=DC,∠BDG=∠CDA,AD=DG, ∴△ADC≌△BDE. ∴AC=BG,∠G=∠EAF, 又∵BE=AC,∴BE=BG. ∴∠G=∠BED,而∠BED=∠AEF, ∴∠AEF=∠AFE,故FA=FE. 练习3 1.解: ∵△ABC是等边三角形, ∴AB=BC=CA ∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°. 又∵BD=AF=CE, ∴△ABD≌△BCE≌△CAF. ∴∠1=∠2=∠3. ∴∠BAC-∠1=∠ABC-∠2=∠ACB-∠3. 即∠CAK=∠ABG=∠BCH. 又∵AB=BC=CA, ∴△ABG≌△BCH≌△CAK. ∴∠AGB=∠BHC=∠CKA. 即∠KGH=∠GHK=∠GKH. 故△GKH是等边三角形. 2.解: 由于△ABC与△CDE均为等边三角形,A、C、E三点共线,得知: CA=CB,CD=CE,∠ACD=∠BCE, 故△ACD≌△BCE. ∴∠ADC=∠BEC,AD=BE. 又DM= AD,EN= BE, ∴△DCM≌△ECN. ∴∠DCM=∠ECN,CM=CN. 又∠ECN+∠NCD=∠ECD=60°, ∴∠NCM=∠MCD+∠NCD=60°. ∴△CMN是等边三角形. 3.解: 连结BP. ∵△ABC与△CDP均为等边三角形, ∴AC=BC,CD=CP,∠ACB=∠DCP=60°. ∴∠1=∠2, ∴△ADC≌△BPC. ∴∠CBP=∠DAC=60°. ∵∠RBP=∠RBA+∠ABC+∠CBP=60°+60°+60°=180°, ∴R、B、P三点共线. 又∵∠RAQ=∠RAB+∠BAC+∠CAQ=60°+60°+60°=180°, ∴R、A、Q三点共线. 而AQ=AE=AD=BP, ∴RQ=RA+AQ=RB+BP=RP. 又∠R=60°,∴△PQR是等边三角形. 故以P、Q、R为顶点的三角形是等边三角形. 练习4 1.解: ∵S△ACB=S△APB+S△APC, 即 AB·CF= AB·PD+ AB·PE. ∴CF=PD+PE. 2.解: ∵AC=AB,∠CAE=∠BAD,AE=AD, ∴△AEC≌△ADB. ∴CE=BD. 又∵BD=BC+CD=AC+CD. ∴CE=AC+CD. 3.解: ∵△ABC和△BDE均为等边三角形. ∴∠ABE=60°-∠EBC=∠CBD,AB=BC,BE=BD. ∴△ABE≌△CBD. ∴AE=CD.又∵AB=AC, ∴AD=AC+CD=AB+AE. 练习5 1.解: ∵∠CAB=∠C=60°,AE=CD,AB=AC,∴△ADC≌△BEA,∴∠CAD=∠EBA. 又∠BPQ=∠PAB+∠PBA=∠PAB+∠CAD=60°, ∴在Rt△PQB中,∠PBQ=30°, ∴BP=2PQ. 2.解: 延长CE交BA的延长线于F, ∵∠1=∠2,∠BEC=∠BEF=90°,BE=BE, ∴△BEC≌△BEF. ∴BC=BF,CE=EF, ∴CE= CF. 又∵∠2+∠3=90°,∠4+∠5=90°,∠3=∠4, ∴∠2=∠5,且AB=AC. ∴Rt△AFC≌Rt△ADB. ∴CF=BD.故CE= BD. 3.解: ∵AB=AC,AD⊥BC, ∴BD=DC,∠DAC+∠C=90°. 又∵BE⊥AC,∴∠EBC+∠C=90°. ∴∠DAC=∠EBC. 在△AEH和△BEC中, ∵∠DAC=∠EBC,AE=BE. ∠AEH=∠BEC=90°, ∴△AEH≌△BEC,∴AH=BC. 又BC=2BD,故AH=2BD. 2019-2020年中考数学专题练习统计与概率 一、选择题(每小题3分,共24分) 1.要反映某地方某一周中每天的最高气温的变化趋势,宜采用( ) A.条形统计图B.扇形统计图 C.折线统计图D.频数分布统计图 2.一组数据3,3,4,2,8的中位数和平均数分别是( ) A.3和3B.3和4 C.4和3D.4和4 3.一组数据: 12,5,9,5,14,下列说法不正确的是() A.平均数是9B.中位数是9 C.众数是5D.极差是5 4.下列说法错误的是( ) A.必然事件的概率为1 B.数据1、2、2、3的平均数是2 C.数据5、2、-3、0的极差是8 D.如果某种游戏活动的中奖率为40%,那么参加这种活动10次必有4次中奖 5.袋中有红球4个,白球若干个,它们只有颜色上的区别.从袋中随机地取出一个球,如果取到白球的可能性较大,那么袋中白球的个数可能是() A.3个B.不足3个 C.4个D.5个或5个以上 6.在一个不透明的口袋中,装有5个红球和3个绿球,这些球除了颜色外都相同,从口袋中随机摸出一个球,它是红球的概率是( ) A. B. C.1D. 7.口袋中装有若干个只有颜色不同的球,如果有4个红球,且摸出红球的概率为 ,那么袋中共有球的个数为() A.6个B.9个 C.10个D.12个 8.小英同时掷甲、乙两枚质地均匀的小立方体(立方体的每个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6).记甲立方体朝上一面上的数字为 、乙立方体朝上一面朝上的数字为 ,这样就确定点P的一个坐标( ),那么点P落在双曲线 上的概率为() A. B. C. D. 二、填空题: (每小题3分,共24分) 9.数据1,2,3,4,5的平均数是. 10.某车间5名工人日加工零件数分别为6,10,4,5,4,则这组数据的中位数是. 11.某校篮球队12名同学的身高如下表: 身高(㎝) 180 186 188 192 195 人数 1 2 5 3 1 则该校篮球队12名同学身高的众数是. 12.为测试两种电子表的走时误差,做了如下统计: 平均数 方差 甲 0.4 0.026 乙 0.4 0.137 则这两种电子表走时稳定的是 . 13.某初中学校的男生、女生以及教师人数的扇形统计图如图,若该校男生、女生以及教师的总人数为1200人,则根据图中信息,可知该校教师共有人. 14.有一个能自由转动的转盘如图,盘面被分成8个大小与性状都相同的扇形,颜色分为黑白两种,将指针的位置固定,让转盘自由转动,当它停止后,指针指向白色扇形的概率是. 第13题图第14题图 15.五张分别写有-1,2,0,-4,5的卡片(除数字不同以外,其余都相同),现从中任意取出一张卡片,则该卡片上的数字是负数的概率是 . 16.为估算湖里有多少条鱼,先捕上100条做了标记,然后再放回湖里,过一段时间(鱼群完全混合)后,再捕上200条鱼,发现其中带标记的鱼有20条,那么湖里大约有条鱼. 三、解答题(本大题共8个小题,满分52分): 17.(本题4分)已知一组数据4,13,24的权数分别是 ,试求这组数据的加权平均数. 18.(满分4分)为了解居民的用水情况,小莹同学对小区300户家庭用水情况进行了抽样调查,他在300户家庭中,随机调查了50户家庭5月份的用水量情况,结果如图. ⑴.试估计该小区5月份用水量不高于12吨的户数占小区总户数的百分比; ⑵.把图中每组用水量的值用该组的中间值(如0~6的中间值为3)来替代,估计该小区5月份的用水量. 19.(满分6分)下表是初三某班女生的体重检查结果: 体重(kg) 34 35 38 40 42 45 50 人数 1 2 5 5 4 2 1 根据表中信息,回答下列问题: ⑴.该班女生体重的中位数是; (2).该班女生的平均体重是kg; (3).根据上表中的数据补全条形统计图. 20.(满分6分)学校举行舞蹈比赛,主要从服装、队伍、效果三个项目.按服装占 ,队伍占 ,效果占 计算加权平均数,作为最后评定的总成绩. 九⑴.班和九⑵.班的各项成绩如下表: 参赛班级 服装 队伍 效果 九⑴.班 70 80 88 九⑵.班 80 75 ⑴.计算九⑴.班的总成绩; ⑵.若九⑵.班要在总成绩上超过小明同学,则他们的效果分 应超过多少分? 21.(满分6分)“中国梦”是中华民族每一个人的梦,也是每一个中小学生的梦,各中小学开展经典诵读活动,无疑是“中国梦”教育这一宏大乐章里的响亮音符,学校在经典诵读活动中,对全校学生用A、B、C、D四个等级进行评价,现从中抽取若干个学生进行调查,绘制出了两幅不完整的统计图,请你根据图中信息解答下列问题: (1)共抽取了多少个学生进行调查? (2)将图甲中的折线统计图补充完整. (3)求出图乙中B等级所占圆心角的度数. 22.(满分8分)网瘾低龄化问题已引起社会各界的高度关注,有关部门在全国范围内对12-35岁的网瘾人群进行了简单的随机抽样调查,得到了如图的两个不完全统计图. 请根据图中的信息,解决下列问题: ⑴.求条形统计图中a的值; ⑵.求扇形统计图中18-23岁部分的圆心角; ⑶.据报道,目前我国12-35岁网瘾人数约为2000万,请估计其中12-23岁的人数 23.(满分8分)一只不透明的袋子中装有颜色分别为红、黄、蓝、白的球各1个,这些球除颜色外都相同,求下列事件的概率: ①搅匀后从中任意摸出1个球,恰好是红球; ②搅匀后从中任意摸出1个球,记录下颜色后放回袋子中并搅匀,再从中任意摸出1个球,两次都是是红球; 24.(满分10分)株洲市通过网络投票选出了一批“最有孝心的美少年”.根据各县市区的入选结果制作出如下统计表,后来发现,统计表中前三行的所有数据都是正确的,后三行中有一个数据是错误的.请回答下列问题: ⑴.统计表中 = , = ; ⑵.统计表后三行中哪一个数据是错误的? 该数据的正确值是多少? ⑶.株洲市决定从来自炎陵县的4位“最有孝心的美少年”中,任选两位作为市级形象代言人.A、B是炎陵县“最有孝心的美少年”中的两位,问A、B同时入选的概率是多少? 统计与概率 1~8: CBDDDADC;9.3;10.5;11.188;12.甲;13.108;14. ;15. ;16.1000;17. ;18. (1)52%; (2)3960吨19. (1)40, (2)40.1;(3).图略;20. (1)83; (2)90;21.⑴ 人;⑵.图略;⑶. ;22.⑴. ;⑵. ;⑶.1000万;23. (1) ; (2) ;24.⑴0.1,6 ; ⑵.0.25,0.3; ⑶. 。
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