第1章多自由度系统的固有振动特性.docx

第1章多自由度系统的固有振动特性.docx

《第1章多自由度系统的固有振动特性.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第1章多自由度系统的固有振动特性.docx（20页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

第1章多自由度系统的固有振动特性

（1-1）

2.质量矩阵物理意义

动能

第一章多自由度系统的固有振动特性

§.1概述

实际工程结构的振动往往用一个有限的多自由度振动系统来描述。

多自由度系统在数学上用一组常微分方程来描述，又称为集中参数系统。

因此研究多自由度系统振动特性是研究结构振动的基础和出发点。

§・2无阻尼系统的自由振动

1•振动方程

[M]{u}[K]{u}={0}

例外：

纯静态位移｛u：

：

｝使

1\_T“_

（1-3）

{u：

》[M]{u：

}=0

2

项，此时质量阵不能保证正定。

即可以找到这样的一个位移向量使上式成立。

3.刚度矩阵的物理意义势能

1t〜

au

u二{u}[K]{u}_0

kijkji

（1-4）

2

ouicuj

（1）刚度矩阵反映了系统的势能

（2）刚度矩阵是半正定的（刚体位移对应的势能为零）

（3）刚度矩阵是对称的

（4）

4.特征方程

各个自由度上的运动互不相同，但都是同频的简谐振动

求解上述方程是结构振动分析最基本的任务之一。

5.几个基本概念

2

（1）固有频率特征方程的根为-.i即为固有频率，它反映了结构自由

1）置｛■;｝中某一分量为1

2）置｛＜｝中绝对值最大的分量为1

3）置模态质量为1，

（5）刚体模态：

对应于

（1—9）

-^-0{'o}t[K]{'o^o

纯刚体模态：

仅含有一种刚体运动

（5）纯静态模态：

使[M]｛u：

：

｝=｛0｝的模态，在非一致质量阵中，某些对角

元素可以为零，可以找到一组位移使

[M]{u：

：

}={0}（1—10）

（6）

单频：

i式j,

«i羊灼j称⑷

iQj为单频。

（7）

重频：

i式j.

©i=蛍j称国

i©j为重频，但相应有两个模态。

（8）

密频或近频：

i式j,«i

d通常当Oi-Oj<10-时，可以称为密频

§・3固有频率与固有模态的特性

1.正交性

指模态对刚度矩阵［K］及质量阵［M］的加权正交性:

{s}T[M]{；}=0

{s}T[K]{；}=0

证明：

由

分别前乘｛-s｝T｛：

｝T，然后相减并利用质量阵和刚度阵的对称性。

【问题】:

（1）重频或密频时，正交性是否成立。

一般不正交，但线性无关，可以用正交化方法找到两个对应的正交向量。

（2）对于刚体模态是否有正交性？

对｛'o｝由于有［K］｛'o｝=｛0｝故有［K］正交性。

（3）对于纯静态模态是否有正交性？

对｛:

｝由于有［M］｛：

：

｝=｛0｝故有［M］正交性。

但｛-0｝不一定［M］正交，｛J不一定［K］正交。

同样需要做变换，找到一组新的向量，以满足对质量阵和刚度阵的正交性。

（4）与正交性有关的一些概念

模态矩阵

［"］=【｛i｝｛-2r｛\｝］

广义质量阵（模态质量阵）

diag［Mr］=［「］T［M］［门］

广义刚度阵（模态刚度阵）

diag［「］=［：

•：

『［"［：

•：

」］

（1—13）

（1—14）

2

Kr二M「r

若模态已经按模态质量为1归一化，则

2diag［Mr］二［I］diag［K「］二diag［」］

（4）解耦：

利用模态矩阵作变换阵，以模态坐标作为新坐标系，对方程作线性变换

{u（t）}=［：

•：

」］{q（t）}（1—15）

则有

Mrqr（t）-Kq（t）=0（r=1,2,…N）（1—16）

2.展开定理

（1）位移展开定理

N维空间中任一位移向量{u（t）}可以按该空间中的模态坐标展开

N

{u（t）}=[「]{q}二為qi（t）{'i}

（1—17）

1

qr（t）—{r}T[M]{u（t）}

Mr

（2）能量展开定理

系统总动（势）能为各阶主振型的动（势）能之和。

NN

T-7TrU-7Ur（1—18）

11

11t1TT

Tmauj{u}[M]{u}{q}[：

G][M][G]{q}

2

（1—19）

ij22

（2）高阶模态对应高阶的能量

（3）考虑模态截断时，一般是截断高阶模态，保留低阶模态，而不是随意取舍。

（4）特征值的序数对应着振动模态的阶次。

（5）特征值的有序性与特征值隔离定理有关系

4.特征值隔离定理（瑞利约束定理）

对一个N自由度系统，其固有频率（特征值）具有有序性，如果在这个系统上增加一个约束，使其成为一个（N-1）自由度系统，则在新系统的特征值仍然具有有序性即：

o兰打）兰以兰…<亿九

（1）=仙⑴）2（1—21）

则新系统特征值与原系统特征值之间的关系为：

o兰扎兰（11<爲兰厂乞…<九N」gJNI兰九N（1—22）

当约束表现为增加系统刚度，而不是减少自由度时，则新系统特征值与原系统特征值之间的关系为：

o兰扎兰人"兰打兰宥兰…<打丄兰或兰九N兰阳N）（1—23）

即新系统特征值均大于原系统对应阶的特征值。

一般对于N个自由度的系统，增加了m个约束和增加了（m+1）,则有（m）（m1）”■、：

■（m）■、:

（m1）（m）■-:

«（m1）■、、（m）

0-‘1i22N』（1—24）

特征值隔离定理的物理意义

（1）增加约束使特征值变大或保持不变，但不会减小。

（2）增加约束不会使任何一阶频率大过原系统的下一阶频率

（3）原系统任意两个相邻特征值之间必有一个新系统的特征值

（4）新系统任意两个相邻特征值之间必有一个原系统的特征值

（5）由有限元法给出的解是精确解的上界，有限元的基本思想就是把一个无穷维的问题“约束”为有限维。

从而使频率提高。

（6）由瑞利假设模态法给出的解是精确解的上界，因为假设模态相当于对结构增加约束得到的变形模态，从而使特征值增加。

图2特征值隔离定理示意图

§・4有阻尼系统的自由振动

阻尼在振动系统中的作用：

消耗能量

阻尼的数学描述：

对实际结构，阻尼的精确数学描述不可能，常用简化

阻尼模型

1.粘性阻尼模型

粘性阻尼模型是最常用的阻尼模型，对自由振动，运动方程为：

[M]{u}[C]{u}[K]{u}={0}（1—25）

一般粘性阻尼矩阵[C]不能被固有模态对角化，为了分析简便，常采用一种比例阻尼假设，由称为瑞利阻尼：

[C]=：

[M]订K]（1—26）

显然有：

{；}T[C]{;}=（一:

」M：

）M,rs（1—27）

定义模态阻尼：

Cr={；}T[C]{'；}=2MJ「r（1—28）

模态阻尼比：

尸1a住

r二―（r）（1—29）

2'r

原理上，可以通过测得的某两阶模态阻尼比，根据上式求出比例系数:

和

'或测得多个模态阻尼比，用最小二乘法求解。

2.与粘性阻尼有关的几个基本概念

（1）刚度型阻尼和质量型阻尼

若:

-0，1=0，则［Cm］「［M］称为质量型阻尼

若U0，：

•=0，则［Ck］二■:

［K］称为刚度型阻尼对质量型阻尼，模态阻尼比：

与’成反比；对刚度型阻尼,与.r成正比。

定义振动位移响应的相邻两振幅之比

（1—34）

匕=_A^=e§Tdr

AsHr

为减缩系数

1

其倒数称为减幅率。

n

r

1

意义：

每隔一个周期Tdr，振幅减缩为原来的

In%=&Tdr=竺二（1—35）

.J-'r2

上述参数从不同角度来衡量一个结构系统的阻尼特性。

3.阻尼阵的对角化处理

对瑞利阻尼，可以直接用模态矩阵使阻尼阵对角化，对一般粘性阻尼阵[C],其一，在稀疏模态情况下，模态阻尼间耦合较小；其二，非共振区阻尼力的作用较小，可以令非对角线元素为零。

即令：

{】}T[C]{;}=°（「*）（1—35）

4.有阻尼系统的自由振动

N

利用固有模态正交性，利用模态坐标变换{X}=[①]{q}-7；qr可将系统自由

r三

振动方程解耦，得到模态坐标下的方程：

M「q；C「q；Kq=0（r=1,2,3N）（1—36）

或将方程系数无量纲化为：

q；-2:

•.q!

：

；Y『qr=0（r=1,2,3…N）（1—37）

系统统特征方程

■:

•2r；Tr'r亠心：

=0（1—38）

方程的特征根：

\--'/■'r2-1（1—39）

对过阻尼情况，r1，特征根都是负实根，系统运动不发生振动；

Cry2Mr，r=2KrMr（1—40）

此时系统也不发生振动；

对欠阻尼情况，；：

：

：

1，特征根为一对共轭复根：

'r1,'r2一-J'2-厂「一1一T（1—41）

模态坐标下，方程的解：

qr（t）=e~^*（6cosCOdrt+C2sinCOdrt），时dr=K）rj1—[r2（1—42）

5.结构阻尼系统

运动方程：

[M]{x}•j[H]{x}[K]{x}={0}（1—43）

比例阻尼[H]=：

•[M]「[K]的假设下，方程仍然可以解耦：

Mrq；[（Krj（：

MrK）]qr二0（1—44）

记矩阵

[Kj]二K；jCMr「K；）二K；-jh；（1—45）

称为复刚度矩阵。

定义

h2

grI=L■厂（1—46）

K；

为结构阻尼率，则运动方程：

-■2

q；…（1•jg；）q；=o（1—47）

特征方程：

s；2f：

：

；2（i•jg；）=o（1—48）

解得：

s；=•；：

；J■jg；（1—49）

泰勒展开：

1121

s；二■；（1jg；（jg；）:

--■■；（1jg；）（1—50）

282

模态坐标下，方程解：

1

■―g；t

q；（t）二A；e2sin（；t匕）（1—51）

显然结构阻尼不改变系统自由振动频率。

6.结构阻尼系统与粘性阻尼系统的一些比较

（1）*'dr=•；：

1-：

，*'gr八；

（2）g；=2；（数值上的等效关系）

（3）对刚度型阻尼：

粘性阻尼随模态阶次增大而增大，结构阻尼为常数

质量型阻尼：

；=〉/2「；g；=〉/•■:

§・5确定结构基频的近似方法

结构的第一阶固有频率，工程称为基频。

基频对一个结构的动力特性起着至关重要的作用。

对基频的估计（快速估计）是结构振动分析的一个重要内容。

常用的估计基频的方法有瑞利法和邓克列方法，分别给出基频精确解的上界和下界。

1.瑞利法

（1）瑞利原理：

结构振动分析中，为了估计基频所使用的瑞利原理，通常是对无阻尼系

（2）瑞利商R

11

Tmax2{X}T[M]{X}，Umax{X}?

[K]{X}（1一52）

22

瑞利商性质:

证明：

{X}=1C22C33

{X}T[K]{X}二；[K]■c/；[K]2C3；[K]3-

{X}T[M]{X}二\T[M]!

C22T[M]2C3AM]3■■-

由于:

iT[K]i=*：

i2J[M]i（i=1,2,N）

22丄2⑷2©2[M]©2

R（{X}）F：

-■../：

!

[1C2（r-1）-F一]

4站[M]肌

假定固有模态1已经按质量为1归一化，则:

2

22①2

R（{X}）「1（1C2（二-1）•…]®1

其物理意义是：

任何偏离固有振型的振动都需要附加约束，而任何的附加约束都会使系统的刚度增加和固有频率增高。

当｛X｝就是结构的某阶固有振型时，贝U得到的瑞利商就是该阶振型对应的固有频率的平方。

（3）瑞利商在连续振动系统一一梁的横向振动中应用

对一个作横向振动的梁,

Tmax

1■1

=—ydmYdm

2'2

Umax和弯矩的边界条件，通常采用静变形得到的近似变形曲线，这样得到的结果具有满意的精度。

【例】

两端简支梁，两端距离固定不变，试用瑞利商求基频。

并考虑横向位移产

生拉应力后的效应。

【解】由于横向位移，梁元dx的长度增加

[、1-（dy/dx）2-1]dx:

-丄（岂）2dxdx

单元dx上附加应变二^1（-dy）2产生的附加应变能

dx

将附加应变能表达式加入到前面的瑞利商式分子项，有

使用瑞利商估计基频时，所采用的假定变形曲线应满足位移、转角、剪力

2邓克列公式

邓克列公式估计系统基频时，从特征方程出发，来建立特征值与系统矩阵系

数之间的关系。

对振动特征方程:

展开:

（1—63）

131111

（r）-（222）（-0

；.-?

1-■2

与原特征方程比较，显然有

（1—64）

1J

+2=m1+a?

2m2+a33m3=trace（[A]）

•，3

推广到N自由度系统:

其中aH为原点柔度系数，即在i处加载单位载荷，i处产生的变形，其倒数

个自由度的质量mi所形成的单自由度系统的固有频率

1

2=

■'ii

mik

ii

—aiimi

（1—66）

从而：

111

1

1

11

1n

1

++

222

+…-

2

2

+++…

22

2八

2（1—67）

--1--2--3

-'n

11

22:

•叮33

''nni=1

-'ii

记系统基频的真值为:

1n

1

n1

2八-

2

-、2

（1—68）

1i

3

・ii

i八1

略去高阶频率，估算基频的近似值为：

n

——八——

2•_2

--1i「ii

显然：

—丄即

国1可1

（1—70）

因此，邓克列公式估算出基频的下界

5•李兹方法

因为结构振动时，基本上是在其低阶的主模态子空间中发生的。

对工程结构进行动力学分析时，关心的是若干阶低阶动特性。

因而对一个结构的有限元模型构成的大自由度系统，只需要解出其一小部分低阶动特性即可。

因而也只需要在系统的一个低阶子空间去求解系统的低阶动特性。

这就是李兹方法，又称为“假设模态法”。

对一个n自由度系统，若选择m个独立的假设模态（mvvn），并把系统位移表示为这些假设模态的线性组合

{X}二［：

•：

」］{y}［G］二「1m］（1—71）

定常约束下，

1・T-1-tt・1■T・

T={x}［M］{x}={y}［门］［M］［「］{y}={y}［二I］{y}（1—72）222

111_U{x}T［K］{X}{y}T［G］T［K］［G］{y}{y}T［\］{y}（1—73）

222

其中，

［划］二［G］T【m］［「］，［「］=［「］t［K］［：

•：

」］（1—74）

注意，假设模态不具有对［M］和［K］的正交性，［〕亍］［「］不是对角阵。

在假设模态空间中振动方程

［汀］{y}［口{y}={0}（1—75）

特征方程：

'［幻-畑-］=0（1—76）

只要所选择m个假设模态的线性组合可以较好地覆盖（逼近）系统的前k阶固有模态组成的子空间，则由上式可以求解出原系统前k阶固有频率的较满

意的近似值。

（m»k）

李兹法的数学意义可以如下抽象表述：

n维物理空间中，任选m个独立的矢量，构成一个n维空间的不完备基底，这m个基底矢量构成一个m维子空间，如果它能较紧密地覆盖住系统的k维低

阶模态子空间，则在这个由m个假设模态为基矢量的m维子空间中，可以求解出系统的k个低阶特征值较好近似值。

当m=1时，李兹法退化为瑞利法。

由于李兹法是把原来n维矢量限制在一个低维的假设模态空间中，相当于给系统增加了约束，故用李兹法求出的特征值都大于或等于系统的真实特征值。

【关于李兹法的讨论】：

（1）李兹法与主模态截断法的区别李兹法使用的是假设模态来降低系统的维数，模态截断法的低阶模态是系统的真实模态。

（2）主模态截断法在应用中，对系统既降阶又解耦，而李兹法只降阶不解耦。

（3）主模态截断法主要用于求系统的响应，李兹法主要用于求解系统低阶动力学特性，虽然李兹法也可以用来求响应。

（4）李兹法求解系统动力学特性的有效阶次和精度取决于所使用的假设模态

的品质和数量，即m个假设模态作为基矢量所得到m维假设模态空间对系统低阶主模态空间覆盖越“精密”，计算结果精度越高。

因此，李兹法的关键是如何获得高质量的假设模态。

后面的第十章介绍的子结构模态综合方法，就是一些获得高品质“结构级”假设模态的有效方法，而有限元法就是获得“元件”级高品质假设模态的一种方法。

1■T1L2L

{q}[M]{q}qrM「=為T「

rr

3.特征值的有序性

系统的特征值按从小到大的顺序排列，即

•‘112一…--N（1—20）

特征值有序性的物理意义

（1）低阶模态对应低阶固有频率，虽然频率是时间上的概念，模态是空间上的概念，但两者成对出现，共同描述同一现象。